Из пяти регулярных органов
De quinque corporibus Regularibus (иногда называемый Libellus de quinque corporibus Regularibus ) — книга по геометрии многогранников , написанная в 1480-х или начале 1490-х годов итальянским художником и математиком Пьеро делла Франческа . Это рукопись , написанная на латинском языке; его название означает [книжку] о пяти правильных телах . Это одна из трех книг, которые, как известно, были написаны делла Франческой.
Наряду с Платоновыми телами, De quinque corporibus Regularibus включает описания пяти из тринадцати архимедовых тел , а также нескольких других неправильных многогранников, взятых из архитектурных приложений. Это была первая из многих последующих книг, связывающих математику с искусством посредством построения и перспективного рисования многогранников. [1] в том числе Луки Пачоли 1509 года « Divina пропорциональное» (в которое без указания авторства включен итальянский перевод работы делла Франчески).
Затерянный на долгие годы De quinque corporibus Regularibus был вновь открыт в 19 веке в Библиотеке Ватикана. [2] а копия Ватикана с тех пор была переиздана в виде факсимиле. [3]
Предыстория [ править ]
Пять платоновых тел (правильный тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр ) были известны делла Франческе из двух классических источников: «Тимей» , в котором Платон теоретизирует, что четыре из них соответствуют классическим элементам, составляющим мир (с в-пятых, додекаэдр, соответствующий небу), и « Элементы Евклида » , в которых Платоновы тела построены как математические объекты. Две апокрифические книги «Элементов », касающиеся метрических свойств платоновых тел, иногда называемые псевдоевклидами , также обычно считались частью « Элементов» во времена делла Франчески. Именно материал из « Элементов» и псевдо-Евклида, а не из «Тимея» , составляет главное вдохновение делла Франчески. [4] [5]
Тринадцать архимедовых тел , выпуклых многогранников, в которых вершины, но не грани, симметричны друг другу, были классифицированы Архимедом в книге, которая давно утеряна. Классификация Архимеда была позже кратко описана Паппом Александрийским с точки зрения количества граней каждого вида у этих многогранников. [6] Делла Франческа ранее изучала и копировала работы Архимеда и включает цитаты Архимеда в De quinque corporibus Regularibus . [7] Но хотя он описывает шесть архимедовых тел в своих книгах (пять в De quinque corporibus Regularibus ), это, по-видимому, является независимым повторным открытием; он не приписывает Архимеду эти формы, и нет никаких доказательств того, что он знал о работе Архимеда над ними. [6] Точно так же, хотя и Архимед, и Делла Франческа нашли формулы для объема монастырского свода (см. Ниже), их работа по этому вопросу кажется независимой, поскольку формула объема Архимеда оставалась неизвестной до начала 20 века. [8]
De quinque corporibus Regularibus — одна из трех известных книг, написанных делла Франческой. Два других, Despectiva pingendi и Trattato d'abaco , касаются перспективного рисования и арифметики в традиции соответственно Фибоначчи Liber Abaci . [9] [4] Другая математическая книга, Trattato d'abaco , была частью длинной череды аббацистских работ, обучающих арифметике, бухгалтерскому учету и основным геометрическим расчетам посредством множества практических упражнений, начиная с работы Фибоначчи в его книге Liber Abaci (1202). [10] Хотя ранние части De quinque corporibus Regularibus также заимствованы из этого направления работ и во многом совпадают с Trattato d'abaco , Фибоначчи и его последователи ранее применяли свои методы расчета только в двумерной геометрии. Более поздние части De quinque corporibus Regularibus более оригинальны в применении арифметики к геометрии трехмерных фигур. [11] [12]
Содержание [ править ]
После его посвящения на титульном листе De quinque corporibus Regularibus начинается Питер, художник Бургенсиса De quinque corporibus Regularibus . [13] Первые три слова означают «О Петре-художнике из Борго» и относятся к автору книги Пьеро делла Франческа (из Борго Санто Сеполькро). [7] ); после этого начинается собственно заголовок. Декоративный инициал начинает текст книги.
