Центральная линия (геометрия)

В геометрии центральными линиями называются некоторые особые прямые линии лежащие в плоскости треугольника , . Особое свойство, отличающее прямую как центральную, проявляется через уравнение линии в трилинейных координатах . Это особое свойство также связано с концепцией центра треугольника . Понятие центральной линии было введено Кларком Кимберлингом в статье, опубликованной в 1994 году. ^[1]^[2]

Определение [ править ]

Пусть $△ ABC$ — плоский треугольник и пусть $x : y : z$ — трилинейные координаты произвольной точки в плоскости треугольника $△ ABC$ .

Прямая в плоскости $△ ABC$ , уравнение которой в трилинейных координатах имеет вид

f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0

где точка с трилинейными координатами

f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)

— центр треугольника, — центральная линия в плоскости

△ ABC

относительно

△ ABC

. ^[2]^[3]^[4]

Центральные линии как трилинейные поляры [ править ]

Геометрическая связь между центральной линией и связанным с ней центром треугольника может быть выражена с использованием понятий трилинейных поляр и изогональных сопряжений .

Позволять $X=u(a,b,c):v(a,b,c):w(a,b,c)$ быть центром треугольника. Линия, уравнение которой

{\frac {x}{u(a,b,c)}}+{\frac {y}{v(a,b,c)}}+{\frac {z}{w(a,b,c)}}=0

— трилинейная поляра треугольника

X.

центра ^[2]^[5] Также точка

Y={\frac {1}{u(a,b,c)}}:{\frac {1}{v(a,b,c)}}:{\frac {1}{w(a,b,c)}}

является изогонально-сопряженным центром треугольника

X

.

Таким образом, центральная линия, заданная уравнением

f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0

- трилинейная поляра изогонально сопряженного центра треугольника

f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c).

Строительство центральных линий [ править ]

Пусть $X$ — любой центр треугольника $△ ABC$ .

Проведите линии $AX, BX, CX$ и их отражения во внутренних биссектрисах углов при вершинах $A, B, C$ соответственно.
Отраженные линии совпадают, а точка совпадения является изогонально сопряженной $Y$ с $X$ .
Пусть чевианы $AY, BY, CY$ пересекают противоположные стороны $△ ABC$ в точках $A', B', C'$ соответственно. Треугольник $△ A'B'C'$ является чевианским треугольником $Y$ .
△ $DEF ABC$ и чевианский треугольник $△ A'B'C'$ находятся в перспективе, и пусть $будет$ осью перспективы двух треугольников. Линия $DEF$ трилинейной полярой точки $Y.$ является $DEF$ — центральная линия, связанная с центром $X.$ треугольника

Некоторые названные центральные линии [ править ]

Пусть $X n$ будет $n-м$ центром треугольника в Кларка Кимберлинга Энциклопедии центров треугольников . Центральная линия, связанная с $X n,$ обозначается $L n$ . Некоторые из названных центральных линий приведены ниже.

Центральная линия, связанная с , _центр : антиортическая ось . X 1

Центральная линия, связанная с центром $X 1 = 1 : 1 : 1$ (также обозначается $I$ ), равна

x+y+z=0.

Эта линия является осью △

антиортической ABC

. ^[6]

Изогональное сопряжение вписанного △ центра $ABC является$ самим вписанным центром. Таким образом, антиортическая ось, которая является центральной линией, связанной с инцентром, является осью перспективы $△ ABC$ и ее центральным треугольником (чевианский треугольник инцентра $△ ABC$ ).
Антиортическая ось $△ ABC$ осью перспективы △ $ABC △$ и эксцентральным треугольником $△ I 1 I 2 I 3$ из $ABC является$ . ^[7]
Треугольник, боковые линии которого касаются внешними окружностями △ $является ABC,$ треугольником , отходящим от $△ ABC$ . $△ ABC$ и прилегающий к нему треугольник находятся в перспективе, а ось перспективы является антиортической осью $△ ABC$ .

Центральная линия, связанная с X ₂ , центр тяжести: ось Лемуана [ править ]

Трилинейные координаты центроида X $2 ($ также обозначаемого $G$ ) $△ ABC$ :

{\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}

Таким образом, центральная линия, связанная с центроидом, — это линия, трилинейное уравнение которой имеет вид

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0.

Эта линия является осью Лемуана , также называемой линией Лемуана , линии

△ ABC

.

