Теорема о триллиуме

В геометрии лемма инцентра эксцентра — это теорема о том, что отрезок между инцентром и любым эксцентром треугольника или между двумя эксцентрами представляет собой диаметр окружности - ( круг инцентр-эксцентр или эксцентр-эксцентр ), также проходящий через две вершины треугольника с центром на описанной окружности . ^[1]^[2]^[3] Эта теорема наиболее известна в России, где она называется теоремой триллиума ( приглашена трилистника ) или леммой о трезубце ( лемма о трезубце ), основанная на сходстве геометрической фигуры с цветком триллиума или трезубцем ; ^[4]^[5] эти имена иногда также использовались в английском языке. ^[6]^[7]

Эти отношения возникают потому, что инцентр и эксцентры любого треугольника образуют ортоцентрическую систему которой , девятиточечная окружность является описанной окружностью исходного треугольника. ^[8]^[2] Теорема полезна для решения конкурентных задач евклидовой геометрии. ^[1] и может использоваться для восстановления треугольника, начиная с одной вершины, центра и центра описанной окружности.

Заявление

Пусть $ABC$ — произвольный треугольник . Пусть $I$ будет его центром , а $D$ будет точкой, где линия $BI$ ( биссектриса угла ∠ $ABC)$ пересекает окружность ABC $описанную$ . Тогда теорема утверждает $D$ равноудалён , от $A$ , $C$ и $I.$ что Эквивалентно:

круга, проходящего через $A$ , $C$ и $I,$ Центр $в D.$ находится В частности, это означает, что центр этой окружности лежит на описанной окружности. ^[9]^[10]
Три $AID$ , $CID$ и $ACD$ равнобедренные D. с $вершиной$ треугольника

Четвертая точка $E$ , эксцентр ABC $также$ относительно $B$ лежит на таком же расстоянии от $D$ , диаметрально противоположно от $I.$ , ^[5]^[11]

Доказательство

По теореме о вписанном угле , $\angle IBA=\angle DCA,\ \angle IBC=\angle DAC.$

С $BI$ является биссектрисой угла, $\angle DCA=\angle DAC\implies AD=CD.$

Мы также получаем

{\begin{aligned}\angle DIA&=180^{\circ }-\angle AIB\\&=180^{\circ }-(180^{\circ }-\angle IAB-\angle IBA)\\&=\angle IAB+\angle IBA\\&=\angle IAC+\angle DAC\\&=\angle IAD\\\implies AD&=DI.\end{aligned}}

Применение к реконструкции треугольника

Эту теорему можно использовать для восстановления треугольника, начиная с расположения только одной вершины, центра и центра описанной окружности треугольника.Ибо пусть $B$ — заданная вершина, $I$ — центр окружности, а $О$ — центр описанной окружности. Эта информация позволяет последовательно строить:

описанная окружность данного треугольника как круг с центром $O$ и радиусом $OB$ ,
точка $D$ как пересечение описанной окружности с линией $BI$ ,
круг теоремы с центром $D$ и радиусом $DI$ и
вершины $A$ и $C$ как точки пересечения двух окружностей. ^[12]

Однако для некоторых троек точек $B$ , $I$ и $O$ эта конструкция может не работать либо потому, что прямая $IB$ касается описанной окружности, либо потому, что две окружности не имеют двух точек пересечения. Он также может создать треугольник, для которого данная точка $I$ является эксцентром, а не инцентром. В этих случаях не может быть треугольника с $B$ вершиной $, центром I$ и $O.$ центром описанной окружности ^[13]

Другие проблемы реконструкции треугольника, такие как восстановление треугольника по вершине, вписанному центру и центру окружности из девяти точек , можно решить, сведя задачу к случаю вершины, вписанного центра и центра описанной окружности. ^[13]

Обобщение

Пусть $I$ и $J$ — любые две из четырех точек, заданных центром и тремя эксцентрами треугольника $ABC$ . Тогда $I$ и $J$ коллинеарны одной из трех вершин треугольника. Окружность с $диаметром IJ$ проходит через две другие вершины и находится в центре описанной окружности $ABC$ . Когда один из $I$ или $J$ является инцентром, это теорема триллиума, где линия $IJ$ является биссектрисой (внутреннего) угла одного из углов треугольника. Однако это также верно, когда $I$ и $J$ оба эксцентры; в этом случае линия $IJ$ является биссектрисой внешнего угла одного из углов треугольника. ^[14]