Первая из четырех частей книги посвящена задачам плоской геометрии, в первую очередь касающимся измерения многоугольников , таких как вычисление их площади , периметра или длины стороны с учетом другой из этих величин. [14] Вторая часть касается описанных сфер платоновых тел и задает аналогичные вопросы о длинах, площадях или объемах этих тел относительно размеров сферы, которая их окружает. [15] Он также включает (весьма вероятно, новый) вывод высоты неправильного тетраэдра с учетом длин его сторон:эквивалент (с использованием стандартной формулы, связывающей высоту и объем тетраэдров) форме формулы Герона для тетраэдров. [16]
Третья часть включает дополнительные упражнения на описанных сферах, а затем рассматривает пары платоновых тел, вписанных одно в другое, снова уделяя особое внимание их относительным измерениям. Эта часть непосредственно вдохновлена 15-й (апокрифической) книгой «Начал » . [17] который строит определенные вписанные пары многогранных фигур (например, правильный тетраэдр, вписанный в куб и имеющий четыре вершины, общие с четырьмя вершинами куба). Целью De quinque corporibus Regularibus является арифметизация этих конструкций, позволяющая вычислить размеры одного многогранника по измерениям другого. [12]
Четвертая и последняя часть книги посвящена другим формам, помимо платоновых тел. [18] К ним относятся шесть архимедовых тел : усеченный тетраэдр (который появляется также в упражнении в его «Траттато д'Абако ») и усеченные четыре других платоновых тела. [19] Кубооктаэдр De , еще одно архимедово тело, описан в « Траттато», но не в « quinque corporibus Regularibus» ; поскольку «De quinque corporibus Regularibus», по-видимому, является более поздней работой, чем «Траттато» , это упущение кажется преднамеренным и признаком того, что делла Франческа не стремился составить полный список этих многогранников. [20] Четвертая часть De quinque corporibus Regularibus также включает куполообразные формы, такие как купола Пантеона в Риме или (в то время недавно построенного) Санта-Мария-прессо Сан-Сатиро в Милане, образованные из кольца треугольников, окруженных концентрическими кольцами неправильных четырехугольников. и другие формы, возникающие в архитектурных приложениях. [21] Результат, который Петерсон (1997) называет «самым сложным» делла Франческа, — это вывод объема тела Штейнмеца (пересечение двух цилиндров, форма монастырского свода ), который делла Франческа проиллюстрировал в своей книге о перспективе. [22] Несмотря на свои кривые, эта форма имеет простую, но неочевидную формулу объема: 2/3 объема объемлющего ее куба. Этот результат был известен и Архимеду, и в древнем Китае Цзу Чунчжи . [23] но делла Франческа не знала ни об одном из предыдущих открытий. [24]
De quinque corporibus Regularibus проиллюстрирован делла Франческой в различных стилях, не все из которых соответствуют правильной математической перспективе. [6] Он включает в себя множество упражнений, примерно половина из которых частично совпадает с геометрическими частями Trattato d'abaco делла Франчески , переведенного с итальянского Trattato на латынь De quinque corporibus Regularibus . [18]
Распространение [ править ]
Делла Франческа посвятила De quinque corporebus Regularibus Гвидобальдо да Монтефельтро , герцогу Урбино . [25] Хотя книга не датирована, это посвящение сужает дату ее завершения до диапазона от 1482 года, когда десятилетний Гвидобальдо стал герцогом, до 1492 года, когда умерла Делла Франческа. [13] [26] Однако делла Франческа, вероятно, сначала написал свою книгу на итальянском языке, а затем перевел ее на латынь либо сам, либо с помощью друга Маттео даль Борго. [27] так что его первоначальный проект мог быть написан еще до прихода на престол Гвидобальдо. [28] В любом случае книга была добавлена в библиотеку герцога. Она хранилась там вместе с книгой делла Франчески о перспективе, которую он посвятил предыдущему герцогу. [29]
Это было названо «вероятно, первым полноценным случаем плагиата в истории математики». [30] Лука Пачоли скопировал упражнения из «Траттато д'Абако» в свою книгу «Сумма арифметики» 1494 года , а затем, в своей книге «Божественная пропорция» 1509 года , включил перевод всей книги « De quinque corporibus Regularibus» на итальянский язык, не указав ни на один из этих материалов делла Франческу. . Именно благодаря Пачоли большая часть работ делла Франчески стала широко известна. [31] Хотя Джорджо Вазари обвинил Пачоли в плагиате в своей книге 1568 года « Жизнеописания самых выдающихся художников, скульпторов и архитекторов» , он не предоставил достаточных подробностей, чтобы проверить эти утверждения. [2] [32] Оригинальная работа Делла Франчески была утеряна до тех пор, пока в 1851 и 1880 годах она не была вновь обнаружена в коллекции Урбино Ватиканской библиотеки шотландским антикваром Джеймсом Деннистоуном и немецким историком искусства Максом Джорданом соответственно, что позволило поставить точность обвинений Вазари быть проверено. [13] [33]
Последующие работы по изучению правильных тел и их перспектив аналогичным образом, основанные на работах делла Франчески и их передаче Пачоли, включают Альбрехта Дюрера » « Underweysung der Messung (1525), в котором основное внимание уделяется методам рисования перспективы как регулярных тел, так и их перспектив. и неправильных многогранников, а также для их построения в качестве физических моделей, [34] и Венцеля Ямнитцера » «Perspectiva Corporum Regularium (1568 г.), в которой представлены изображения многих многогранников, полученных из правильных многогранников, но без математического анализа. [35]
Хотя было зарегистрировано существование книги с таким же названием в 16 веке в частной библиотеке Джона Ди , [36] Ватиканская копия De quinque corporibus Regularibus (Vatican Codex Urbinas 632) является единственной известной сохранившейся копией. [3] В каталоге коллекции Ватикана 1895 года он указан между томами Евклида и Архимеда. [37] Его репродукции были опубликованы Академией Линчеи в 1916 году и Джунти в 1995 году. [3]
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Дэвис (1977) , с. 18.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Дэвис (1977) , стр. 98–99.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Филд (1997) , с. 247.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Филд (1997) , с. 246.
