Узловая поверхность

В алгебраической геометрии узловая поверхность — это поверхность в (обычно комплексном ) проективном пространстве, единственными особенностями которой являются узлы . Основная проблема в них — найти максимальное количество узлов узловой поверхности заданной степени.

В следующей таблице приведены некоторые известные верхние и нижние оценки максимального числа узлов на комплексной поверхности заданной степени. Для степеней 7, 9, 11 и 13 верхняя граница дана Варченко (1983) , что лучше, чем оценка Мияока (1984) .

Степень	Нижняя граница	Поверхность достигает нижней границы	Верхняя граница
1	0	Самолет	0
2	1	Коническая поверхность	1
3	4	Узловая кубическая поверхность Кэли	4
4	16	Поверхность Куммера	16
5	31	Тольяттинская поверхность	31 (Бовиль)
6	65	Барт секстик	65 (Яффе и Руберман)
7	99	Лабораторный септик	104
8	168	Поверхность Эндрасса	174
9	226	Лаборатории	246
10	345	Барт дечич	360
11	425	Чмутов	480
12	600	Портновская поверхность	645
13	732	Чмутов	829
д			${\tfrac {4}{9}}d(d-1)^{2}$ ( Мияока 1984 )
d ≡ 0 (по модулю 3)	${\tbinom {d}{2}}\lfloor {\tfrac {d}{2}}\rfloor +({\tfrac {d^{2}}{3}}-d+1)\lfloor {\tfrac {d-1}{2}}\rfloor$	Эскудеро
d ≡ ±1 (по модулю 6)	$(5d^{3}-14d^{2}+13d-4)/12$	Чмутов
d ≡ ±2 (по модулю 6)	$(5d^{3}-13d^{2}+16d-8)/12$	Чмутов

См. также

Алгебраическая поверхность

Ссылки

Варченко А. Н. (1983), "Полунепрерывность спектра и верхняя оценка числа особых точек проективной гиперповерхности", Доклады АН СССР , 270 (6): 1294–1297, МР 0712934
Мияока, Йоичи (1984), «Максимальное число фактор-особенностей на поверхностях с заданными числовыми инвариантами», Mathematische Annalen , 268 (2): 159–171, doi : 10.1007/bf01456083 , MR 0744605
Чмутов С.В. (1992), "Примеры проективных поверхностей со многими особенностями", Журн. Алгебраическая геометрия. , 1 (2): 191–196, МР 1144435
Эскудеро, Хуан Гарсиа (2013), «О семействе комплексных алгебраических поверхностей степени 3 n », CR Math. акад. наук. Париж , 351 (17–18): 699–702, arXiv : 1302.6747 , doi : 10.1016/j.crma.2013.09.009 , MR 3124329