Изогонально-сопряженным центроиду $X 2$ является точка симмедианы $X 6$ (также обозначаемая $K$ ), имеющая трилинейные координаты $a : b : c$ . Таким образом, ось Лемуана $△ ABC$ является трилинейной полярной точкой симмедианы $△ ABC$ .
Касательный треугольник к $△ ABC$ — это треугольник $△ T A T B T C$ , образованный касательными к описанной окружности $△ ABC$ в ее вершинах. $△ ABC$ и касательный к нему треугольник находятся в перспективе, а ось перспективы — это ось Лемуана $△ ABC$ .

Центральная линия, связанная с X ₃ : ортическая ось окружности , центром описанной .

Трилинейные координаты центра описанной окружности $X 3$ (также обозначаемого $O$ ) $△ ABC$ :

\cos A:\cos B:\cos C

Таким образом, центральная линия, связанная с центром описанной окружности, — это линия, трилинейное уравнение которой имеет вид

x\cos A+y\cos B+z\cos C=0.

Эта линия является осью △

ABC ортической

. ^[8]

Изогонально сопряженным центру описанной окружности $X 3$ является ортоцентр $X 4$ (также обозначаемый $H$ ), имеющий трилинейные координаты $sec A : sec B : sec C$ . Таким образом, ортическая ось $△ ABC$ является трилинейной полярной ортоцентром $△ ABC$ . Ортическая ось $△ ABC$ является осью перспективы $△ ABC$ и его ортического треугольника $△ H A H B H C$ . Это также радикальная ось описанной окружности треугольника и окружности из девяти точек.

Центральная линия, связанная с X ₄ , ортоцентром [ править ]

Трилинейные координаты ортоцентра X $4 ($ также обозначаемого $H$ ) $△ ABC$ :

\sec A:\sec B:\sec C

Таким образом, центральная линия, связанная с центром описанной окружности, — это линия, трилинейное уравнение которой имеет вид

x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.

Изогонально сопряженный ортоцентру треугольника является центром описанной окружности треугольника. Таким образом, центральная линия, связанная с ортоцентром, является трилинейной полярой центра описанной окружности.

Центральная линия, связанная с X ₅ , девятиточечным центром [ править ]

Трилинейные координаты девятиточечного центра $X 5$ (также обозначаемого $N$ ) $△ ABC$ : ^[9]

\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B).

Таким образом, центральная линия, связанная с центром девяти точек, — это линия, трилинейное уравнение которой имеет вид

x\cos(B-C)+y\cos(C-A)+z\cos(A-B)=0.

сопряженным девятиточечному центру $△ ABC$ является точка Косницы $X 54$ △ $Изогонально - ABC$ . ^[10]^[11] Таким образом, центральная линия, связанная с центром девяти точек, является трилинейной полярой точки Кошница.
Точка Кошницы строится следующим образом. Пусть $O$ — центр описанной окружности $△ ABC$ . Пусть $O A, OB, OC —$ центры описанных окружностей треугольников $△ BOC, △ COA, △ AOB$ соответственно. Прямые $AO A, BO B, CO C$ совпадают, а точка совпадения — это точка Кошницы $△ ABC$ . Название происходит от Дж. Ригби. ^[12]

Центральная линия, связанная с X ₆ , симмедианная точка: Бесконечная линия [ править ]

Трилинейные координаты симмедианной точки $X 6$ (также обозначаемой $K$ ) $△ ABC$ :

a:b:c

Таким образом, центральная линия, связанная с симмедианной точкой, — это линия, трилинейное уравнение которой имеет вид

ax+by+cz=0.

Эта линия является бесконечной линией в плоскости $△ ABC$ .
Изогонально сопряженная симедиана точки $△ ABC$ является центроидом $△ ABC$ . Следовательно, центральная линия, связанная с симмедианной точкой, является трилинейной полярой центроида. Это ось перспективы $△ ABC$ и ее медиального треугольника .

Еще несколько названных центральных линий [ править ]

Линия Эйлера [ править ]

△ Линия Эйлера ABC $это линия , —$ проходящая через центр тяжести, центр описанной окружности, ортоцентр и девятиточечный центр $△ ABC$ . Трилинейное уравнение линии Эйлера имеет вид

x\sin 2A\sin(B-C)+y\sin 2B\sin(C-A)+z\sin 2C\sin(A-B)=0.

Это центральная линия, связанная с центром треугольника

X 647

.

Линия Нагеля [ править ]

△ Линия Нагеля ABC $это линия , —$ проходящая через центроид, центр тяжести, центр Шпикера и точку Нагеля $△ ABC$ . Трилинейное уравнение линии Нагеля имеет вид

xa(b-c)+yb(c-a)+zc(a-b)=0.

