точка Фейербаха

Теорема Фейербаха: девяти точек касается вписанной вписанной окружность из и окружностей треугольника. Касание вписанной окружности — это точка Фейербаха.

В геометрии треугольников из и вписанная окружность окружность девяти точек треугольника внутренне касаются друг друга в точке Фейербаха треугольника. Точка Фейербаха является центром треугольника , а это означает, что ее определение не зависит от местоположения и масштаба треугольника. Он указан как X(11) в Кларка Кимберлинга и Энциклопедии центров треугольников назван в честь Карла Вильгельма Фейербаха . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Теорема Фейербаха , опубликованная Фейербахом в 1822 году: ^{[ 3 ]} В более общем смысле утверждается, что окружность из девяти точек касается трех вписанных окружностей треугольника, а также его вписанной окружности. ^{[ 4 ]} Очень краткое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Кейси о битангенсах четырех окружностей, касающихся пятой окружности, было опубликовано Джоном Кейси в 1866 году; ^{[ 5 ]} Теорема Фейербаха также использовалась в качестве тестового примера для автоматического доказательства теорем . ^{[ 6 ]} Три точки касания с вписанными окружностями образуют треугольник Фейербаха данного треугольника.

Строительство

треугольника Вписанная окружность ABC — это окружность , касающаяся всех трех сторон треугольника. Его центр, центр треугольника, лежит в точке, где три биссектрисы внутреннего угла треугольника пересекают друг друга.

Окружность девяти точек — это еще одна окружность, определяемая треугольником. Названа так потому, что проходит через девять значимых точек треугольника, среди которых проще всего построить середины сторон треугольника. Через эти три средние точки проходит девятиконечная окружность; таким образом, это описанная окружность медиального треугольника .

Эти две окружности встречаются в одной точке, где они касаются друг друга. Эта точка касания является точкой Фейербаха треугольника.

С вписанной в треугольник окружностью связаны еще три окружности, вписанные в треугольник . Это круги, каждый из которых касается трех линий, проходящих через стороны треугольника. Каждый вписанный круг касается одной из этих линий с противоположной стороны треугольника и находится на той же стороне, что и треугольник, для двух других линий. Как и вписанная окружность, все вписанные окружности касаются девятиконечной окружности. Их точки касания с девятиточечной окружностью образуют треугольник — треугольник Фейербаха.

Характеристики

Точка Фейербаха лежит на линии, проходящей через центры двух определяющих ее касательных окружностей. Эти центры являются инцентром и девятиточечным центром треугольника. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Позволять $x$ , $y$ , и $z$ — три расстояния точки Фейербаха до вершин медиального треугольника (середины сторон BC=a, CA=b и AB=c соответственно исходного треугольника). Затем, ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

x+y+z=2\max(x,y,z),

или, что то же самое, наибольшее из трех расстояний равно сумме двух других. В частности, у нас есть $x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,$ где O описанной окружности опорного треугольника — центр , а I — его инцентр . ^{[ 8 ]}^{: О. 3}

Последнее свойство также справедливо для точки касания любой из вписанных окружностей с девятиточечной окружностью: наибольшее расстояние от этого касания до одной из середин сторон исходного треугольника равно сумме расстояний до середин двух других сторон. ^{[ 8 ]}

Если вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA, AB в точках X , Y и Z соответственно, а середины этих сторон соответственно P , Q и R , то с точкой Фейербаха F треугольники FPX , FQY и R FRZ аналогичны треугольникам AOI, BOI, COI соответственно. ^{[ 8 ]}^{: О. 4}

Координаты

Трилинейные координаты точки Фейербаха: ^{[ 2 ]}

1-\cos(B-C):1-\cos(C-A):1-\cos(A-B).

Его барицентрические координаты : ^{[ 8 ]}

(s-a)(b-c)^{2}:(s-b)(c-a)^{2}:(s-c)(a-b)^{2},

где s треугольника — полупериметр ( a+b+c)/2.

Три линии, идущие от вершин исходного треугольника и проходящие через соответствующие вершины треугольника Фейербаха, встречаются в другом центре треугольника, указанном как X (12) в Энциклопедии центров треугольников. Его трехлинейные координаты: ^{[ 2 ]}

1+\cos(B-C):1+\cos(C-A):1+\cos(A-B).

