Треугольник конический

В евклидовой геометрии — коника треугольника это коника в плоскости опорного треугольника , каким-либо образом связанная с ним. Например, описанная окружность и вписанная окружность опорного треугольника являются кониками треугольника. Другими примерами являются эллипс Штейнера , который представляет собой эллипс, проходящий через вершины и имеющий центр в центроиде опорного треугольника; , гипербола Киперта которая представляет собой конику, проходящую через вершины, центроид и ортоцентр опорного треугольника; и параболы Артцта, которые представляют собой параболы, касающиеся двух боковых линий опорного треугольника в вершинах треугольника.

Терминология треугольника коника широко используется в литературе без формального определения; то есть без точной формулировки отношений, которые коника должна иметь с опорным треугольником, чтобы можно было назвать ее коникой треугольника (см. ^[1]^[2]^[3]^[4]). Однако греческий математик Парис Памфилос определяет конику треугольника как «конику, описывающую треугольник $△ ABC$ (т. е. проходящую через его вершины) или вписанную в треугольник (т. е. касательную к его боковым линиям)». ^[5]^[6] Терминология треугольника круг (соответственно эллипс , гипербола , парабола ) используется для обозначения круга (соответственно эллипс, гипербола, парабола), связанного каким-либо образом с эталонным треугольником.

Несмотря на то, что несколько коник треугольников изучались индивидуально, не существует всеобъемлющей энциклопедии или каталога коник треугольника, подобной Кларка Кимберлинга » «Энциклопедии центров треугольников Бернара Гиберта или «Каталогу кубов треугольников» . ^[7]

Уравнения коник треугольника в трилинейных координатах

Уравнение коники общего треугольника в трилинейных координатах $x : y : z$ имеет вид $rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.$ Уравнения околоконики и иконики треугольника имеют соответственно вид ${\begin{aligned}&uyz+vzx+wxy=0\\[2pt]&l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}-2mnyz-2nlzx-2lmxy=0\end{aligned}}$

Специальные треугольные коники

Ниже обсуждаются несколько типичных специальных треугольных коник. В описаниях используются стандартные обозначения: опорный треугольник всегда обозначается $△ ABC$ . Углы при вершинах $A, B, C$ обозначаются $A, B, C$ , а длины сторон, противоположных вершинам $A, B, C,$ обозначаются соответственно $a, b, c$ . Уравнения коник заданы в трилинейных координатах $x : y : z$ . Коники выбраны как иллюстрация нескольких различных способов, которыми коника может быть связана с треугольником.

Треугольные круги

Некоторые известные треугольные круги ^[8]
Нет.	Имя	Определение	Уравнение	Фигура
1	Окружность	Окружность, проходящая через вершины	${\frac {a}{x}}+{\frac {b}{y}}+{\frac {c}{z}}=0$	Окружность $△ ABC$
2	Обвести	Круг, который касается боковой линии внутри	$\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0$	Окружность $△ ABC$
3	Внеписанные окружности (или вписанные окружности)	Окружность, лежащая вне треугольника, касающаяся одной из его сторон и касающаяся продолжений двух других. Каждый треугольник имеет три различных вписанных окружности.	${\begin{aligned}\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\\[2pt]\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\\[2pt]\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\end{aligned}}$	Вписать и вписать в окружность
4	Девятиточечная окружность (или окружность Фейербаха, окружность Эйлера, окружность Теркема)	Окружность, проходящая через середины сторон, подошвы высот и середины отрезков от каждой вершины до ортоцентра.	${\begin{aligned}&x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C\ -\\&2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0\end{aligned}}$	Девять пунктов
5	Лемуан круг	Проведите прямые через точку Лемуана (точку симмедианы) $K$ и параллельно сторонам треугольника $△ ABC$ . Точки, в которых прямые пересекают стороны, лежат на окружности, известной как круг Лемуана.		Круг Лемуана треугольника ABC

Треугольные эллипсы

Некоторые известные треугольные эллипсы
Нет.	Имя	Определение	Уравнение	Фигура
1	Эллипс Штейнера	Коническая, проходящая через вершины $△ ABC$ и имеющая центр в центре тяжести $△ ABC.$	${\frac {1}{ax}}+{\frac {1}{by}}+{\frac {1}{cz}}=0$	Эллипс Штейнера $△ ABC$
2	эллипс Штейнера	Эллипс касается боковых линий в середине сторон.	${\begin{aligned}&a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-\\&2bcyz-2cazx-2abxy=0\end{aligned}}$	Эллипс Штейнера $△ ABC$

