Пентаграмма

Эта статья о фигуре с пересекающимися линиями. Чтобы узнать о фигуре, показывающей только контур, см. Пятиконечная звезда . Чтобы узнать о других значениях, см. Пентаграмма (значения) .

Пентаграмма

Пентаграмма (иногда известная как пентальфа, пятиугольник или звездный пятиугольник) — правильный пятиконечный звездчатый многоугольник , образованный из диагональных сегментов выпуклого (или простого, или несамопересекающегося) правильного пятиугольника . Нарисовав круг вокруг пяти точек, можно создать аналогичный символ, называемый пентаклем . который широко используется викканами и в язычестве или как знак жизни и связей. Слово «пентаграмма» относится только к пятиконечной звезде, а не к окружности пентакля.

Слово пентаграмма происходит от греческого слова pentagrammon ( пентаграммон ), от пять ( pente ), «пять» + линия ( grammē ), «линия». Слово «пентаграмма» относится только к звезде, а слово «пентакль» относится к звезде внутри круга, хотя в использовании есть некоторые совпадения. Слово пентальфа — это возрождение постклассического греческого названия формы в 17 веке.

История

Ранняя история

Ранние пентаграммы были найдены на шумерской керамике из Ура ок. 3500 г. до н. э. , а пятиконечная звезда в разное время была символом Иштар или Мардука .

Пифагорейская «Пентаграмма Гугиеи».

Правосторонняя переплетенная пентаграмма, популярная среди виккан и некоторых других неоязычников. Флаг Марокко часто имеет левостороннюю версию .

Символы пентаграммы, датированные примерно 5000 лет назад, были найдены в культуре Лянчжу в Китае .

Пентаграмма была известна древним грекам , ее изображение на вазе, возможно, датируется VII веком до нашей эры. Пифагорейство зародилось в VI веке до нашей эры и использовало пентаграмму как символ взаимного признания, благополучия, а также для признания добрых дел и благотворительности.

Примерно с 300–150 гг. до н.э. символом Иерусалима была пентаграмма, отмеченная пятью еврейскими буквами ירשלם, обозначающими его название.

Говорят, что в неоплатонизме пентаграмма использовалась как символ или знак признания пифагорейцами , которые называли пентаграмму ὑγιεία humieia «здоровьем».

Западная символика

Средний возраст

Пентаграмма использовалась в древние времена как христианский символ пяти чувств . или о пяти ранах Христа . Пентаграмма играет важную символическую роль в английской поэме XIV века « Сэр Гавейн и Зеленый рыцарь» , в которой символ украшает щит героя Гавейна . Неназванный поэт приписывает происхождение этого символа царю Соломону и объясняет, что каждая из пяти взаимосвязанных точек представляет собой добродетель, связанную с группой из пяти: Гавейн совершенен в своих пяти чувствах , а пять пальцев, верные Пяти ранам Христа, принимают мужество от пяти радостей , которые Мария получила от Иисуса, и олицетворяет пять добродетелей рыцарства , это щедрость, дружба, целомудрие, рыцарство и благочестие.

Северная роза Амьенского собора.

Северная роза Амьенского собора (построенного в 13 веке) украшена мотивом пентаграммы. Некоторые источники интерпретируют необычную звезду, направленную вниз, как символ сошествия Святого Духа на людей.

Ренессанс

Генрих Корнелиус Агриппа и другие увековечили популярность пентаграммы как магического символа, приписывая пять неоплатонических элементов пяти точкам в типичной манере эпохи Возрождения.

Романтизм

К середине 19 века среди оккультистов сложилось дальнейшее различие относительно ориентации пентаграммы. Одной точкой вверх он изображал дух, управляющий четырьмя элементами материи, и по сути был «добром». Однако влиятельный, но противоречивый писатель Элифас Леви , известный своей верой в то, что магия — это настоящая наука, называл ее злом всякий раз, когда символ появлялся наоборот:

• «Перевернутая пентаграмма с двумя вершинами, выступающими вверх, является символом зла и привлекает зловещие силы, поскольку она опрокидывает правильный порядок вещей и демонстрирует торжество материи над духом. Это козел похоти, нападающий на небеса своими рогами, знак, ненавидимый посвященными».
• «Пылающая звезда, которая, когда она перевернута, является иероглифическим [ sic ] знаком козла черной магии , чья голова может быть нарисована в звезде, два рога наверху, уши справа и слева, борода внизу — знак антагонизма и фатальности. Это козел похоти, атакующий небеса своими рогами».
• «Давайте будем держать фигуру Пятиконечной звезды всегда вертикально, с самым верхним треугольником, указывающим на небо, поскольку это место мудрости, и если фигуру перевернуть, результатом будут извращения и зло».

