Эллипс Штейнера

Эллипс Штейнера равнобедренного треугольника . треугольника Три отрезка внутри треугольника — это медианы , каждый из которых делит сторону пополам. треугольника Медианы совпадают в центроиде , который также является центром эллипса Штейнера.

Не путать с конической штейнера .

В геометрии эллипс Штейнера треугольника , , также называемый окружным эллипсом Штейнера , чтобы отличить его от эллипса Штейнера , представляет собой уникальный описанный эллипс ( эллипс который касается треугольника в своих вершинах треугольника ), центром которого является центр тяжести . Названный в честь Якоба Штайнера , он является примером циркумконической формы . Для сравнения, описанная окружность треугольника — это еще одна описанная окружность, которая касается треугольника в его вершинах, но не находится в центре центроида треугольника, если треугольник не является равносторонним .

Площадь эллипса Штейнера равна площади треугольника, умноженной на ${\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}},$ и, следовательно, в 4 раза больше площади эллипса Штейнера. Эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь среди всех эллипсов, описанных вокруг треугольника.

Эллипс Штейнера — это масштабированный эллипс Штейнера (коэффициент 2, центр — центроид). Следовательно, оба эллипса подобны (имеют одинаковый эксцентриситет ).

Свойства

Эллипс Штейнера равностороннего (слева) и равнобедренного треугольника.

• Эллипс Штейнера — единственный эллипс, центром которого является центр тяжести. $S$ треугольника $ABC$ и содержит точки $A,B,C$. Площадь эллипса Штейнера равна ${\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}$-кратность площади треугольника.

Доказательство

А) Для равностороннего треугольника эллипсом Штейнера является описанная окружность , которая является единственным эллипсом, удовлетворяющим предварительным условиям. Желаемый эллипс должен содержать треугольник, отраженный в центре эллипса. Это справедливо для описанной окружности. Коника однозначно определяется 5 точками. Следовательно, описанная окружность является единственным эллипсом Штейнера.

Б) Поскольку произвольный треугольник является аффинным изображением равностороннего треугольника, эллипс является аффинным изображением единичного круга , а центр тяжести треугольника отображается в центр тяжести изображения треугольника, свойство (уникальный описанный эллипс с центроидом как центр) справедливо для любого треугольника.

Площадь описанной окружности равностороннего треугольника равна ${\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}$-кратность площади треугольника. Аффинная карта сохраняет соотношение площадей. Следовательно, утверждение об отношении справедливо для любого треугольника и его эллипса Штейнера.

Определение сопряженных точек

Эллипс можно нарисовать (на компьютере или вручную), если кроме центра хотя бы две сопряженные точки известны на сопряженных диаметрах. В этом случае

• либо определяют по конструкции Ритца вершины эллипса и рисуют эллипс подходящим циркулем для эллипса
• или использует параметрическое представление для рисования эллипса.

Шаги по определению точек сопряжения на эллипсе Штейнера:
1) преобразование треугольника в равнобедренный треугольник
2) определение точки $D$ который сопряжен с $C$ (шаги 1–5)
3) рисование эллипса с сопряженными полудиаметрами $SC,SD$

Пусть будет $ABC$ треугольник и его центр тяжести $S$. Отображение сдвига с осью $d$ через $S$ и параллельно $AB$ преобразует треугольник в равнобедренный треугольник $A'B'C'$ (см. схему). Точка $C'$ является вершиной эллипса Штейнера треугольника $A'B'C'$. Вторая вершина $D$ этого эллипса лежит на $d$, потому что $d$ перпендикулярен $SC'$ (причины симметрии). Эту вершину можно определить по данным (эллипс с центром $S$ через $C'$ и $B'$, $|A'B'|=c$) по расчету . Оказывается,

$|SD|={\frac {c}{\sqrt {3}}}\ .$

Или нарисовав : Используя метод де ла Ира (см. центральную диаграмму), вершина $D$ эллипса Штейнера равнобедренного треугольника $A'B'C'$ определяется.

Карты обратного сдвига $C'$ вернуться к $C$ и точка $D$ фиксирована, поскольку является точкой на оси сдвига. Следовательно, полудиаметр $SD$ сопряжено с $SC$.

С помощью этой пары сопряженных полудиаметров можно нарисовать эллипс вручную или на компьютере.

