Коники Киперта

В геометрии треугольника коники Киперта — это две специальные коники, связанные с опорным треугольником. Одна из них — гипербола , называемая гиперболой Киперта , а другая — парабола , называемая параболой Киперта . Коники Киперта определяются следующим образом:

Если три треугольника $A^{\prime }BC$, $AB^{\prime }C$ и $ABC^{\prime }$, построенный на сторонах треугольника $ABC$ так как основания подобны, равнобедренны и одинаково расположены, то треугольники $ABC$ и $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ находятся в перспективе . Поскольку угол при основании равнобедренных треугольников варьируется в пределах $-\pi /2$ и $\pi /2$, геометрическое место центра перспективы треугольников $ABC$ и $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ - это гипербола, называемая гиперболой Киперта, а огибающая их оси перспективы - это парабола, называемая параболой Киперта.

Доказано, что гипербола Киперта — это гипербола, проходящая через вершины, центр тяжести и ортоцентр опорного треугольника, а парабола Киперта — это парабола, вписанная в опорный треугольник, имеющая линию Эйлера в качестве направляющей и центр треугольника X ₁₁₀ как фокус . Следующая цитата из статьи Р. Х. Эдди и Р. Фрича является достаточным свидетельством, чтобы установить важность коник Киперта в изучении геометрии треугольника:

«Если бы гость с Марса захотел изучить геометрию треугольника, но мог оставаться в относительно плотной атмосфере Земли лишь на один урок, земным математикам, без сомнения, было бы трудно удовлетворить эту просьбу. В этой статье , мы считаем, что у нас есть оптимальное решение проблемы. Коники Киперта...".

Гипербола Киперта

Гипербола Киперта была открыта Людвигом Кипертом при исследовании решения следующей задачи, предложенной Эмилем Лемуаном в 1868 году: «Построить треугольник по вершинам равносторонних треугольников, построенных на сторонах». Решение проблемы было опубликовано Людвигом Кипертом в 1869 году, и оно содержало замечание, которое фактически излагало определение локуса гиперболы Киперта, о котором говорилось ранее.

Основные факты

Позволять $a,b,c$ быть длинами сторон и $A,B,C$ углы при вершинах опорного треугольника $ABC$.

Уравнение

Уравнение гиперболы Киперта в барицентрических координатах $x:y:z$ является

${\frac {b^{2}-c^{2}}{x}}+{\frac {c^{2}-a^{2}}{y}}+{\frac {a^{2}-b^{2}}{z}}=0.$

Центр, асимптоты

• Центром гиперболы Киперта является центр треугольника X(115). Барицентрические координаты центра:

$(b^{2}-c^{2})^{2}:(c^{2}-a^{2})^{2}:(a^{2}-b^{2})^{2}$.

• Асимптотами гиперболы Киперта являются линии Симсона пересечений оси Брокара с описанной окружностью .
• Гипербола Киперта представляет собой прямоугольную гиперболу , поэтому ее эксцентриситет равен ${\sqrt {2}}$.

Характеристики

1. Центр гиперболы Киперта лежит на окружности девяти точек . Центр — это середина отрезка, соединяющего изогонические центры треугольника. $ABC$ которые являются центрами треугольников X (13) и X (14) в Энциклопедии центров треугольников.
2. Образ гиперболы Киперта при изогональном преобразовании является осью Брокара треугольника. $ABC$ которая является линией, соединяющей симмедианную точку и центр описанной окружности .
3. Позволять $P$ точка в плоскости неравностороннего треугольника $ABC$ и пусть $p$ быть трилинейной полярной $P$ относительно $ABC$. Местоположение точек $P$ такой, что $p$ перпендикулярен линии Эйлера $ABC$ – гипербола Киперта.

Парабола Киперта

Парабола Киперта была впервые изучена в 1888 году немецким учителем математики Августом Артцтом в рамках «школьной программы».

Основные факты

• Уравнение параболы Киперта в барицентрических координатах $x:y:z$ является

$f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-2fgxy-2ghyz-2hfzx=0$
где
$f=(b^{2}-c^{2})/a,g=(c^{2}-a^{2})/b,h=(a^{2}-b^{2})/c$.

• Фокусом параболы Киперта является центр треугольника X(110). Барицентрические координаты фокуса:

$a^{2}/(b^{2}-c^{2}):b^{2}/(c^{2}-a^{2}):c^{2}/(a^{2}-b^{2})$

• Директриса параболы Киперта - это линия Эйлера треугольника. $ABC$.

Изображения

• 
  Гипербола Киперта, показывающая центр перспективы треугольников ABC и A'B'C'
• 
  Гипербола Киперта, показывающая ортоцентр, центр и перпендикулярные асимптоты.
• 
  Парабола Киперта треугольника ABC. На рисунке также показан член (линия LMN) семейства линий, огибающей которых является парабола Киперта.
• 
  Парабола Киперта, показывающая фокус и директрису

См. также

• Треугольник конический
• Современная геометрия треугольника

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипербола Киперта» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 5 февраля 2022 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Парабола Киперта» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 5 февраля 2022 г.