Многогранное соединение

В геометрии многогранником имеющих называется фигура, состоящая из нескольких многогранников, общий центр . Они являются трехмерными аналогами многоугольных соединений, таких как гексаграмма .

Внешние вершины соединения могут быть соединены, образуя выпуклый многогранник, называемый его выпуклой оболочкой . Соединение — это огранка его выпуклой оболочки. ^{[ нужна ссылка ]}

Другой выпуклый многогранник образован небольшим центральным пространством, общим для всех членов соединения. Этот многогранник можно использовать в качестве ядра для набора звездочек .

Регулярные соединения

Правильное многогранное соединение можно определить как соединение, которое, как и правильный многогранник , является транзитивным по вершинам , транзитивным по ребрам и транзитивным по граням . В отличие от случая многогранников, это не эквивалентно тому, что группа симметрии действует транзитивно на свои флаги ; соединение двух тетраэдров — единственное правильное соединение, обладающее таким свойством. Существует пять правильных соединений многогранников:

Обычное соединение (символ Кокстера)	Выпуклая оболочка	Общее ядро	Группа симметрии	Подгруппа ограничивающий одному составляющая	Двойное регулярное соединение
Два тетраэдра {4,3}[2{3,3}]{3,4}	Куб ^[1]	Октаэдр	*432 [4,3] Ой	*332 [3,3] Т _д	Два тетраэдра
Пять тетраэдров {5,3}[5{3,3}]{3,5}	Додекаэдр ^[1]	Икосаэдр ^[1]	532 [5,3] ⁺ я	332 [3,3] ⁺ Т	Хиральный близнец (энантиоморф)
Десять тетраэдров 2{5,3}[10{3,3}]2{3,5}	Додекаэдр ^[1]	Икосаэдр	*532 [5,3] I _h	332 [3,3] Т	Десять тетраэдров
Пять кубиков 2{5,3}[5{4,3}]	Додекаэдр ^[1]	Ромбический триаконтаэдр ^[1]	*532 [5,3] I _h	3*2 [3,3] Т _ч	Пять октаэдров
Пять октаэдров [5{3,4}]2{3,5}	Икосододекаэдр ^[1]	Икосаэдр ^[1]	*532 [5,3] I _h	3*2 [3,3] Т _ч	Пять кубиков

Наиболее известным является правильное соединение двух тетраэдров , часто называемое звездой октангулы , имя, данное ему Кеплером . Вершины двух тетраэдров образуют куб , а их пересечение определяет правильный октаэдр , который имеет те же грани, что и составное соединение. Таким образом, соединение двух тетраэдров есть звёздчатость октаэдра, и фактически единственная его конечная звёздчатость.

Правильное соединение пяти тетраэдров существует в двух энантиоморфных вариантах, которые вместе составляют правильное соединение десяти тетраэдров. ^[1] Правильное соединение десяти тетраэдров также можно рассматривать как соединение пяти звездочек-октангулов. ^[1]

Каждое из правильных тетраэдрических соединений самодуально или двойственно своему хиральному двойнику; правильное соединение пяти кубов и правильное соединение пяти октаэдров двойственны друг другу.

Следовательно, правильные многогранные соединения также можно рассматривать как дуально-правильные соединения .

Обозначения Коксетера для регулярных соединений приведены в таблице выше с использованием символов Шлефли . Материал внутри квадратных скобок [ d { p , q } ] обозначает компоненты соединения: d отдельные { p , q }. Материал перед квадратными скобками обозначает расположение вершин соединения: c { m , n } [ d { p , q }] представляет собой соединение d { p , q }, разделяющее подсчитанные вершины { m , n } ц раз. Материал после квадратных скобок обозначает расположение граней соединения: [ d { p , q }] e { s , t } представляет собой соединение d { p , q }, имеющих общие грани { s , t }, посчитанные е раз. Их можно комбинировать: таким образом, c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t } представляет собой соединение d { p , q }, разделяющее вершины { m , n }, подсчитанные c раз. и грани { s , t } посчитаны e раз. Эти обозначения можно обобщить на соединения любого количества измерений. ^[2]

Двойные соединения

Усеченный тетраэдр (светлый) и триакис-тетраэдр (темный)

Курносый куб (светлый) и пятиугольный икоситетраэдр (темный)

Икосододекаэдр (светлый) и ромбический триаконтаэдр (темный)

Двойные соединения архимедовых и каталанских тел.