Треугольные гиперболы

Некоторые известные треугольные гиперболы
Нет.	Имя	Определение	Уравнение	Фигура
1	Гипербола Киперта	Если три треугольника $△ XBC$ , $△ YCA$ , $△ ZAB$ , построенные на сторонах $△ ABC$ равнобедренны и одинаково расположены, то прямые $AX, BY, CZ$ совпадают в точке $N.$ как основания, подобны , Локус $N$ — это гипербола Киперта.	${\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0$	Гипербола Киперта $△ ABC$ . Гипербола проходит через вершины $A, B, C$ , ортоцентр ( $O$ ) и центр тяжести ( $G$ ) треугольника.
2	Джерабекская гипербола	Коника, проходящая через вершины, ортоцентр и центр описанной окружности треугольника отсчета, известна как гипербола Джерабека. Это всегда прямоугольная гипербола.	${\begin{aligned}&{\frac {a(\sin 2B-\sin 2C)}{x}}+{\frac {b(\sin 2C-\sin 2A)}{y}}\\[2pt]&+{\frac {c(\sin 2A-\sin 2B)}{z}}=0\end{aligned}}$	Гипербола Джерабека $△ ABC$

Треугольные параболы

Некоторые известные треугольные параболы
Нет.	Имя	Определение	Уравнение	Фигура
1	Артцт притчи ^[9]	Парабола, касающаяся в точках $B, C$ сторон $AB, AC$ и двух других подобных парабол.	${\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4yz}{bc}}&=0\\[2pt]{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {4zx}{ca}}&=0\\[2pt]{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-{\frac {4xy}{ab}}&=0\end{aligned}}$	Художественные параболы $△ ABC$
2	Парабола Киперта ^[10]	построены три подобных равнобедренных треугольника $△ A'BC$ , $△ AB'C$ , $△ ABC'$ Пусть на сторонах $△ ABC$ . Тогда огибающая оси перспективы треугольников $△ ABC$ и $△ A'B'C'$ является параболой Киперта.	${\begin{aligned}&f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-\\[2pt]&2fgxy-2ghyz-2hfzx=0,\\[8pt]&{\text{where }}f=b^{2}-c^{2},\\&g=c^{2}-a^{2},\ h=a^{2}-b^{2}.\end{aligned}}$	Парабола Киперта $△ ABC$ . На рисунке также показан член (линия $LMN$ ) семейства линий, огибающей которых является парабола Киперта.

Семейства треугольных коник

Эллипсы Хофштадтера

Хофштадтера Эллипс ^[11] является членом однопараметрического семейства эллипсов в плоскости $△ ABC,$ определяемого следующим уравнением в трилинейных координатах: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz\left[D(t)+{\frac {1}{D(t)}}\right]+zx\left[E(t)+{\frac {1}{E(t)}}\right]+xy\left[F(t)+{\frac {1}{F(t)}}\right]=0$ где $t$ — параметр и ${\begin{aligned}D(t)&=\cos A-\sin A\cot tA\\E(t)&=\cos B-\sin B\cot tB\\F(t)&=\sin C-\cos C\cot tC\end{aligned}}$ Эллипсы, соответствующие $t$ и $1 - t,$ идентичны. Когда $t = 1/2,$ мы имеем эллипс $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2zx-2xy=0$ и когда $t \to 0,$ мы имеем описанный эллипс ${\frac {a}{Ax}}+{\frac {b}{By}}+{\frac {c}{Cz}}=0.$

Коники Томсона и Дарбу

Семейство коник Томсона состоит из коник, вписанных в опорный треугольник $△ ABC,$ обладающих тем свойством, что нормали в точках контакта с боковыми линиями совпадают. Семейство коник Дарбу содержит в качестве членов описанные коники отсчета $△ ABC$ такие, что нормали в вершинах $△ ABC$ совпадают. В обоих случаях точки параллелизма лежат на кубике Дарбу. ^[12]^[13]

Коническая, связанная с параллельными точками пересечения

Коники, связанные с параллельными пересечениями

Дана произвольная точка в плоскости опорного треугольника $△ ABC$ проведены прямые, $, если через P$ параллельные боковым линиям $BC, CA, AB,$ пересекающие другие стороны в точках $X b, X c, Y c, Y a, Z a, Z б$ , то эти шесть точек пересечения лежат на конике. Если P выбрана в качестве точки симмедианы, результирующая коника представляет собой круг, называемый кругом Лемуана. Если трилинейные координаты $P$ равны $u : v : w,$ уравнение шеститочечной коники имеет вид ^[14] $-(u+v+w)^{2}(bcuyz+cavzx+abwxy)+(ax+by+cz)(vw(v+w)ax+wu(w+u)by+uv(u+v)cz)=0$

Yff коники

Члены однопараметрического семейства коник, определяемые уравнением $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\lambda (yz+zx+xy)=0,$ где $\lambda$ является параметром, являются кониками Yff, связанными с опорным треугольником $△ ABC$ . ^[15] Член семейства связывается с каждой точкой $P (u : v : w)$ на плоскости, устанавливая $\lambda ={\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2(vw+wu+uv)}}.$ Коника Yff является параболой, если $\lambda ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(bc+ca+ab)}}=\lambda _{0}$ (сказать).Это эллипс, если $\lambda <\lambda _{0}$ и $\lambda _{0}>{\frac {1}{2}}$ и это гипербола, если $\lambda _{0}<\lambda <-1$ . Для $-1<\lambda <{\frac {1}{2}}$ , коники мнимые.

