Соединение трех октаэдров
| Соединение трех октаэдров | |
|---|---|
 | |
| Лица | 24 равносторонних треугольника |
| Края | 36 |
| Вершины | 18 |
| Группа симметрии | Октаэдрическая симметрия Oh ) порядка 48 (один цвет |
В математике соединение трёх октаэдров или 3-соединение октаэдра — это многогранное соединение, образованное из трёх правильных октаэдров , имеющих общий центр, но повёрнутых относительно друг друга. Хотя оно появилось раньше в математической литературе, оно было заново открыто и популяризировано М.К. Эшером , который использовал его в центральном изображении своей гравюры на дереве « Звезды» 1948 года .
Строительство
[ редактировать ]Правильный октаэдр можно описать вокруг куба так, чтобы восемь ребер двух противоположных квадратов куба лежали на восьми гранях октаэдра. Три октаэдра, образованные таким образом из трех пар противоположных кубических квадратов, образуют соединение трех октаэдров. [1] Восемь вершин куба аналогичны восьми точкам в соединении, где три ребра пересекают друг друга. [2] Каждое из ребер октаэдра, участвующее в этих тройных пересечениях, делится точкой пересечения в соотношении 1: √ 2 . [2] Остальные ребра октаэдра попарно пересекают друг друга внутри соединения; их пересечения находятся в середине и образуют прямые углы.
Соединение трех октаэдров также может быть образовано из трех копий одного октаэдра путем вращения каждой копии на угол π /4 вокруг одной из трех осей симметрии , проходящих через две противоположные вершины исходного октаэдра. [3] Третья конструкция одного и того же соединения трёх октаэдров — это двойственный многогранник соединения трёх кубов , одно из однородных многогранных соединений .
Шесть вершин одного из трех октаэдров могут быть заданы координатами (0, 0, ±2) и (± √ 2 , ± √ 2 , 0) . Два других октаэдра имеют координаты, которые можно получить из этих координат путем замены координаты z на координату x или y . [1] [2]
Симметрии
[ редактировать ]
Соединение трех октаэдров имеет ту же группу симметрии , что и одиночный октаэдр.Это равногранный дельтаэдр , что означает, что его грани представляют собой равносторонние треугольники и что он обладает симметрией, связывающей каждую грань с любой другой гранью. Известно одно бесконечное семейство равногранных дельтаэдров и еще 36, не попадающих в это семейство; соединение трех октаэдров — один из 36 спорадических примеров. [4] Однако его группа симметрии не переводит каждую вершину в каждую другую вершину, поэтому он сам по себе не является однородным составным многогранником.
Пересечение трех октаэдров представляет собой выпуклый многогранник с 14 вершинами и 24 гранями, тетракис-шестигранник , образованный присоединением невысокой квадратной пирамиды . к каждой грани центрального куба [2] Таким образом, соединение можно рассматривать как звездочку тетракис-гексаэдра. Другая форма тетракис-шестигранника, образованная использованием более высоких пирамид на каждой грани куба, невыпуклая, но имеет равносторонние треугольные грани, которые снова лежат в тех же плоскостях, что и грани трех октаэдров; это еще один из известных изоэдральных дельтаэдров. Третий изоэдрический дельтаэдр, имеющий те же грани, соединение шести тетраэдров , может быть образовано звездчатостью каждой грани соединения трех октаэдров с образованием трех звездочек-октангулов . Четвертый изоэдрический дельтаэдр с теми же гранями, также звездчатый состав трех октаэдров, имеет ту же комбинаторную структуру, что и тетракис-гексаэдр, но с гранями куба, вдавленными внутрь в пересекающиеся пирамиды, а не прикрепляющими пирамиды к внешней части куба. . [4]
Куб, вокруг которого можно описать три октаэдра, имеет девять плоскостей отражательной симметрии . Три из этих отражающих панелей проходят параллельно сторонам куба, на полпути между двумя противоположными сторонами; остальные шесть проходят по диагонали куба, через четыре его вершины. Эти девять плоскостей совпадают с девятью экваториальными плоскостями трёх октаэдров. [2]
История
[ редактировать ]