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Кимберлинг, Кларк (1994), «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника», Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi : 10.1080/0025570X.1994.11996210 , JSTOR 2690608 , MR 1573021 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Энциклопедия центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г. в Wayback Machine , по состоянию на 24 октября 2014 г.
^ Фейербах, Карл Вильгельм ; Бузенгейгер, Карл Гериберт Игнац (1822 г.), Свойства некоторых странных точек прямолинейного треугольника и нескольких линий и фигур, определяемых ими. Аналитико-тригонометрический трактат (изд. Монографии), Нюрнберг: Висснер .
^ Шеер, Майкл Дж. Г. (2011), «Простое векторное доказательство теоремы Фейербаха» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 205–210, arXiv : 1107.1152 , MR 2877268 .
^ Кейси, Дж. (1866), «Об уравнениях и свойствах: (1) системы кругов, касающихся трех кругов в плоскости; (2) системы сфер, касающихся четырех сфер в пространстве; (3) системы» о кругах, касающихся трех окружностей на сфере (4) о системе коник, вписанных в конику, и касающихся трех вписанных коник на плоскости», Труды Королевского ирландского общества ; Академия , 9 : 396–423, JSTOR 20488927 . См., в частности, нижнюю часть стр. 411.
^ Чжоу, Шан-Цзин (1988), «Введение в метод Ву для механического доказательства теорем в геометрии», Journal of Automated Reasoning , 4 (3): 237–267, doi : 10.1007/BF00244942 , MR 0975146 , S2CID 12368370 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Точка Фейербаха» . Математический мир .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Сандор Нагидобай Кисс, «Свойство расстояния точки Фейербаха и ее продолжение», Forum Geometricorum 16, 2016, 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf

Дальнейшее чтение

Тебо, Виктор (1949), «О точках Фейербаха», American Mathematical Monthly , 56 (8): 546–547, doi : 10.2307/2305531 , JSTOR 2305531 , MR 0033039 .
Емельянов Лев; Емельянова, Татьяна (2001), «Заметка о точке Фейербаха», Forum Geometricorum , 1 : 121–124 (электронный), MR 1891524 .
Сучава, Богдан; Ю, Пол (2006), «Точка Фейербаха и линии Эйлера», Forum Geometricorum , 6 : 191–197, MR 2282236 .
Вонк, Ян (2009), «Точка Фейербаха и отражения линии Эйлера», Forum Geometricorum , 9 : 47–55, MR 2534378 .
Нгуен, Минь Ха; Нгуен, Фам Дат (2012), «Синтетические доказательства двух теорем, связанных с точкой Фейербаха», Forum Geometricorum , 12 : 39–46, MR 2955643 .

[k94-1] Перейти обратно: ^а ^б Кимберлинг, Кларк (1994), «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника», Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi : 10.1080/0025570X.1994.11996210 , JSTOR 2690608 , MR 1573021 .

[etc-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Энциклопедия центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г. в Wayback Machine , по состоянию на 24 октября 2014 г.

[3] Фейербах, Карл Вильгельм ; Бузенгейгер, Карл Гериберт Игнац (1822 г.), Свойства некоторых странных точек прямолинейного треугольника и нескольких линий и фигур, определяемых ими. Аналитико-тригонометрический трактат (изд. Монографии), Нюрнберг: Висснер .

[4] Шеер, Майкл Дж. Г. (2011), «Простое векторное доказательство теоремы Фейербаха» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 205–210, arXiv : 1107.1152 , MR 2877268 .

[5] Кейси, Дж. (1866), «Об уравнениях и свойствах: (1) системы кругов, касающихся трех кругов в плоскости; (2) системы сфер, касающихся четырех сфер в пространстве; (3) системы» о кругах, касающихся трех окружностей на сфере (4) о системе коник, вписанных в конику, и касающихся трех вписанных коник на плоскости», Труды Королевского ирландского общества ; Академия , 9 : 396–423, JSTOR 20488927 . См., в частности, нижнюю часть стр. 411.

[6] Чжоу, Шан-Цзин (1988), «Введение в метод Ву для механического доказательства теорем в геометрии», Journal of Automated Reasoning , 4 (3): 237–267, doi : 10.1007/BF00244942 , MR 0975146 , S2CID 12368370 .

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Точка Фейербаха» . Математический мир .

[Kiss-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Сандор Нагидобай Кисс, «Свойство расстояния точки Фейербаха и ее продолжение», Forum Geometricorum 16, 2016, 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]