• 
  Человек, вписанный в пентаграмму, из Генриха Корнелиуса Агриппы книги De occulta philosophia libri tres . пентаграммы Пять знаков в вершинах являются астрологическими .
• 
  Еще одна пентаграмма из книги Агриппы. На этом круге написаны буквы Пифагора.
• 
  Пентаграмма оккультиста . и мага Элифаса Леви , которую он считал символом микрокосма , или человека

Апотропное . (защитное) использование в немецком фольклоре символа пентаграммы (называемого по-немецки Drudenfuss ) упоминается Гете в «Фаусте» (1808), где пентаграмма не позволяет Мефистофелю выйти из комнаты (но не мешает ему войти тем же способом) кстати, так как внешний угол диаграммы оказался несовершенным):

Мефистофель:

Я должен признаться, хотя мне мешают

Из-за мелочи, которая мне мешает,

Нога друида на пороге твоего дома –

Фауст:

Пентаграмма причиняет вам боль?

Тогда скажи мне, сын ада,

Если это так, то как вы получили

Вход? Неужели такие духи, как ты, обмануты?

Мефистофель:

Посмотрите внимательно! Оно не завершено:

Один ракурс, если внимательно присмотреться

Как видите, он остался немного открытым.

также защитным является использование в исландском фольклоре жестовой или вырезанной, а не нарисованной пентаграммы (по-исландски называемой smèrhnút ): По словам фольклориста XIX века Йона Арнасона ,

Масло, полученное из искусственной рвоты, называется искусственным маслом; это похоже на что-то другое; но если кто-нибудь сделает над ним крест или вырежет на нем крест или фигуру, называемую пахтовым узлом, ^* все это взрывается на мелкие кусочки и становится как бы крупинкой шлака, так что от него ничего не остается, кроме одних частиц, или оно оседает, как пена. Поэтому кажется более благоразумным, если человеку предлагают съесть ужасное масло или в качестве платы сделать на нем какую-либо отметку, потому что фальшивое масло не выдерживает ни крестика, ни масляного узла.

* Масляный узел имеет такую ​​форму:

Использование в современном оккультизме

Основанная на оккультизме эпохи Возрождения, пентаграмма нашла свое отражение в символике современных оккультистов. Его основное использование является продолжением древнего вавилонского использования пентаграммы в качестве апотропного амулета для защиты от злых сил. Элифас Леви утверждал, что «Пентаграмма выражает господство разума над элементами, и именно этим знаком мы связываем демонов воздуха, духов огня, призраков воды и призраков земли». В этом духе Герметический Орден Золотой Зари разработал использование пентаграммы в меньшем изгоняющем ритуале пентаграммы , который до сих пор используется теми, кто практикует магию типа Золотой Зари.

Алистер Кроули использовал пентаграмму в системе магии, используемой в Телеме : неблагоприятная или перевернутая пентаграмма представляет собой нисхождение духа в материю, согласно интерпретации Лона Майло Дюкетта . Кроули противоречил своим старым товарищам по Герметическому Ордену Золотой Зари , которые вслед за Леви считали такую ​​ориентацию символа злом и связывали ее с торжеством материи над духом.

Использование в новых религиозных движениях

Вера Бахаи

Основная статья: символы бахаи

Айкал Баба, написанный его собственной рукой

Пятиконечная звезда является символом Веры Бахаи . В Вере Бахаи звезда известна как Хайкал ( по-арабски : «храм» ), и она была инициирована и основана Бабом . Баб и Бахаулла написали различные произведения в форме пентаграммы.

