Гипербола Фейербаха

В геометрии гипербола Фейербаха представляет собой прямоугольную гиперболу, проходящую через важные центры треугольника, такие как ортоцентр , точку Жергонна , точку Нагеля и точку Шиффлера . Центром гиперболы является точка Фейербаха , точка касания вписанной окружности и девятиточечной окружности . ^{[ 1 ]}

Уравнение

Оно имеет трилинейное уравнение ${\frac {\cos B-\cos C}{\alpha }}+{\frac {\cos C-\cos A}{\beta }}+{\frac {\cos A-\cos B}{\gamma }}$ (здесь $A,B,C$ - углы при соответствующих вершинах и $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ – барицентрическая координата) . ^{[ 2 ]}

Характеристики

Как и другие прямоугольные гиперболы, ортоцентр любых трех точек кривой лежит на гиперболе. Итак, ортоцентр треугольника $ABC$ лежит на кривой.

Линия $OI$ касается этой гиперболы в точке $I$ .

Изогональное сопряжение OI

Гипербола – это изогональное сопряжение $OI$ , линия, соединяющая центр описанной окружности и центр. ^{[ 3 ]} Этот факт приводит к нескольким интересным свойствам. В частности, все точки, лежащие на прямой $OI$ их изогональные сопряжения лежат на гиперболе. Точка Нагеля лежит на кривой, поскольку ее изогональное сопряжение является точкой совпадения линий, соединяющих вершины и противоположные точки соприкосновения микстилинейной вписанной окружности , а также непохожестью вписанной и описанной окружностей. Точно так же точка Жергонна лежит на кривой, поскольку ее изогонально-сопряженная точка является экс-подобием вписанной и описанной окружностей.

Педальная окружность любой точки гиперболы проходит через точку Фейербаха — центр гиперболы.

Теорема Карии

Учитывая треугольник $ABC$ , позволять $A_{1},B_{1},C_{1}$ быть точками соприкосновения вписанной окружности $\odot I$ стороны треугольника противоположны вершинам $A,B,C$ соответственно. Позволять $X,Y,Z$ быть точками, лежащими на прямых $IA_{1},IB_{1},IC_{1}$ такой, что $IX=IY=IZ$ . Затем строки $AX,BY,CZ$ совпадают в точке, лежащей на гиперболе Фейербаха.

Теорема Карии имеет долгую историю. ^{[ 4 ]} Это было независимо доказано Огюстом Бутеном и В. Ретали. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} но известность пришла только после статьи Карии. ^{[ 8 ]} Примерно в это же время было дано множество обобщений этого результата. Теорему Карии можно использовать для построения гиперболы Фейербаха.

И теорема Лемуана , и теорема Карии являются частным случаем теоремы Якоби .

См. также

Другие прямоугольные гиперболы

Гипербола Киперта — уникальная коника, проходящая через три вершины треугольника, его центроид и ортоцентр.
Ержабека Гипербола , прямоугольная гипербола треугольника с центром в окружности из девяти точек и проходящая через три вершины треугольника, а также его центр описанной окружности , ортоцентр и различные другие известные центры.

Ссылки

^ Баучер, Х. (1893). «Классификационный очерк пород домашних птиц» . Анналы Линнеевского общества в Лионе . 40 (1): 89–100. дои : 10.3406/linly.1893.4047 . ISSN 1160-6398 .
^ Парри, CF (2001). «Центры треугольников и центральные треугольники, Кларк Кимберлинг (Congress Numerantium Vol. 129), стр. 295. $ 42,50, 1998. ISSN 0316-1282 (Utilitas Mathematica Publishing, Inc., Виннипег)» . Математический вестник . 85 (502): 172–173. дои : 10.2307/3620531 . ISSN 0025-5572 . JSTOR 3620531 . S2CID 227212286 .
^ Ригби, Дж. Ф. (1973). «Концентрированная доза старомодной геометрии» . Математический вестник . 57 (402): 296–298. дои : 10.2307/3616051 . ISSN 0025-5572 . JSTOR 3616051 . S2CID 126241645 .
^ «Проблемы и решения» . Американский математический ежемесячник . 119 (8): 699. 2012. doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.08.699 . S2CID 37903933 .
^ Кахане, Дж. (1961). «Задачи и замечания о квадратах свертки» . Коллоквиум Математикум . 8 (2): 263–265. дои : 10,4064/см-8-2-263-265 . ISSN 0010-1354 .
^ Гумберт, Г. (1890). «О кониках, вписанных в квартику» . Анналы факультета естественных наук Тулузы Математика . 4 (3): 1–8. дои : 10.5802/afst.55 . ISSN 0996-0481 .
^ «Математический журнал для среднего образования» . Доклады Палермского математического клуба . 3 (2): 56. 1889. doi : 10.1007/bf03017173 . ISSN 0009-725X . S2CID 184480136 .
^ Кария, Дж. (1904). «Задача о треугольнике» . Математическое образование . 6 :130–132, 236, 406.

Дальнейшее чтение

Гипербола Фейербаха , MathWorld

[1] Баучер, Х. (1893). «Классификационный очерк пород домашних птиц» . Анналы Линнеевского общества в Лионе . 40 (1): 89–100. дои : 10.3406/linly.1893.4047 . ISSN 1160-6398 .

[2] Парри, CF (2001). «Центры треугольников и центральные треугольники, Кларк Кимберлинг (Congress Numerantium Vol. 129), стр. 295. $ 42,50, 1998. ISSN 0316-1282 (Utilitas Mathematica Publishing, Inc., Виннипег)» . Математический вестник . 85 (502): 172–173. дои : 10.2307/3620531 . ISSN 0025-5572 . JSTOR 3620531 . S2CID 227212286 .

[3] Ригби, Дж. Ф. (1973). «Концентрированная доза старомодной геометрии» . Математический вестник . 57 (402): 296–298. дои : 10.2307/3616051 . ISSN 0025-5572 . JSTOR 3616051 . S2CID 126241645 .

[4] «Проблемы и решения» . Американский математический ежемесячник . 119 (8): 699. 2012. doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.08.699 . S2CID 37903933 .

[5] Кахане, Дж. (1961). «Задачи и замечания о квадратах свертки» . Коллоквиум Математикум . 8 (2): 263–265. дои : 10,4064/см-8-2-263-265 . ISSN 0010-1354 .

[6] Гумберт, Г. (1890). «О кониках, вписанных в квартику» . Анналы факультета естественных наук Тулузы Математика . 4 (3): 1–8. дои : 10.5802/afst.55 . ISSN 0996-0481 .

[7] «Математический журнал для среднего образования» . Доклады Палермского математического клуба . 3 (2): 56. 1889. doi : 10.1007/bf03017173 . ISSN 0009-725X . S2CID 184480136 .

[8] Кария, Дж. (1904). «Задача о треугольнике» . Математическое образование . 6 :130–132, 236, 406.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]