Двойственное средней соединение состоит из многогранника и его двойника, расположенных взаимно относительно общей сферы , так что ребро одного многогранника пересекает двойственное ребро двойственного многогранника. Существует пять двойственных соединений правильных многогранников.

Ядро – это выпрямление обоих твердых тел. Корпус является двойником этого выпрямления, и его ромбические грани имеют пересекающиеся края двух тел как диагонали (и имеют четыре альтернативные вершины). Для выпуклых тел это выпуклая оболочка .

Двойное соединение	Халл	Основной	Группа симметрии
Два тетраэдра ( Соединение двух тетраэдров , звездчатый октаэдр )	Куб	Октаэдр	*432 [4,3] Ой
Куб и октаэдр ( Соединение куба и октаэдра )	Ромбический додекаэдр	Кубооктаэдр	*432 [4,3] Ой
Додекаэдр и икосаэдр ( Соединение додекаэдра и икосаэдра )	Ромбический триаконтаэдр	Икосододекаэдр	*532 [5,3] I _h
Малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр. ( Соединение SD и gD )	Медиальный ромбический триаконтаэдр (Выпуклый: икосаэдр )	Додекадодекаэдр (Выпуклый: додекаэдр )	*532 [5,3] I _h
Большой икосаэдр и большой звездчатый додекаэдр. ( Соединение gI и gsD )	Большой ромбический триаконтаэдр (Выпуклый: додекаэдр )	Большой икосододекаэдр (Выпуклый: икосаэдр )	*532 [5,3] I _h

Тетраэдр самодуален, поэтому двойственным соединением тетраэдра с его двойником является правильный звездчатый октаэдр .

Октаэдрические и икосаэдрические двойные соединения являются первыми звездчатыми формами кубооктаэдра и икосододекаэдра соответственно.

Двойное соединение малого звездчатого додекаэдра (или большого додекаэдра) имеет большой додекаэдр, полностью расположенный внутри малого звездчатого додекаэдра. ^[3]

Однородные соединения

В 1976 году Джон Скиллинг опубликовал «Единые соединения однородных многогранников» , в которых перечислил 75 соединений (в том числе 6 как бесконечные призматические наборы соединений, № 20– № 25), состоящих из однородных многогранников с вращательной симметрией. (Каждая вершина является вершинно-транзитивной , и каждая вершина транзитивна по отношению к любой другой вершине.) Этот список включает пять регулярных соединений, приведенных выше. [1]

75 однородных соединений перечислены в таблице ниже. Большинство из них показаны в индивидуальном цвете для каждого элемента многогранника. Некоторые киральные пары групп граней окрашены в зависимости от симметрии граней внутри каждого многогранника.

1–19: Разное (4,5,6,9,17 — 5 обычных соединений )

20-25: Симметрия призмы, заложенная в симметрию призмы ,

26-45: Симметрия призмы, встроенная в октаэдрическую или икосаэдрическую симметрию ,

46-67: Тетраэдрическая симметрия, встроенная в октаэдрическую или икосаэдрическую симметрию,

68-75: энантиоморфов . пары

Другие соединения


Соединение четырех кубов (слева) не является ни правильным соединением, ни двойственным соединением, ни однородным соединением. Его двойник, соединение четырех октаэдров (справа), представляет собой однородное соединение.

Два многогранника, которые являются составными, но элементы которых жестко зафиксированы на месте, — это малый сложный икосододекаэдр (соединение икосаэдра и большого додекаэдра ) и большой сложный икосододекаэдр (соединение малого звездчатого додекаэдра и большого икосаэдра ). Если обобщить определение однородного многогранника , то они однородны.

Раздел пар энантиоморфов в списке Скиллинга не содержит соединения двух больших курносых додецикосододекаэдров , поскольку грани пентаграммы совпадали бы. Удаление совпадающих граней приводит к соединению двадцати октаэдров .