Церковь Иисуса Христа Святых последних дней

Предполагается, что Церковь Иисуса Христа Святых последних дней архитектуре как вертикальные, так и перевернутые пятиконечные звезды начала использовать в храмовой , начиная с храма в Наву, штат Иллинойс, посвященного 30 апреля 1846 года. Другие храмы, украшенные пятиконечными звездами в обеих ориентациях, включают храм в Солт-Лейк-Сити и храм в Логане, штат Юта . Эти обычаи происходят из символизма, найденного в 12-й главе Откровения : «И явилось великое чудо на небе: жена, облеченная в солнце, и луна под ногами ее, и на главе ее венец из двенадцати звезд».

Викка

Типичная неоязыческая пентаграмма (описана)

USVA 37 Эмблема надгробия

Из-за предполагаемой ассоциации с сатанизмом и оккультизмом многие школы США в конце 1990-х годов стремились запретить учащимся отображать пентаграмму на одежде или украшениях. В государственных школах такие действия администраторов были признаны в 2000 году нарушением закрепленного Первой поправкой к Конституции права учащихся на свободное исповедание религии, .

Пентаграмма в кружочке (называемая пентаклем истцами ) была добавлена ​​к списку из 38 утвержденных религиозных символов, которые будут размещены на надгробиях погибших военнослужащих на Арлингтонском национальном кладбище 24 апреля 2007 года. Решение было принято после десяти заявлений от семьи павших солдат, практиковавших Викку . Правительство выплатило семьям 225 000 долларов США для урегулирования предстоящих судебных исков.

Другое религиозное использование

Сатанизм

Перевернутая пентаграмма — самый заметный и распространенный символ сатанизма .

Голова козла Бафомета образует перевернутую пентаграмму, как изображено на Символе Бафомета.

Перевернутая пентаграмма широко используется в сатанизме , иногда изображается с козла головой Бафомета , популяризированной Церковью Сатаны с 1968 года. Сатанисты ЛаВея соединяют голову козла с еврейскими буквами в пяти точках пентаграммы, чтобы сформировать Сигил. о Бафомете . Символ Бафомета был адаптирован для логотипа Министерства Радости Сатаны с использованием клинописных символов в пяти точках пентаграммы, что отражает самое раннее использование этой формы в Шумере . Перевернутая пентаграмма также появляется на логотипе Сатанинского Храма с альтернативным изображением головы Бафомета. Другие изображения головы сатанинского козла напоминают перевернутую пентаграмму без четкого очертания.

Религия Серер

Пятиконечная звезда является символом религии Серер и народа Серер в Западной Африке. оно называется Юнир На их языке и символизирует вселенную в мифе о творении Серера , а также представляет звезду Сириус .

Другое современное использование

• Пентаграмма изображена на национальных флагах Марокко (принята в 1915 году) и Эфиопии (принята в 1996 году и повторно принята в 2009 году).

• 
  Марокко Флаг
• 
  Эфиопии Флаг

• Орден Восточной Звезды , организация (основанная в 1850 году), связанная с масонством , использует в качестве символа пентаграмму с пятью равнобедренными треугольниками , вершины которых окрашены в синий, желтый, белый, зеленый и красный цвета. В большинстве Великих Капитулов пентаграмма используется направленной вниз, но в некоторых она направлена ​​вверх. Офицеры Великого Капитула часто изображают пятиугольник вокруг звезды. (изображенная здесь эмблема принадлежит Ассоциации Принс-Холла).

• 
  ордена Звезды Востока Эмблема

• Пентаграмма изображена на флаге голландского города Хааксберген , а также на его гербе.

• 
  Флаг Хааксбергена

• Пентаграмма изображена на флаге японского города Нагасаки , а также на его гербе.

• 
  Флаг Нагасаки

Геометрия

Снежинки Коха, нарисованные с помощью MSWLogo (в Тартапелаго )

Пентаграмма – это простейший правильный звездчатый многоугольник . Пентаграмма содержит десять точек (пять вершин звезды и пять вершин внутреннего пятиугольника) и пятнадцать отрезков линий. Он представлен символом Шлефли {5/2}. Подобно правильному пятиугольнику и правильному пятиугольнику с построенной внутри него пентаграммой, правильная пентаграмма имеет в качестве группы симметрии группу диэдра 10-го порядка.

