Аксонометрия)

Два перспективных треугольника с их перспективной осью и центром.

Две фигуры на плоскости являются перспективными с точки О , называемой центром перспективы соединяющие соответствующие точки фигур, пересекаются в точке О. , если все линии , В двойственном смысле фигуры называются перспективными с точки зрения прямой, если все точки пересечения соответствующих прямых лежат на одной прямой. Правильным вариантом реализации этой концепции является проективная геометрия , где не будет особых случаев из-за параллельных линий, поскольку все линии встречаются. Хотя здесь говорится о фигурах на плоскости, эту концепцию легко распространить на более высокие измерения.

Терминология

Линия, проходящая через точки пересечения соответствующих сторон фигуры, известна как ось перспективы , ось перспективы , ось гомологии или, архаично, перспектива . Говорят, что фигуры перспективны с этой оси. Точка, в которой пересекаются линии, соединяющие соответствующие вершины перспективных фигур, называется центром перспективы , центром перспективы , центром гомологии , полюсом или архаическим перспектором . Говорят, что фигуры имеют перспективу из этого центра.

Перспективность

Основная статья: Перспектива

Если каждая из перспективных фигур состоит из всех точек прямой ( диапазона ), то преобразование точек одного диапазона в другой называется центральной перспективой . Двойное преобразование, при котором все линии переносятся через точку ( карандаш ) в другой карандаш посредством оси перспективы, называется осевой перспективой .

Треугольники

Важный частный случай возникает, когда фигуры представляют собой треугольники . Два треугольника, перспективные с точки, называются центральноперспективными и называются центральной парой . Два треугольника, перспективные с прямой, называются осевой перспективой и осевой парой .

Обозначения

Карл фон Штаудт ввёл обозначения $ABC\doublebarwedge abc$ чтобы указать, что треугольники ABC и abc перспективны.

Связанные теоремы и конфигурации

Теорема Дезарга утверждает, что центральная пара треугольников является осевой. Обратное утверждение о том, что осевая пара треугольников является центральной, эквивалентно (любое из них можно использовать для доказательства другого). Теорема Дезарга может быть доказана в вещественной проективной плоскости , а с соответствующими модификациями для особых случаев — в евклидовой плоскости . Проективные плоскости , в которых центральная и осевая перспективы треугольников эквивалентны, называются плоскостями Дезарга .

С этими двумя видами перспективы связано десять точек: шесть на двух треугольниках, три на оси перспективы и одна в центре перспективы. Двойственно , есть также десять линий, связанных с двумя перспективными треугольниками: тремя сторонами треугольников, тремя линиями, проходящими через центр перспективы, и осью перспективы. Эти десять точек и десять линий образуют экземпляр конфигурации Дезарга .

Два трехперспективных треугольника BbY и CcX.

Если два треугольника являются центральной парой по крайней мере в двух разных отношениях (с двумя разными ассоциациями соответствующих вершин и двумя разными центрами перспективы), то они перспективны в трех отношениях. Это одна из эквивалентных форм теоремы Паппа (шестиугольника) . Когда это происходит, девять связанных точек (шесть вершин треугольника и три центра) и девять связанных линий (по три через каждый центр перспективы) образуют экземпляр конфигурации Паппуса .

Конфигурация Рея образована четырьмя четырехперспективными тетраэдрами аналогично конфигурации Паппуса.

См. также

• Криволинейная перспектива

Ссылки

• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-50458-0 , МР   0123930
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  3-540-61786-8 , МР   0233275
• Янг, Джон Уэсли (1930), Проективная геометрия , Математические монографии Каруса (№ 4), Математическая ассоциация Америки