XV века De quinque corporibus Regularibus В рукописи Пьеро делла Франческа делла Франческа уже включает рисунок октаэдра, описанного вокруг куба, причем восемь ребер куба лежат в восьми гранях октаэдра. Три октаэдра, описанные таким образом вокруг одного куба, образовали бы соединение трех октаэдров, но делла Франческа не изображает это соединение. [5]
Следующим появлением соединения трех октаэдров в математической литературе, по-видимому, стала работа Макса Брюкнера 1900 года , в которой оно упоминается и включает фотографию его модели. [2] [6]
Голландский художник М. К. Эшер в своей гравюре на дереве « Звезды» 1948 года использовал в качестве центральной фигуры гравюры на дереве клетку этой формы, в которой находятся два хамелеона , плывущие в пространстве. [7] HSM Coxeter , предполагая, что Эшер заново открыл эту форму независимо, пишет: «Примечательно, что Эшер, не имея никаких знаний в алгебре или аналитической геометрии, смог заново открыть эту в высшей степени симметричную фигуру». [2] Однако Джордж Харт задокументировал, что Эшер был знаком с работами Брюкнера и использовал их в качестве основы для многих звездчатых многогранников и многогранных соединений, которые он нарисовал. [8] Ранее, в 1948 году, Эшер сделал предварительную гравюру на дереве на аналогичную тему « Этюд звезд» , но вместо использования в исследовании соединения трех правильных октаэдров он использовал другую, но родственную форму — звездчатый ромбдодекаэдр (иногда называемый телом Эшера). , который может быть образован как соединение трёх сплюснутых октаэдров. [9] Эта форма многогранника топологически идентична додекаэдру Дисдякиса , который можно рассматривать как ромбдодекаэдр с более короткими пирамидами на ромбических гранях. Двойная фигура октаэдрического соединения, соединения трёх кубов, также показана на более поздней гравюре Эшера « Водопад » рядом с таким же звёздчатым ромбическим додекаэдром. [7]
Соединение трех октаэдров более полно вновь вошло в математическую литературу благодаря работе Бакоса и Джонсона (1959) , которые наблюдали его существование и предоставили координаты его вершин. Более подробно его изучали Веннингер (1968) и Коксетер (1985) .
Другие соединения трех октаэдров
[ редактировать ]Поскольку октаэдры рассматриваются как треугольные антипризмы , существует еще одно однородное призматическое соединение антипризм с симметрией D 3d , порядка 12. Каждая антипризма повернута на 40 градусов. Видно, что верхняя и нижняя плоскости содержат составную эннеаграмму {9/3} или 3{3}.
См. также
[ редактировать ]- Соединение четырех октаэдров
- Соединение пяти октаэдров
- Соединение десяти октаэдров
- Соединение двадцати октаэдров
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Бакос, Т.; Джонсон, Норман В. (1959), «Октаэдры, вписанные в куб», The Mathematical Gazette , 43 (343): 17–20, JSTOR 3608867 .
- ^ Перейти обратно: а б с д и ж г Коксетер, HSM (1985), «Специальная рецензия на книгу: М. К. Эшер: Его жизнь и полная графическая работа», The Mathematical Intelligencer , 7 (1): 59–69, doi : 10.1007/BF03023010 . Обсуждение соединения трех октаэдров находится на стр. 61–62.
- ^ Веннингер, М.Дж. (1968), «Некоторые интересные октаэдрические соединения», The Mathematical Gazette , 52 (379): 16–23, JSTOR 3614454 .
- ^ Перейти обратно: а б Шепард, GC (1999), «Изоэдральные дельтаэдры», Periodica Mathematica Hungarica , 39 (1–3): 83–106, doi : 10.1023/A:1004838806529 .
- ^ Харт, Джордж В. (1998), «Многогранники Пьеро делла Франчески», Виртуальные многогранники .
- ^ Брюкнер, Макс (1900), Многоугольники и многогранники , Лейпциг: Тойбнер, с. 188 и фото VIII 12 . Цитируется Коксетером (1985) .
- ^ Перейти обратно: а б Харт, Джордж В. (1996), «Многогранники М. К. Эшера», Виртуальные многогранники .
- ^ Харт, Джордж В. , «Вундеркаммер бумажных многогранников Макса Брюкнера», Материалы конференции Bridges 2019 (PDF) , стр. 59–66
- ^ Соединение трех октаэдров и замечательное соединение трех квадратных дипирамид, тело Эшера , Ливио Зефиро, Университет Генуи.