Большой додекаэдр
| Большой додекаэдр | |
|---|---|
 | |
| Тип | Многогранник Кеплера – Пуансо |
| Лица | 12 |
| Края | 30 |
| Вершины | 12 |
| Группа симметрии | икосаэдрическая симметрия |
| Двойной многогранник | маленький звездчатый додекаэдр |
| Характеристики | правильный , невыпуклый |
| Вершинная фигура | |
 | |
В геометрии большой додекаэдр — один из четырёх многогранников Кеплера-Пуансо . Он состоит из 12 пятиугольных граней (шести пар параллельных пятиугольников), пересекающихся друг с другом, образуя пентаграммный путь, в каждой вершине которого встречаются пять пятиугольников.
Строительство
[ редактировать ]Один из способов построить большой додекаэдр — это огранить правильный икосаэдр . Другими словами, он строится из правильного икосаэдра путем удаления его многоугольных граней без изменения или создания новых вершин. [1] Другой способ — сформировать правильный пятиугольник из каждой из пяти вершин внутри правильного икосаэдра и двенадцати правильных пятиугольников, пересекающих друг друга, образуя пентаграмму в качестве его вершинной фигуры . [2] [3]
Большой додекаэдр можно также интерпретировать как вторую звездчатую часть додекаэдра . Строительство началось с правильного додекаэдра путем прикрепления к каждой его грани 12 пятиугольных пирамид, известных как первая звездчатка . Вторая звездочка появляется, когда 30 клиньев . к ней прикрепляют [4]
Формулы
[ редактировать ]Дан большой додекаэдр с длиной ребра. . Описанная окружность большого додекаэдра является: Площадь его поверхности является: Его объем является: [5]
Появление
[ редактировать ]
Исторически большой додекаэдр — одно из двух твердых тел, открытых Луи Пуансо в 1810 году, и некоторые люди назвали его в его честь — « Тело Пуансо» . Что касается предыстории, Пуансо заново открыл два других твердых тела, которые уже были открыты Иоганном Кеплером — малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр . [3] Однако большой додекаэдр появился в Perspectiva Corporum Regularium 1568 года Венцеля Ямнитцера , хотя его рисунок чем-то похож. [6]
Большой додекаэдр появился в массовой культуре и игрушках. Примером может служить головоломка «Звезда Александра» , кубик Рубика , основанный на большом додекаэдре. [7]
Связанные многогранники
[ редактировать ]
Соединение малого звездчатого додекаэдра и большого додекаэдра представляет собой соединение многогранника , в котором большой додекаэдр является внутренним по отношению к своему двойнику , малому звездчатому додекаэдру . Это можно рассматривать как один из двух трехмерных эквивалентов соединения двух пентаграмм ({10/4} « декаграмма »); эта серия продолжается в четвертом измерении как соединения звездных 4-многогранников .
Процесс усечения , примененный к большому додекаэдру, дает серию невыпуклых однородных многогранников . Усечение ребер до точек дает додекадодекаэдр в виде выпрямленного большого додекаэдра. Процесс завершается биректификацией, уменьшая исходные грани до точек и создавая небольшой звездчатый додекаэдр .
Он имеет то же расположение ребер , что и выпуклый правильный икосаэдр ; соединение обоих представляет собой небольшой комплексный икосододекаэдр .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Инчбальд, Гай (2006). «Диаграммы фасетирования». Математический вестник . 90 (518): 253–261. JSTOR 40378613 .
- ^ Пью, Энтони (1976). Многогранники: визуальный подход . Издательство Калифорнийского университета. п. 85.
- ^ Jump up to: а б Барнс, Джон (2012). Жемчужины геометрии (2-е изд.). Спрингер. п. 46. дои : 10.1007/978-3-642-30964-9 . ISBN 978-3-642-30964-9 .
- ^ Кромвель, Питер (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . п. 265.
- ^ Френч, Дуг; Джордан, Дэвид (2010). «Додекаэдрические срезы и многогранные кусочки». Математический вестник . 92 (529): 5–17. JSTOR 27821883 .
- ^ Скриба, Кристоф; Шрайбер, Питер (2015). 5000 лет геометрии: математика в истории и культуре . Спрингер. п. 305. дои : 10.1007/978-3-0348-0898-9 . ISBN 978-3-0348-0898-9 .
- ^ «Звезда Александра» . Игры . № 32. Октябрь 1982. с. 56.