Звездчатый октаэдр
| Звездчатый октаэдр | |
|---|---|
 Рассматривается как соединение двух правильных тетраэдров (красного и желтого). | |
| Тип | Обычное соединение |
| Символ Коксетера | {4,3}[2{3,3}]{3,4} [1] |
| Символы Шлефли | {{3,3}} а{4,3} ß{2,4} ßr{2,2} |
| Диаграммы Кокстера |    ∪      |
| звездообразования Ядро | Октаэдр |
| Выпуклая оболочка | Куб |
| Индекс | УК 4 , Вт 19 |
| Многогранники | 2 тетраэдра |
| Лица | 8 треугольников |
| Края | 12 |
| Вершины | 8 |
| Двойной | Самодвойственный |
| Группа симметрии Группа Коксетера | О ч , [4,3], порядок 48 D 4h , [4,2], порядок 16 D 2h , [2,2], порядок 8 Д 3д , [2 + ,6], порядок 12 |
| подгруппы Ограничение одному составителю | Т д , [3,3], порядок 24 Д 2д , [2 + ,4], порядок 8 Д 2 , [2,2] + , заказ 4 С 3в , [3], порядок 6 |
Звездчатый октаэдр — единственная звездчатая октаэдра часть . Ее также называют стелой октангулы (на латыни «восьмиконечная звезда»), имя, данное ей Иоганном Кеплером в 1609 году, хотя она была известна более ранним геометрам . Оно было изображено в Пачоли « De Divina Proportione» , 1509. [2]
Это простейшее из пяти правильных многогранников и единственное правильное соединение двух тетраэдров . Это также наименее плотное из правильных многогранных соединений, имеющее плотность 2.
Его можно рассматривать как трехмерное расширение гексаграммы : гексаграмма представляет собой двумерную форму, образованную из двух перекрывающихся равносторонних треугольников, центрально симметричных друг другу, и таким же образом звездчатый октаэдр может быть образован из двух центрально симметричных перекрывающихся тетраэдров. . Это можно обобщить на любое желаемое количество более высоких измерений; четырехмерная эквивалентная конструкция представляет собой соединение двух 5-ячеек . Его также можно рассматривать как один из этапов построения трехмерной снежинки Коха — фрактальной формы, образованной путем многократного прикрепления меньших тетраэдров к каждой треугольной грани большей фигуры. Первый этап построения Снежинки Коха представляет собой единый центральный тетраэдр, а второй этап, образованный добавлением четырех меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, представляет собой звездчатый октаэдр.
Строительство
[ редактировать ]Декартовы координаты звездчатого октаэдра следующие:
Звездчатый октаэдр можно построить несколькими способами:
- Это звездочка правильного октаэдра , имеющая одинаковые грани. (См. модель Веннингера W 19. )
 В перспективе |  Плоскость звездообразования | Единственная звездчатая форма правильного октаэдра с одной звездчатой плоскостью желтого цвета. |
- Это также соединение правильного многогранника , если оно построено как объединение двух правильных тетраэдров (правильный тетраэдр и его двойственный тетраэдр ).
- Его можно получить как увеличение правильного октаэдра , добавив тетраэдрические пирамиды на каждой грани . В этой конструкции он имеет ту же топологию, что и выпуклое каталонское тело , триакис-октаэдр , который имеет гораздо более короткие пирамиды.
- Это огранка куба , имеющая общее расположение вершин .
- Его можно рассматривать как антипризму {4/2} ; поскольку {4/2} является тетраграммой, соединением двух двойных двуугольников , а тетраэдр рассматривается как двуугольная антипризма, это можно рассматривать как соединение двух двуугольных антипризм .
- Его можно рассматривать как сеть четырехмерной октаэдрической пирамиды , состоящей из центрального октаэдра, окруженного восемью тетраэдрами.
 Огранка куба |  Одиночный диагональный треугольник с красной гранью. |
Связанные понятия
[ редактировать ]
Соединение двух сферических тетраэдров можно построить, как показано на рисунке.
Два тетраэдра составного представления звездчатого октаэдра являются «десмическими», что означает, что (если интерпретировать их как линию в проективном пространстве ) каждое ребро одного тетраэдра пересекает два противоположных ребра другого тетраэдра. Одно из этих двух пересечений видно в звездчатом октаэдре; другое пересечение происходит в точке бесконечности проективного пространства, где каждое ребро одного тетраэдра пересекает параллельное ребро другого тетраэдра. Эти два тетраэдра можно дополнить до десмической системы из трех тетраэдров, где третий тетраэдр имеет четырьмя вершинами три точки пересечения на бесконечности и центроид двух конечных тетраэдров. Те же двенадцать вершин тетраэдра образуют и точки конфигурации Рея .