Его можно рассматривать как сетку пятиугольной пирамиды, хотя и с равнобедренными треугольниками.

Строительство

Пентаграмму можно построить, соединив альтернативные вершины пятиугольника ; посмотреть подробности строительства . Его также можно построить в виде звездчатого пятиугольника, расширяя края пятиугольника до пересечения линий.

Золотое сечение

Правильная пентаграмма, окрашенная так, чтобы различать сегменты ее линий разной длины. Четыре длины находятся в золотом пропорции друг к другу.

Золотое сечение , φ = (1 + √ 5 )/2 ≈ 1,618, удовлетворяющее:

$\varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\,$

$\varphi =1/(2\sin(\pi /10))=1/(2\sin 18^{\circ })\,$

$\varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\,$

играет важную роль в правильных пятиугольниках и пентаграммах. Каждое пересечение ребер разделяет ребра по золотому сечению: отношение длины ребра к более длинному сегменту равно φ , как и длина более длинного сегмента к более короткому. Кроме того, отношение длины более короткого сегмента к сегменту, ограниченному двумя пересекающимися краями (сторона пятиугольника в центре пентаграммы), равно φ . Как показано на четырехцветной иллюстрации:

${\frac {\mathrm {red} }{\mathrm {green} }}={\frac {\mathrm {green} }{\mathrm {blue} }}={\frac {\mathrm {blue} }{\mathrm {magenta} }}=\varphi .$

Пентаграмма включает в себя десять равнобедренных треугольников : пять остроугольных и пять тупоугольных равнобедренных треугольников. Во всех них отношение большей стороны к короткой равно φ . Острые треугольники — это золотые треугольники . Тупой равнобедренный треугольник, выделенный цветными линиями на иллюстрации, представляет собой золотой гномон .

Тригонометрические значения

Основная статья: Точные тригонометрические значения

${\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}&=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}\\[5pt]\cos {\frac {\pi }{10}}&=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}\\[5pt]\tan {\frac {\pi }{10}}&=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}\\[5pt]\cot {\frac {\pi }{10}}&=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}&=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}\\[5pt]\cos {\frac {\pi }{5}}&=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}\\[5pt]\tan {\frac {\pi }{5}}&=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\[5pt]\cot {\frac {\pi }{5}}&=\cot 36^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}\end{aligned}}$

В результате в равнобедренном треугольнике с одним или двумя углами по 36° длина большей из двух сторон в φ раз больше длины меньшей из двух, как в случае острого, так и в случае тупоугольного треугольника. .

Сферическая пентаграмма

Дополнительная информация: Чудесная пентаграмма.

Пентаграмму можно нарисовать в виде звездного многоугольника на сфере, состоящей из пяти дуг большого круга, все внутренние углы которого являются прямыми. Эту форму описал Джон Непер в своей книге 1614 года Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Описание чудесного правила логарифмов) вместе с правилами, связывающими значения тригонометрических функций пяти частей прямоугольного сферического треугольника (двух углов и трех сторон). Позже его изучил Карл Фридрих Гаусс .

Трехмерные фигуры

Дополнительная информация: Однородный многогранник: икосаэдральная симметрия.

Несколько многогранников включают пентаграммы:

• 
  Пентаграмматическая призма
• 
  Пентаграмматическая антипризма
• 
  Пентаграммная скрещенная антипризма
• 
  Малый звездчатый додекаэдр
• 
  Большой звездчатый додекаэдр
• 
  Малый дитригональный икосододекаэдр
• 
  Додекадодекаэдр

Высшие измерения

Ортогональные проекции многогранников более высоких размерностей также могут создавать пентаграммные фигуры:

4D		5Д
Правильный 5-клеточный (4- симплексный ) имеет пять вершин и 10 ребер.	Выпрямленная 5-ячейка имеет 10 вершин и 30 ребер.	Выпрямленный 5-симплекс имеет 15 вершин, которые в этой ортогональной проекции рассматриваются как три вложенные друг в друга пентаграммы.	Биректифицированный 5-симплекс имеет 20 вершин, которые в этой ортогональной проекции рассматриваются как четыре перекрывающиеся пентаграммы.

