Первая звездчатая форма ромбододекаэдра.

Эшер крепкий. На этом изображении не изображено созвездие, поскольку разные видимые части одной шестиугольной грани созвездия имеют разные цвета. Однако окраска соответствует изображению многогранного соединения трех уплощенных октаэдров.

Тело Эшера топологически эквивалентно додекаэдру Дисдиакиса , каталонскому телу , которое можно рассматривать как ромбический додекаэдр с более короткими ромбическими пирамидами, увеличенными к каждой грани.

В геометрии первая звездчатка ромбододекаэдра представляет собой самопересекающийся многогранник с 12 гранями, каждая из которых представляет собой невыпуклый шестиугольник.Это звездочка ромбического додекаэдра , имеющая ту же внешнюю оболочку и такой же внешний вид, как и две другие формы: твердое тело Эшера с 48 треугольными гранями и многогранное соединение трех сплюснутых октаэдров с 24 перекрывающимися треугольными гранями.

Твердое тело Эшера может мозаику пространства, образуя звездчатые ромб-додекаэдрические соты .

Звездчатость, твердая и составная

Первая звездчатая ромбдодекаэдра имеет 12 граней, каждая из которых представляет собой невыпуклый шестиугольник. Это звездочка ромбододекаэдра . , что означает, что каждая из его граней лежит в той же плоскости, что и одна из ромбовидных граней ромбододекаэдра, причем каждая грань содержит ромб в той же плоскости, и что она имеет ту же симметрию, что и ромбододекаэдр ромбдодекаэдр. Это первая звездчатость, означающая, что никакой другой самопересекающийся многогранник с такими же плоскостями граней и такой же симметрией не имеет граней меньшего размера. Расширение граней наружу в тех же плоскостях приводит к образованию еще двух звездочек, если грани должны быть простыми многоугольниками .

STL-модель первой звездчатки ромбододекаэдра, разложенная на 12 пирамид и 4 полукуба.

Для многогранников, образованных только с использованием граней в тех же 12 плоскостях и с одинаковой симметрией, но с возможностью сделать грани непростыми или с несколькими гранями в одной плоскости, возникают дополнительные возможности. В частности, удаление внутреннего ромба из каждой шестиугольной грани звездчатого тела оставляет четыре треугольника, а полученная система из 48 треугольников образует другой невыпуклый многогранник без самопересечений, который образует границу объемной фигуры, иногда называемой телом Эшера. Эта форма появляется в М.К. Эшера работах «Водопад » и в исследовании « Звезды» (хотя сама «Звезды» имеет другую форму — соединение трех октаэдров ). Поскольку звездчатка и твердое тело имеют одинаковый внешний вид, невозможно определить, какой из двух Эшер намеревался изобразить в «Водопаде» . В «Исследовании звезд » Эшер изображает многогранник в форме скелета и включает ребра, которые являются частью скелетной формы тела Эшера, но не являются частью звездчатого тела. (В звездчатой ​​форме эти сегменты линий образованы пересечением граней, а не ребер.) Однако альтернативная интерпретация той же самой скелетной формы состоит в том, что она изображает третью форму с аналогичным внешним видом, многогранное соединение трех сплюснутых октаэдров с 24 перекрывающиеся треугольные грани.

48 треугольных граней твердого тела равнобедренные; если самая длинная сторона этих треугольников равна длине $s$ тогда два других ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}s$, площадь поверхности твердого тела равна $12{\sqrt {2}}s^{2}$ а объем твердого тела $4s^{3}$.

Вершины, ребра и грани

Вершины первой звездчатости ромбододекаэдра включают 12 вершин кубооктаэдра вместе с восемью дополнительными вершинами (вершины ромбододекаэдра степени 3). Тело Эшера имеет шесть дополнительных вершин в центральных точках квадратных граней кубооктаэдра (вершины четвертой степени ромбододекаэдра). В первой звездчатости ромбододекаэдра эти шесть точек не являются вершинами, а являются серединами пар ребер, которые пересекаются в этих точках под прямым углом.

Первая звездчатая форма ромбододекаэдра имеет 12 шестиугольных граней, 36 ребер и 20 вершин, что дает эйлерову характеристику 20 - 36 + 12 = -4. Вместо этого тело Эшера имеет 48 треугольных граней, 72 ребра и 26 вершин, что дает эйлерову характеристику 26 - 72 + 48 = 2.

Тесселяция

Тесселяция пространства телами Эшера

Твердое тело Эшера может мозаично представлять пространство в виде звездчатых ромб-додекаэдрических сот . В каждой вершине встречаются шесть тел. Эти соты являются транзитивными по ячейкам , транзитивными по ребрам и транзитивными по вершинам .

Куб Йошимото , головоломка, состоящая из куба и двух копий тела Эшера, тесно связана с этой мозаикой.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Первая звездочка ромбододекаэдра» . Математический мир .
• Джордж Харт, Stellations