Числа звездчатого октангулы — это фигурные числа , подсчитывающие количество шаров, которые можно расположить в форме звездчатого октаэдра. Они есть
В популярной культуре
[ редактировать ]
Звездчатый октаэдр появляется вместе с несколькими другими многогранниками и многогранными соединениями в М. К. Эшера гравюре « Звезды ». [3] и обеспечивает центральную форму в «Двойном планетоиде» Эшера (1949). [4]
Обелиск в центре площади Европы в Сарагосе , Испания , окружен двенадцатью звездчатыми восьмигранными фонарными столбами, имеющими форму трехмерной версии Флага Европы . [5]
Некоторые современные мистики связывают эту форму с «Меркабой». [6] которое, по их мнению, представляет собой «энергетическое поле, вращающееся в противоположных направлениях», названное от древнеегипетского слова. [7] Однако слово «меркаба» на самом деле еврейское и более точно относится к колеснице в видениях Иезекииля . [8] сходство этой формы с двумерной звездой Давида . Также часто отмечалось [9]
Музыкальный проект, возглавляемый участником Tally Hall Джо Хоули вместе с коллегой по группе Россом Федерманом и почетным коллегой по группе Борой Караджа, «Miracle Musical» (часто стилизованный под оригинальное японское название ミラクルミュージカル, произносится как «ми-ра-ку-ру мю-дзи- ка-ру" [10] ) неоднократно ссылается на звездчатый октаэдр как на звездчатую октангулу . Форма представлена на основном сайте проекта, а также в магазине товаров. [10] [11] Третья песня их первого и единственного студийного альбома "Hawaii: Part II", "Black Rainbows", содержит слова Мади Диас , в которых просто говорится "Stella Octangula". [12]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ HSM Coxeter , Правильные многогранники , (3-е издание, 1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 , 3.6 Пять правильных соединений , стр. 47-50, 6.2 Стулирование платоновых тел , стр. 96-104
- ^ Барнс, Джон (2009), «Формы и твердые тела», Gems of Geometry , Springer, стр. 25–56, doi : 10.1007/978-3-642-05092-3_2 , ISBN 978-3-642-05091-6 .
- ^ Харт, Джордж В. (1996), «Многогранники М.К. Эшера» , Виртуальные многогранники .
- ^ Коксетер, HSM (1985), «Специальный обзор книги: М. К. Эшер: Его жизнь и полная графическая работа», The Mathematical Intelligencer , 7 (1): 59–69, doi : 10.1007/BF03023010 , S2CID 189887063 . См., в частности, стр. 61.
- ^ «Обелиско» [Обелиск], Zaragoza es Cultura (на испанском языке), городской совет Сарагосы , получено 19 октября 2021 г.
- ^ Дэннелли, Ричард (1995), Седона: За пределами вихря: активация программы планетарного вознесения с помощью сакральной геометрии, вихря и Меркабы , Light Technology Publishing, стр. 14, ISBN 9781622336708
- ^ Мелхиседек, Друнвало (2000), Древняя тайна Цветка Жизни: Отредактированная стенограмма семинара «Цветок Жизни», представленная вживую Матери-Земле с 1985 по 1994 год -, Том 1 , Light Technology Publishing, стр. 4, ISBN 9781891824173
- ^ Патция, Артур Г.; Петротта, Энтони Дж. (2010), Карманный словарь библейских исследований: более 300 терминов, четко и кратко определенных , Карманная справочная серия IVP, InterVarsity Press, стр. 78, ISBN 9780830867028
- ^ Бриссон, Дэвид В. (1978), Гиперграфика: визуализация сложных взаимосвязей в искусстве, науке и технологиях , Westview Press для Американской ассоциации содействия развитию науки, стр. 220,
Стелла восьмиугольная — трёхмерный аналог Звезды Давида.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б "Чудо-мюзикл" . Чудо-мюзикл . Проверено 9 марта 2024 г.
- ^ «Чудо-музыкальный магазин» . Чудо-мюзикл . Проверено 9 марта 2024 г.
- ^ Miracle Musical (при участии Джо Хоули и Мэди Диас) - Black Rainbows , получено 9 марта 2024 г.
Внешние ссылки
[ редактировать ]
- Вайсштейн, Эрик В. , « Stella Octangula » (« Соединение двух тетраэдров ») в MathWorld .
- Клитцинг, Ричард, «3D соединение»