Все десять 4-мерных 4 -многогранников Шлефли–Гесса имеют либо пентаграммные грани, либо вершинных фигур элементы .

Пентаграмма Венеры

Пентаграмма Венеры

Пентаграмма Венеры — это видимый путь планеты Венера , наблюдаемый с Земли . Последовательные нижние соединения Венеры повторяются с орбитальным резонансом примерно 13:8, то есть Венера обращается вокруг Солнца примерно 13 раз за каждые восемь витков Земли, смещаясь на 144 ° при каждом нижнем соединении. Концы пяти петель в центре фигуры имеют такое же геометрическое соотношение друг с другом, что и пять вершин или точек пентаграммы, и каждая группа из пяти пересечений, равноудаленных от центра фигуры, имеет такое же геометрическое соотношение.

В компьютерных системах

См. также: Ввод Unicode

Пентаграмма имеет следующие кодовые точки Unicode , которые позволяют включать ее в документы:

• U+26E4 ⛤ ПЕНТАГРАММА
• U+26E5 ⛥ ПРАВРУКАЯ ЧЕСРЕСТАВНАЯ ПЕНТАГРАММА
• U + 26E6 ⛦ ЛЕВОРУКАЯ ЧЕСРЕСТАВНАЯ ПЕНТАГРАММА
• U+26E7 ⛧ ПЕРЕВЕРНУТАЯ ПЕНТАГРАММА

См. также

• Абэ-но Сэймэй – японский мистик
• Христианский символизм - использование христианством символов, включая архетипы, действия, произведения искусства или события.
• Знаки отличия командования на море - значок в вооруженных силах США.
• Эннеаграмма (геометрия) – многоугольник с девятиконечной звездой.
• Пятиконечная звезда – распространенная идеограмма в современной культуре.
• Гептаграмма – Звездный многоугольник
• Гексаграмма – многоугольник шестиконечной звезды.
• Лютня Пифагора – Самоподобная геометрическая фигура
• Почетная медаль - высшая награда Вооруженных сил США.
• Пентахорон – 4- симплексный
• Карта пентаграммы - Дискретная динамическая система в пространстве модулей многоугольников на проективной плоскости.
• Пентальфа – головоломка с камнями и пентаграммой.
• Граф Петерсена - кубический граф с 10 вершинами и 15 ребрами.
• Теорема Птолемея - связывает 4 стороны и 2 диагонали четырехугольника с вершинами на общей окружности.
• Печать Соломона - перстень-печатка, приписываемый израильскому царю Соломону.
• Звездные многоугольники в искусстве и культуре – Многоугольники как символические элементы
• Звезда (геральдика) – геральдический символ.
• Звездчатые многоугольники - расширение элементов многогранника для формирования новой фигуры.

Дальнейшее чтение

• Беккер, Удо (1994). «Пентаграмма» . Энциклопедия символов континуума . Перевод Гармера, Лэнса В. Нью-Йорк: Continuum Books. стр. 230 и далее. ISBN  978-0-8264-0644-6 .
• Конвей, Джон Хортон ; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (апрель 2008 г.). «Глава 26, Еще выше: Правильные звездные многогранники». Симметрии вещей . Уэлсли, Массачусетс: АК Питерс. п. 404. ИСБН  978-1-56881-220-5 .
• Фергюсон, Джордж Уэллс (1966) [1954]. Знаки и символы в христианском искусстве . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 59. ОСЛК   65081051 .
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри Колин (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN  978-0-7167-1193-3 .
• Грюнбаум, Бранко (1994). «Многогранники с полыми гранями». В Бистрички, Т.; МакМаллен, П .; Шнайдер, А.; Вайс, А. Ивич (ред.). Многогранники: абстрактные, выпуклые и вычислительные . НАТО ASI Series C: Математические и физические науки. Том. 440. Дордрехт: Springer Нидерланды. стр. 43–70. дои : 10.1007/978-94-011-0924-6_3 . ISBN  978-94-010-4398-4 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пентаграмма» . Математический мир .
• Пентакль Пифагора из Biblioteca Arcana.