представление

Эллипс Штейнера треугольника, включая оси и вершины (фиолетовый)

Дано: Треугольник $\ A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2}),\;C=(c_{1},c_{2})$
Требуется: параметрическое представление и уравнение эллипса Штейнера.

Центр тяжести треугольника это $\ S=({\tfrac {a_{1}+b_{1}+c_{1}}{3}},{\tfrac {a_{2}+b_{2}+c_{2}}{3}})\ .$

Параметрическое представление:

Из исследования предыдущего раздела получаем следующее параметрическое представление эллипса Штейнера:

• $\ {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \;.$

• Четыре вершины эллипса $\quad {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),\$ где $t_{0}$ происходит от

$\cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad$ с $\quad {\vec {f}}_{1}={\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {AB}}\quad$ (см. эллипс ).

Роли точек определения параметрического представления могут быть изменены.

Пример (см. схему): $A=(-5,-5),B=(0,25),C=(20,0)$.

Эллипс Штейнера как пример «уравнения»

Уравнение:

Если начало координат является центроидом треугольника (центром эллипса Штейнера), уравнение, соответствующее параметрическому представлению ${\textstyle {\vec {x}}={\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t}$ является

• $\ (xf_{2y}-yf_{2x})^{2}+(yf_{1x}-xf_{1y})^{2}-(f_{1x}f_{2y}-f_{1y}f_{2x})^{2}=0\ ,$

с $\ {\vec {f}}_{i}=(f_{ix},f_{iy})^{T}\$.

Пример: Центр тяжести треугольника $\quad A=(-{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}},-{\tfrac {3}{2}}),\ B=({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},-{\tfrac {3}{2}}),\ C=({\sqrt {3}},3)\quad$ является происхождением. Из векторов ${\vec {f}}_{1}=({\sqrt {3}},3)^{T},\ {\vec {f}}_{2}=(2,0)^{T}\$ получаем уравнение эллипса Штейнера:

$9x^{2}+7y^{2}-6{\sqrt {3}}xy-36=0\ .$

Определение полуосей и линейного эксцентриситета

Если вершины уже известны (см. выше), можно определить полуоси. Если вас интересуют только оси и эксцентриситет, более подходящим будет следующий метод:

Пусть будет $a,b,\;a>b$ полуоси эллипса Штейнера. Из теоремы Аполлония о свойствах сопряженных полудиаметров эллипсов получаем:

$a^{2}+b^{2}={\vec {SC}}^{2}+{\vec {SD}}^{2}\ ,\quad a\cdot b=\left|\det({\vec {SC}},{\vec {SD}})\right|\ .$

Обозначая правые части уравнений через $M$ и $N$ соответственно и преобразуя нелинейную систему (с учетом $a>b>0$) приводит к:

$a^{2}+b^{2}=M,\ ab=N\quad \rightarrow \quad a^{2}+2ab+b^{2}=M+2N,\ a^{2}-2ab+b^{2}=M-2N$

$\rightarrow \quad (a+b)^{2}=M+2N,\ (a-b)^{2}=M-2N\quad \rightarrow \quad a+b={\sqrt {M+2N}},\ a-b={\sqrt {M-2N}}\ .$

Решение для $a$ и $b$ получаем полуоси :

• $\ a={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\ ,\qquad b={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\ ,$

с $\qquad M={\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\ ,\quad N={\frac {1}{\sqrt {3}}}|\det({\vec {SC}},{\vec {AB}})|\qquad$.

Линейный эксцентриситет эллипса Штейнера равен

• $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\cdots ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .$

и площадь

• $F=\pi ab=\pi N={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\left|\det({\vec {SC}},{\vec {AB}})\right|$

Не следует путать $a,b$ в этом разделе с другими значениями в этой статье!

Трилинейное уравнение

Уравнение описанного эллипса Штейнера в трилинейных координатах имеет вид

$bcyz+cazx+abxy=0$

для сторон a, b, c .

Альтернативный расчет полуосей и линейного эксцентриситета

Большая и малая полуоси (треугольника со сторонами длины a, b, c) имеют длины

${\frac {1}{3}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},$

и фокусное расстояние

${\frac {2}{3}}{\sqrt {Z}}$

где

$Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.$

Фокусы называются точками Бикарта треугольника.

См. также

• Треугольник конический

Ссылки

• Георг Глезер, Хельмут Шванц, Борис Оденал: Вселенная коников , Springer 2016, ISBN   978-3-662-45449-7 , стр.383