- ^ Дэвис (1977) , стр. 18–19.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Филд (1997) , с. 248.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Банкир (2005) .
- ^ Петерсон (1997) , с. 37.
- ^ Дэвис (1977) , стр. 1–2.
- ^ Дэвис (1977) , стр. 11–12.
- ^ Дэвис (1977) , стр. 18, 46.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Петерсон (1997) , с. 35.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Деннистоун (1851 г.) .
- ^ Дэвис (1977) , с. 20.
- ^ Дэвис (1977) , стр. 20, 50.
- ^ Петерсон (1997) , с. 35–36.
- ^ Дэвис (1977) , стр. 20, 51–57.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Дэвис (1977) , стр. 46–47.
- ^ Филд (1997) , с. 244.
- ^ Филд (1997) , с. 253.
- ^ Дэвис (1977) , с. 20, 57–63.
- ^ Петерсон (1997) , стр. 37–38.
- ^ Светц (1995) .
- ^ Хотя делла Франческа изучал другие работы Архимеда, расчет объема этого твердого тела в « Методе механических теорем » Архимеда был утерян в древности и не открыт заново до 1906 года ( Петерсон 1997 , стр. 37–38). Первые подробные сведения о китайских интеллектуальных произведениях были переданы в Европу иезуитскими китайскими миссиями, начиная с 17 века, намного позже времен делла Франчески ( Mungello 1985 ).
- ^ Дэвис (1977) , стр. 19, 44–45.
- ^ Дэвис (1977) , с. 45.
- ↑ Филд (1997 , стр. 252) предполагает, что делла Франческа не знал латыни и нуждался в помощи Даля Борго, но этому противоречит более позднее открытие Банкером (2005) латинской рукописи сочинений Архимеда, скопированной делла Франческа.
- ^ Филд (1997) , с. 252.
- ^ Дэвис (1977) , стр. 19–20.
- ^ Монтебелли (2015) .
- ^ Дэвис (1977) , с. 64.
- ^ Петерсон (1997) , с. 39.
- ^ Джордан (1880) .
- ^ Дэвис (1977) , стр. 84–89.
- ^ Дэвис (1977) , стр. 90–91.
- ^ Ди (2006) .
- ^ Отменено (1895 г.) .
Ссылки [ править ]
- Банкир, Джеймс Р. (март 2005 г.), «Рукопись сочинений Архимеда рукой Пьеро делла Франческа», The Burlington Magazine , 147 (1224): 165–169, JSTOR 20073883 , S2CID 190211171
- Дэвис, Маргарет Дейли (1977), Математические трактаты Пьеро Делла Франчески: Trattato D'abaco и Libellus de Quinque Corporibus Regularibus (на английском и итальянском языках), Longo Editore
- Ди, Джон (2006), Холливелл-Филлиппс, Дж.О. (редактор), «Личный дневник доктора Джона Ди и каталог его библиотеки рукописей» , Project Gutenberg, стр. 77
- Деннистоун, Джеймс (1851), Мемуары герцогов Урбино, иллюстрирующие оружие, искусство и литературу Италии с 1440 по 1630 год , Лонгман, Браун, Грин и Лонгманс, стр. 195–197.
- Филд, СП (1997), «Вновь открывая архимедовы многогранники: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганнес Кеплер», Архив истории точных наук , 50 (3–4): 241 –289, doi : 10.1007/BF00374595 , JSTOR 41134110 , MR 1457069 , S2CID 118516740
- Джордан, М. (1880), «Недостающий трактат Пьеро делла Франческа о пяти правильных телах» , Ежегодник Королевских коллекций произведений искусства Пруссии (на немецком языке), 1 (2–4): 112–119, JSTOR 4301707
- Монтебелли, Вико (2015), «Лука Пачоли и перспектива (часть I)», Lettera Matematica , 3 (3): 135–141, doi : 10.1007/s40329-015-0090-4 , MR 3402538 , S2CID 193533200
- Мунгелло, Дэвид Э. (1985), Любопытная земля: жилье иезуитов и истоки китаеведения , Studia Leibnitiana Supplementa, vol. 25 лет, Франц Штайнер Верлаг
- Петерсон, Марк А. (1997), «Геометрия Пьеро делла Франческа», The Mathematical Intelligencer , 19 (3): 33–40, doi : 10.1007/BF03025346 , MR 1475147 , S2CID 120720532
- Сторнаяло, Козимо (1895), Codices urbinates graeci Ватиканской библиотеки, записанные президентом Альфонсо кардиналом Капечелатро , Библиотека Ватикана, стр. 97
- Светц, Фрэнк Дж. (февраль 1995 г.), «Объем сферы: китайский вывод», Учитель математики , 88 (2): 142–145, doi : 10.5951/MT.88.2.0142 , JSTOR 27969235