Циркумконический и неконический

В евклидовой геометрии называется описанной конической сечение конуса проходящее через три вершины треугольника , . ^[1] а неконика — это коническое сечение , вписанное в стороны, возможно , расширенные треугольника. ^[2]

Предположим, что $A, B, C$ — различные неколлинеарные точки, и пусть $△ ABC$ обозначает треугольник, вершинами которого являются $A, B,$ C. Следуя общепринятой практике, $A$ обозначает не только вершину, но и угол $∠ BAC$ в вершине $A$ , и аналогично для $B$ и $C$ как углы в $△ ABC$ . Позволять $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|,$ длины сторон $△ ABC$ .

В трилинейных координатах общий циркумконус — это геометрическое место переменной точки. $X=x:y:z$ удовлетворяющее уравнению

uyz+vzx+wxy=0,

для некоторой точки $u : v : w$ . Изогона , сопряженная каждой точке $X$ на описанной конической окружности, кроме $A, B, C$ , является точкой на прямой

ux+vy+wz=0.

Эта линия пересекает описанную окружность $△ ABC$ через 0, 1 или 2 точки в зависимости от того, является ли описанная окружность эллипсом, параболой или гиперболой.

Общая неконика касается трех боковых линий $△ ABC$ и определяется уравнением

u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0.

Центры и касательные

Циркумконический

Центром общей циркумконики является точка

u(-au+bv+cw):v(au-bv+cw):w(au+bv-cw).

Прямые, касающиеся общей циркумконики в вершинах $A, B, C,$ имеют вид соответственно:

{\begin{aligned}wv+vz&=0,\\uz+wx&=0,\\vx+uy&=0.\end{aligned}}

Инконик

Центром общей иконики является точка

cv+bw:aw+cu:bu+av.

Линии, касающиеся общей неконики, являются боковыми линиями $△ ABC$ , заданными уравнениями $x = 0$ , $y = 0$ , $z = 0$ .

Другие особенности

Циркумконический

Каждая некруглая описанная окружность пересекает описанную окружность $△ ABC$ в точке, отличной от $A, B, C$ , часто называемой четвертой точкой пересечения , заданной трилинейными координатами.

(cx-az)(ay-bx):(ay-bx)(bz-cy):(bz-cy)(cx-az)

Если $P=p:q:r$ является точкой на общей циркумконике, то линия, касательная к конике в точке $P,$ определяется выражением

(vr+wq)x+(wp+ur)y+(uq+vp)z=0.

Общая циркумконическая сводится к параболе тогда и только тогда, когда

u^{2}a^{2}+v^{2}b^{2}+w^{2}c^{2}-2vwbc-2wuca-2uvab=0,

и прямоугольной гиперболе тогда и только тогда, когда

u\cos A+v\cos B+w\cos C=0.

Из всех треугольников, вписанных в данный эллипс, центр тяжести треугольника наибольшей площади совпадает с центром эллипса. ^[3]^{: стр.147} Данный эллипс, проходящий через три вершины этого треугольника и с центром в центроиде треугольника, называется окружным эллипсом Штейнера треугольника .

Инконик

Общая иконика сводится к параболе тогда и только тогда, когда

ubc+vca+wab=0,

в этом случае он касается снаружи одной из сторон треугольника и касается продолжений двух других сторон .

Предположим, что ⁠ $p_{1}:q_{1}:r_{1}$ ⁠ и ⁠ $p_{2}:q_{2}:r_{2}$ ⁠ — различные точки, и пусть

X=(p_{1}+p_{2}t):(q_{1}+q_{2}t):(r_{1}+r_{2}t).

Поскольку параметр

t

варьируется в пределах действительных чисел , геометрическое положение

X

представляет собой линию. Определять

X^{2}=(p_{1}+p_{2}t)^{2}:(q_{1}+q_{2}t)^{2}:(r_{1}+r_{2}t)^{2}.

Локус

X 2

- это неконика, обязательно эллипс , заданный уравнением

L^{4}x^{2}+M^{4}y^{2}+N^{4}z^{2}-2M^{2}N^{2}yz-2N^{2}L^{2}zx-2L^{2}M^{2}xy=0,

где

{\begin{aligned}L&=q_{1}r_{2}-r_{1}q_{2},\\M&=r_{1}p_{2}-p_{1}r_{2},\\N&=p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}.\end{aligned}}

Точка внутри треугольника является центром эллипса треугольника тогда и только тогда, когда эта точка лежит внутри треугольника, вершины которого лежат в серединах сторон исходного треугольника. ^[3]^{: стр.139} Для данной точки внутри этого среднего треугольника эллипс с центром в этой точке уникален. ^[3]^{: стр.142}
Эллипс с наибольшей площадью — это эллипс Штейнера треугольника , также называемый эллипсом со средней точкой, с центром в центроиде . ^[3]^{: стр.145} В общем, отношение площади эллипса к площади треугольника, выраженное в единицах барицентрических координат $(α, β, γ)$ центра эллипса, равно ^[3]^{: стр.143}

{\frac {\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},

который максимизируется барицентрическими координатами центроида

α = β = γ = ⅓

.

Линии, соединяющие точки касания любого эллипса треугольника с противоположными вершинами треугольника, совпадают. ^[3]^{: стр.148}

Расширение на четырехугольники

Все центры эллипсов данного четырехугольника попадают на отрезок, соединяющий середины диагоналей четырехугольника . ^[3]^{: стр.136}

Примеры

Циркумконикс
- Окружность — уникальная окружность , проходящая через три вершины треугольника.
- Эллипс Штайнера — уникальный эллипс, который проходит через три вершины треугольника и находится в центре центроида треугольника.
- Гипербола Киперта — уникальная коника, проходящая через три вершины треугольника, его центроид и ортоцентр.
- Ержабека Гипербола , прямоугольная гипербола треугольника с центром в окружности из девяти точек и проходящая через три вершины треугольника, а также его центр описанной окружности , ортоцентр и различные другие известные центры.
- Гипербола Фейербаха , прямоугольная гипербола, которая проходит через ортоцентр треугольника, точку Нагеля и различные другие примечательные точки и имеет центр в окружности из девяти точек.
Инконики
- Incircle — уникальный круг, который внутренне касается трех сторон треугольника.
- Эллипс Штейнера — уникальный эллипс, касающийся трёх сторон треугольника в их средних точках.
- Mandart inellipse — уникальный эллипс, касательный к сторонам треугольника в точках контакта его вписанных окружностей.
- Парабола Киперта
- Парабола

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Циркумкон». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html
^ Вайсштейн, Эрик В. «Inconic». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.html
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Чакериан, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979.

Внешние ссылки

Циркумкон в MathWorld
Инконик в MathWorld

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Циркумкон». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Inconic». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.html

[Chakerian-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Чакериан, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979.

[1]

[2]

[3]