Это центральная линия, связанная с центром треугольника

X 649

.

Ось Брокара [ править ]

△ Ось Брокара ABC $точку —$ это линия, проходящая через центр описанной окружности и симмедианную $△ ABC$ . Его трилинейное уравнение:

x\sin(B-C)+y\sin(C-A)+z\sin(A-B)=0.

Это центральная линия, связанная с центром треугольника

X 523

.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Кимберлинг, Кларк (июнь 1994 г.). «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника». Журнал «Математика» . 67 (3): 163–187. дои : 10.2307/2690608 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кимберлинг, Кларк (1998). Центры треугольников и центральные треугольники . Виннипег, Канада: Utilitas Mathematica Publishing, Inc. 285.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Центральная линия» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 24 июня 2012 г.
^ Кимберлинг, Кларк. «Глоссарий: Энциклопедия центров треугольников» . Архивировано из оригинала 23 апреля 2012 года . Проверено 24 июня 2012 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейный полярный» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 28 июня 2012 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Антиортная ось» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 28 июня 2012 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Антиортная ось» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 26 июня 2012 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Ортическая ось» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Девятиточечный центр» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 29 июня 2012 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Косница-Пойнт» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 29 июня 2012 г.
^ Дарий Гринберг (2003). «О точке Косница и треугольнике отражения» (PDF) . Форум Геометрикорум . 3 : 105–111 . Проверено 29 июня 2012 г.
^ Дж. Ригби (1997). «Краткие заметки о некоторых забытых геометрических теоремах». Ежеквартальный журнал по математике и информатике . 7 : 156–158.

[1] Кимберлинг, Кларк (июнь 1994 г.). «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника». Журнал «Математика» . 67 (3): 163–187. дои : 10.2307/2690608 .

[TCCT-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кимберлинг, Кларк (1998). Центры треугольников и центральные треугольники . Виннипег, Канада: Utilitas Mathematica Publishing, Inc. 285.

[Eric-3] Вайсштейн, Эрик В. «Центральная линия» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 24 июня 2012 г.

[4] Кимберлинг, Кларк. «Глоссарий: Энциклопедия центров треугольников» . Архивировано из оригинала 23 апреля 2012 года . Проверено 24 июня 2012 г.

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейный полярный» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 28 июня 2012 г.

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Антиортная ось» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 28 июня 2012 г.

[Eric2-7] Вайсштейн, Эрик В. «Антиортная ось» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 26 июня 2012 г.

[8] Вайсштейн, Эрик В. «Ортическая ось» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram .

[9] Вайсштейн, Эрик В. «Девятиточечный центр» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 29 июня 2012 г.

[10] Вайсштейн, Эрик В. «Косница-Пойнт» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 29 июня 2012 г.

[Darij-11] Дарий Гринберг (2003). «О точке Косница и треугольнике отражения» (PDF) . Форум Геометрикорум . 3 : 105–111 . Проверено 29 июня 2012 г.

[12] Дж. Ригби (1997). «Краткие заметки о некоторых забытых геометрических теоремах». Ежеквартальный журнал по математике и информатике . 7 : 156–158.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Определение [ править ]

Центральные линии как трилинейные поляры [ править ]

Строительство центральных линий [ править ]

Некоторые названные центральные линии [ править ]

Центральная линия, связанная с , центр : антиортическая ось . X 1

Центральная линия, связанная с X 2 , центр тяжести: ось Лемуана [ править ]

Центральная линия, связанная с X 3 : ортическая ось окружности , центром описанной .

Центральная линия, связанная с X 4 , ортоцентром [ править ]

Центральная линия, связанная с X 5 , девятиточечным центром [ править ]

Центральная линия, связанная с X 6 , симмедианная точка: Бесконечная линия [ править ]

Еще несколько названных центральных линий [ править ]

Линия Эйлера [ править ]

Линия Нагеля [ править ]

Ось Брокара [ править ]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Центральная линия, связанная с , _центр : антиортическая ось . X 1

Центральная линия, связанная с X ₂ , центр тяжести: ось Лемуана [ править ]

Центральная линия, связанная с X ₃ : ортическая ось окружности , центром описанной .

Центральная линия, связанная с X ₄ , ортоцентром [ править ]

Центральная линия, связанная с X ₅ , девятиточечным центром [ править ]

Центральная линия, связанная с X ₆ , симмедианная точка: Бесконечная линия [ править ]