4-многогранные соединения

Ортогональные проекции
75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

В 4-мерном измерении существует большое количество правильных соединений правильных многогранников. Коксетер перечисляет некоторые из них в своей книге «Регулярные многогранники» . ^[4] Макмаллен добавил шесть в своей статье « Новые регулярные соединения 4-многогранников» . ^[5]

Самодвойственные:

Сложный	Составляющая	Симметрия
120 5-ячеечных	5-клеточный	[5,3,3], порядок 14400 ^[4]
120 5-ячеечных ^(был)	5-клеточный	заказать 1200 ^[5]
720 5-ячеечных	5-клеточный	[5,3,3], порядок 14400 ^[4]
5 24-ячеечных	24-ячеечный	[5,3,3], порядок 14400 ^[4]

Двойные пары:

Соединение 1	Соединение 2	Симметрия
3 16-ячеечных ^[6]	3 тессеракта	[3,4,3], порядок 1152 ^[4]
15 16-ячеечных	15 тессерактов	[5,3,3], порядок 14400 ^[4]
75 16-ячеечных	75 тессерактов	[5,3,3], порядок 14400 ^[4]
75 16-ячеечных ^(был)	75 тессерактов ^(был)	заказать 600 ^[5]
300 16-ячеечных	300 тессерактов	[5,3,3] ⁺, заказ 7200 ^[4]
600 16-ячеечных	600 тессерактов	[5,3,3], порядок 14400 ^[4]
25 24-клеточных	25 24-клеточных	[5,3,3], порядок 14400 ^[4]

Однородные соединения и дуальные с выпуклыми 4-многогранниками:

Соединение 1 Вершинно-транзитивный	Соединение 2 Клеточно-транзитивный	Симметрия
2 16-ячеечных ^[7]	2 тессеракта	[4,3,3], порядок 384 ^[4]
100 24-ячеечных	100 24-ячеечных	[5,3,3] ⁺, заказ 7200 ^[4]
200 24-ячеечных	200 24-ячеечных	[5,3,3], порядок 14400 ^[4]
5 600 ячеек	5 120 ячеек	[5,3,3] ⁺, заказ 7200 ^[4]
10 600 ячеек	10 120 ячеек	[5,3,3], порядок 14400 ^[4]
25 24-клеточных ^(был)	25 24-клеточных ^(был)	заказать 600 ^[5]

Верхний индекс (var) в таблицах выше указывает на то, что помеченные соединения отличаются от других соединений с таким же количеством компонентов.

Соединения с правильными звездчатыми 4-многогранниками

Самодвойственные звездчатые соединения:

Сложный	Симметрия
5 {5,5/2,5}	[5,3,3] ⁺, заказ 7200 ^[4]
10 {5,5/2,5}	[5,3,3], порядок 14400 ^[4]
5 {5/2,5,5/2}	[5,3,3] ⁺, заказ 7200 ^[4]
10 {5/2,5,5/2}	[5,3,3], порядок 14400 ^[4]

Двойные пары составных звезд:

Соединение 1	Соединение 2	Симметрия
5 {3,5,5/2}	5 {5/2,5,3}	[5,3,3] ⁺, заказ 7200
10 {3,5,5/2}	10 {5/2,5,3}	[5,3,3], порядок 14400
5 {5,5/2,3}	5 {3,5/2,5}	[5,3,3] ⁺, заказ 7200
10 {5,5/2,3}	10 {3,5/2,5}	[5,3,3], порядок 14400
5 {5/2,3,5}	5 {5,3,5/2}	[5,3,3] ⁺, заказ 7200
10 {5/2,3,5}	10 {5,3,5/2}	[5,3,3], порядок 14400

Однородные составные звезды и двойники :

Соединение 1 Вершинно-транзитивный	Соединение 2 Клеточно-транзитивный	Симметрия
5 {3,3,5/2}	5 {5/2,3,3}	[5,3,3] ⁺, заказ 7200
10 {3,3,5/2}	10 {5/2,3,3}	[5,3,3], порядок 14400

Соединения с двойниками

Двойные позиции:

Сложный	Составляющая	Симметрия
2 5-ячеечный	5-клеточный	[[3,3,3]], порядок 240
2 24-ячеечных	24-ячеечный	[[3,4,3]], порядок 2304
1 тессеракт, 1 16-ячеечный	тессеракт , 16 ячеек
1 120 ячеек, 1 600 ячеек	120 ячеек , 600 ячеек
2 отличных 120-ячеечных	отличный 120-ячеечный
2 больших звездчатых 120-ячеечных	большой звездчатый, 120 ячеек
1 икосаэдрический 120-ячеечный, 1 маленький звездчатый 120-ячеечный	икосаэдрический 120-ячеечный , маленький звездчатый 120-ячеечный
1 большой 120-ячеечный, 1 большой звездчатый 120-ячеечный	большой 120-ячеечный , отличный звездчатый 120-ячеечный
1 великий 120-ячеечный, 1 большой икосаэдрический 120-ячеечный.	большой 120-ячеечный великан , большой икосаэдр 120-ячеечный
1 гранд звездчатый на 120 ячеек, 1 великий на 600 ячеек	Большой Гранд звездчатый 120 ячеек , Гранд 600 ячеек

