Трилинейная полярность

В евклидовой геометрии трилинейная полярность — это определенное соответствие между точками плоскости треугольника , не лежащими на сторонах треугольника, и прямыми в плоскости треугольника, не проходящими через вершины треугольника. «Хотя это и называется полярностью, на самом деле это вовсе не полярность, поскольку полюса совпадающих линий не являются точками, лежащими на одной прямой ». ^[1] Жан -Виктор Понселе (1788–1867), французский инженер и математик. Идею трилинейной поляры точки в 1865 году предложил ^[1]^[2]

Определения

Пусть $△ ABC$ — плоский треугольник, и пусть $P$ — любая точка плоскости треугольника, не лежащаяна сторонах треугольника. Вкратце, поляра P $—$ это ось перспективы чевианского треугольника P $трилинейная$ и треугольника $△ ABC$ .

Более подробно, пусть линии $AP, BP, CP$ пересекаются с боковыми линиями $BC, CA, AB$ в точках $D, E, F$ соответственно. Треугольник $△ DEF$ — это чевианский треугольник $P$ относительно треугольника $△ ABC$ . Пусть пары прямых $(BC, EF), (CA, FD), (DE, AB)$ пересекаются в точках $X, Y, Z$ соответственно. По теореме Дезарга точки $X, Y, Z$ лежат на одной прямой . Линия коллинеарности является осью перспективы треугольника $△ ABC$ и треугольника $△ DEF$ . Линия $XYZ$ точки $P.$ является трилинейной полярой ^[1]

Точки $X, Y, Z$ также могут быть получены как гармонические сопряжения $D, E, F$ относительно пар точек $(B, C), (C, A), (A, B)$ соответственно. Понселе использовал эту идею для определения концепции трилинейных поляров. ^[1]

Если линия $L$ является трилинейной полярой точки $P$ относительно опорного треугольника $△ ABC,$ то $P$ называется трилинейным полюсом линии $L$ относительно опорного треугольника $△ ABC$ .

Трилинейное уравнение

Пусть трилинейные координаты точки $P$ равны $p : q : r$ . Тогда трилинейное уравнение трилинейной поляры $P$ имеет вид ^[3]

{\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}+{\frac {z}{r}}=0.

Строительство трехлинейного столба

Пусть прямая $L$ пересекает стороны $BC, CA, AB$ треугольника $△ ABC$ в точках $X, Y, Z$ соответственно. Пусть пары прямых $(BY, CZ), (CZ, AX), (AX, BY)$ встречаются в точках $U, V,$ W. Треугольники $△ ABC$ и $△ UVW$ находятся в перспективе, и пусть $P$ будет центром перспективы . $P$ трилинейный полюс линии $L.$ —

Некоторые трилинейные поляры

Некоторые из трилинейных поляров хорошо известны. ^[4]

Трилинейная поляра центра тяжести треугольника $△ ABC$ — это линия, находящаяся в бесконечности .
Трилинейная поляра точки симмедианы — это ось Лемуана треугольника $△ ABC$ .
Трилинейная поляра ортоцентра — это ортическая ось .
Трилинейные поляры не определены для точек, совпадающих с вершинами треугольника $△ ABC$ .

Столбики карандашей линий

Анимация, иллюстрирующая тот факт, что геометрическое место трилинейных полюсов пучка прямых, проходящих через фиксированную точку $K,$ является описанной конической опорного треугольника.

Пусть $P$ с трилинейными координатами $X : Y : Z$ — полюс линии, проходящей через неподвижную точку $K$ с трилинейными координатами $x 0 : y 0 : z 0$ . Уравнение линии

{\frac {x}{X}}+{\frac {y}{Y}}+{\frac {z}{Z}}=0.

Поскольку это проходит через $K$ ,

{\frac {x_{0}}{X}}+{\frac {y_{0}}{Y}}+{\frac {z_{0}}{Z}}=0.

Таким образом, локус $P$ есть

{\frac {x_{0}}{x}}+{\frac {y_{0}}{y}}+{\frac {z_{0}}{z}}=0.

Это описанная окружность треугольника отсчета $△ ABC$ . Таким образом, геометрическое место полюсов пучка прямых, проходящих через неподвижную точку $K,$ представляет собой описанную конус $E$ треугольника отсчета.

Можно показать, что $K$ - это перспектива ^[5] E $, а$ именно, где $△ ABC$ и полярный треугольник ^[6] относительно $Е$ являются перспективными. Полярный треугольник ограничен касательными к $E$ в вершинах $△ ABC$ . Например, трилинейная поляра точки описанной окружности должна проходить через ее перспективу, симмедианную точку X(6).

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Коксетер, HSM (1993). Настоящая проективная плоскость . Спрингер. стр. 102–103. ISBN 9780387978895 .
^ Коксетер, HSM (2003). Проективная геометрия . Спрингер. стр. 29 . ISBN 9780387406237 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейный полярный» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 31 июля 2012 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейный полюс» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 8 августа 2012 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Перспектор» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 3 февраля 2023 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Полярный треугольник» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 3 февраля 2023 г.

Внешние ссылки

Страница Geometrikon : Трилинейные поляры
Страница Geometrikon : Изотомное сопряжение линии

[Coxeter-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Коксетер, HSM (1993). Настоящая проективная плоскость . Спрингер. стр. 102–103. ISBN 9780387978895 .

[2] Коксетер, HSM (2003). Проективная геометрия . Спрингер. стр. 29 . ISBN 9780387406237 .

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейный полярный» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 31 июля 2012 г.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейный полюс» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 8 августа 2012 г.

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Перспектор» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 3 февраля 2023 г.

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Полярный треугольник» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 3 февраля 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]