См. также

Ссылки

^ Пэрис Памфилос (2021). «Равносторонние, вписанные в коники». Международный журнал геометрии . 10 (1): 5–24.
^ Кристофер Дж. Брэдли. «Четыре треугольные коники» . Персональные домашние страницы . Университет Бата . Проверено 11 ноября 2021 г.
^ Готард Вайзе (2012). «Обобщение и расширение теоремы Уоллеса» . Форум Геометрикорум . 12 :1–11 . Проверено 12 ноября 2021 г.
^ Златан Магайна. «ОК Геометрия Плюс» . ОК Геометрия Плюс . Проверено 12 ноября 2021 г.
^ «Геометрикон» . Домашняя страница Пэрис Памфилос, посвященная геометрии, философии и программированию . Пэрис Пальмфилос . Проверено 11 ноября 2021 г.
^ «1. Коники треугольника» . Домашняя страница Пэрис Памфилос, посвященная геометрии, философии и программированию . Пэрис Палфилос . Проверено 11 ноября 2021 г.
^ Бернар Жиберт. «Каталог треугольных кубиков» . Кубики в плоскости треугольника . Бернар Жиберт . Проверено 12 ноября 2021 г.
^ Нелл Мэй Кук (1929). Треугольник и его окружности (PDF) . Канзасский государственный сельскохозяйственный колледж . Проверено 12 ноября 2021 г.
^ Николаос Дергиадес (2010). «Коники, касательные к вершинам двух сторон треугольника». Форум Геометрикорум . 10 : 41–53.
^ Р. Х. Эдди и Р. Фритч (июнь 1994 г.). «Коники Людвига Киперта: комплексный урок геометрии Tr». Журнал «Математика» . 67 (3): 188–205. дои : 10.1080/0025570X.1994.11996212 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Эллипс Хофштадтера» . athWorld — веб-ресурс Wolfram . Вольфрам Исследования . Проверено 25 ноября 2021 г.
^ Роско Вудс (1932). «Некоторые коники с именами». Труды Академии наук Айовы . 39 Том 50 (Ежегодный выпуск).
^ «K004: Кубик Дарбу» . Каталог кубических кривых . Бернар Жиберт . Проверено 26 ноября 2021 г.
^ Пол Ю (лето 2001 г.). Введение в геометрию треугольника (PDF) . п. 137 . Проверено 26 ноября 2021 г.
^ Кларк Кимберлинг (2008). «Йфф Коникс». Журнал геометрии и графики . 12 (1): 23–34.

[1] Пэрис Памфилос (2021). «Равносторонние, вписанные в коники». Международный журнал геометрии . 10 (1): 5–24.

[2] Кристофер Дж. Брэдли. «Четыре треугольные коники» . Персональные домашние страницы . Университет Бата . Проверено 11 ноября 2021 г.

[3] Готард Вайзе (2012). «Обобщение и расширение теоремы Уоллеса» . Форум Геометрикорум . 12 :1–11 . Проверено 12 ноября 2021 г.

[4] Златан Магайна. «ОК Геометрия Плюс» . ОК Геометрия Плюс . Проверено 12 ноября 2021 г.

[5] «Геометрикон» . Домашняя страница Пэрис Памфилос, посвященная геометрии, философии и программированию . Пэрис Пальмфилос . Проверено 11 ноября 2021 г.

[6] «1. Коники треугольника» . Домашняя страница Пэрис Памфилос, посвященная геометрии, философии и программированию . Пэрис Палфилос . Проверено 11 ноября 2021 г.

[7] Бернар Жиберт. «Каталог треугольных кубиков» . Кубики в плоскости треугольника . Бернар Жиберт . Проверено 12 ноября 2021 г.

[8] Нелл Мэй Кук (1929). Треугольник и его окружности (PDF) . Канзасский государственный сельскохозяйственный колледж . Проверено 12 ноября 2021 г.

[9] Николаос Дергиадес (2010). «Коники, касательные к вершинам двух сторон треугольника». Форум Геометрикорум . 10 : 41–53.

[10] Р. Х. Эдди и Р. Фритч (июнь 1994 г.). «Коники Людвига Киперта: комплексный урок геометрии Tr». Журнал «Математика» . 67 (3): 188–205. дои : 10.1080/0025570X.1994.11996212 .

[11] Вайсштейн, Эрик В. «Эллипс Хофштадтера» . athWorld — веб-ресурс Wolfram . Вольфрам Исследования . Проверено 25 ноября 2021 г.

[12] Роско Вудс (1932). «Некоторые коники с именами». Труды Академии наук Айовы . 39 Том 50 (Ежегодный выпуск).

[13] «K004: Кубик Дарбу» . Каталог кубических кривых . Бернар Жиберт . Проверено 26 ноября 2021 г.

[14] Пол Ю (лето 2001 г.). Введение в геометрию треугольника (PDF) . п. 137 . Проверено 26 ноября 2021 г.

[15] Кларк Кимберлинг (2008). «Йфф Коникс». Журнал геометрии и графики . 12 (1): 23–34.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]