Теория групп

С точки зрения теории групп , если G — группа симметрии многогранного соединения, и группа транзитивно действует на многогранники (так что каждый многогранник может быть отправлен в любой из других, как в однородных соединениях), то если H — это Стабилизатор одного выбранного многогранника, многогранники можно отождествить с пространством орбит G / H – смежный класс gH соответствует тому, в какой многогранник g отправляет выбранный многогранник.

Соединения плиток

Существует восемнадцать двухпараметрических семейств правильных составных мозаик евклидовой плоскости. В гиперболической плоскости известны пять однопараметрических семейств и семнадцать единичных случаев, но полнота этого списка не подсчитана.

Евклидовы и гиперболические составные семейства 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p целое число) аналогичны сферической звезде-октангуле , 2 {3,3}.

Несколько примеров евклидовых и гиперболических правильных соединений.
Самодвойственный	Дуалы		Самодвойственный
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}

	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

Известное семейство правильных евклидовых составных сот в любом количестве измерений представляет собой бесконечное семейство составных гиперкубических сот , все вершины и грани которых имеют общие вершины и грани с другими гиперкубическими сотами. Это соединение может иметь любое количество гиперкубических сот.

Существуют также соединения для плитки с двойной регулярностью . Простой пример — буква E. ² соединение шестиугольной мозаики и ее двойной треугольной мозаики , которая разделяет свои края с дельтовидной тригексагональной мозаикой . Евклидовы соединения двух гиперкубических сот одновременно являются правильными и двойственно правильными.

Сноски

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж «Составные многогранники» . www.georgehart.com . Проверено 3 сентября 2020 г.
^ Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1973) [1948]. Правильные многогранники (Третье изд.). Дуврские публикации. п. 48. ИСБН 0-486-61480-8 . OCLC 798003 .
^ «Соединение Большого Додекаэдра — Малого Звездчатого Додекаэдра» .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с Правильные многогранники, таблица VII, с. 305
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Макмаллен, Питер (2018), Новые регулярные соединения 4-многогранников , Новые тенденции в интуитивной геометрии, 27: 307–320
^ Клитцинг, Ричард. «Однородное сложное звездчатое икоситетрахорон» .
^ Клитцинг, Ричард. «Единый составной демидистессеракт» .

Внешние ссылки

Ссылки

Скиллинг, Джон (1976), «Однородные соединения однородных многогранников», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 (3): 447–457, Бибкод : 1976MPCPS..79..447S , doi : 10.1017/S0305004100052440 , MR 039755 4 , S2CID 123279687 .
Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники , Кембридж {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) .
Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, стр. 51–53 .
Харман, Майкл Г. (1974), Многогранные соединения , неопубликованная рукопись .
Гесс, Эдмунд (1876), «Равноугольные и равносторонние многогранники одновременно», публикации Общества содействия естественным наукам в Марбурге , 11 : 5–97 .
Пачоли, Лука (1509), О божественной пропорции .
Правильные многогранники (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8
Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7 . п. 87 Пять обычных соединений
МакМаллен, Питер (2018), «Новые регулярные соединения 4-многогранников», Новые тенденции в интуитивной геометрии , Математические исследования Общества Боляи, том. 27, стр. 307–320, номер документа : 10.1007/978-3-662-57413-3_12 , ISBN. 978-3-662-57412-6 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж «Составные многогранники» . www.georgehart.com . Проверено 3 сентября 2020 г.

[2] Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1973) [1948]. Правильные многогранники (Третье изд.). Дуврские публикации. п. 48. ИСБН 0-486-61480-8 . OCLC 798003 .

[3] «Соединение Большого Додекаэдра — Малого Звездчатого Додекаэдра» .

[cox-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с Правильные многогранники, таблица VII, с. 305

[McMullen-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Макмаллен, Питер (2018), Новые регулярные соединения 4-многогранников , Новые тенденции в интуитивной геометрии, 27: 307–320

[6] Клитцинг, Ричард. «Однородное сложное звездчатое икоситетрахорон» .

[7] Клитцинг, Ричард. «Единый составной демидистессеракт» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]