См. также

Теорема о биссектрисе угла

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Чен, Эван (2016). «§1.4 Лемма об инцентре/эксцентре». Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Математическая ассоциация Америки. стр. 9–10. ISBN 9780883858394 .
^ Jump up to: ^а ^б Ле, Нгуен; Вильдбергер, Норман (2016). «Инцентральная симметрия, линии Эйлера и точки Шиффлера» . КоГ . 20 (20): 22–30.
^ Вайсштейн, Эрик В. (1999). CRC Краткая математическая энциклопедия . ЦРК Пресс. «Эксцентр–Эксцентровый круг» с. 591, «Круг Инцентр-Эксцентр» с. 894. ИСБН 0849396409 . Переиздано в MathWorld : «Excenter – Excenter Circle» , «Incenter – Excenter Circle» .
^ Теорема триллиума: И. А. Кушнир. "Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера" (PDF) (in Russian). Ф7 (Теорема трилистника), page 34; proof on page 36.
Лемма о трезубце: Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. "Задачи для школьного математического кружка" (PDF) (in Russian). Problem 1.2. p. 4. {{cite web}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б "6. Лемма о трезубце" (PDF) (in Russian). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 2014-10-29.
^ Гарсия, Роналду; Оденал, Борис; Резник, Дэн (2022). «Местоположения треугольников Понселе в случае общего замыкания». Журнал геометрии . 113 (1): 17. arXiv : 2108.05430 . дои : 10.1007/s00022-022-00629-3 .
^ Заславский Алексей Александрович; Скопенков, Михаил Борисович (2021). Математика через задачи. Часть 2: Геометрия . Американское математическое общество. п. 15. ISBN 9781470448790 .
^ Джонсон, Роджер А. (1929). «X. Вписанные и вписанные круги» . Современная геометрия . Хоутон Миффлин. стр. 182–194.
^ Моррис, Ричард (1928), «Окружности через примечательные точки треугольника», Учитель математики , 21 (2): 63–71, doi : 10.5951/MT.21.2.0069 , JSTOR 27951001 . См., в частности, обсуждение на стр. 65 кружков $БИК$ , $ЦРУ$ , $АИБ$ и их центров.
^ Богомольный, Александр . «Свойство круга через центр» . Разрезать узел . Проверено 26 января 2016 г.
^ Богомольный, Александр . «Средние точки линий, соединяющих центры и центры» . Разрезать узел . Проверено 26 января 2016 г.
^ Ареф, Миннесота; Верник, Уильям (1968). Проблемы и решения евклидовой геометрии . Дувр. 3.3(и), с. 68. ИСБН 9780486477206 . .
^ Jump up to: ^а ^б Ю, Пол (2012), «Коническое построение треугольника из его центра, девятиточечного центра и вершины» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 16 (2): 171–183, MR 3088369
^ Чжоу, Шан-Цзин; Гао, Сяо-Шань; Чжан, Цзинчжун (1994). Машинные доказательства в геометрии . Всемирная научная. Примеры 6.145 и 6.146, стр. 328–329. ISBN 9789810215842 . .

[chen-1] Jump up to: ^а ^б Чен, Эван (2016). «§1.4 Лемма об инцентре/эксцентре». Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Математическая ассоциация Америки. стр. 9–10. ISBN 9780883858394 .

[lw-2] Jump up to: ^а ^б Ле, Нгуен; Вильдбергер, Норман (2016). «Инцентральная симметрия, линии Эйлера и точки Шиффлера» . КоГ . 20 (20): 22–30.

[weisstein-3] Вайсштейн, Эрик В. (1999). CRC Краткая математическая энциклопедия . ЦРК Пресс. «Эксцентр–Эксцентровый круг» с. 591, «Круг Инцентр-Эксцентр» с. 894. ИСБН 0849396409 . Переиздано в MathWorld : «Excenter – Excenter Circle» , «Incenter – Excenter Circle» .

[rusources-4] Теорема триллиума: И. А. Кушнир. "Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера" (PDF) (in Russian). Ф7 (Теорема трилистника), page 34; proof on page 36.
Лемма о трезубце: Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. "Задачи для школьного математического кружка" (PDF) (in Russian). Problem 1.2. p. 4. {{cite web}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[mosolymp-5] Jump up to: ^а ^б "6. Лемма о трезубце" (PDF) (in Russian). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 2014-10-29.

[gor-6] Гарсия, Роналду; Оденал, Борис; Резник, Дэн (2022). «Местоположения треугольников Понселе в случае общего замыкания». Журнал геометрии . 113 (1): 17. arXiv : 2108.05430 . дои : 10.1007/s00022-022-00629-3 .

[zs-7] Заславский Алексей Александрович; Скопенков, Михаил Борисович (2021). Математика через задачи. Часть 2: Геометрия . Американское математическое общество. п. 15. ISBN 9781470448790 .

[johnson-8] Джонсон, Роджер А. (1929). «X. Вписанные и вписанные круги» . Современная геометрия . Хоутон Миффлин. стр. 182–194.

[morris-9] Моррис, Ричард (1928), «Окружности через примечательные точки треугольника», Учитель математики , 21 (2): 63–71, doi : 10.5951/MT.21.2.0069 , JSTOR 27951001 . См., в частности, обсуждение на стр. 65 кружков $БИК$ , $ЦРУ$ , $АИБ$ и их центров.

[bogomolny2-10] Богомольный, Александр . «Свойство круга через центр» . Разрезать узел . Проверено 26 января 2016 г.

[bogomolny1-11] Богомольный, Александр . «Средние точки линий, соединяющих центры и центры» . Разрезать узел . Проверено 26 января 2016 г.

[aw-12] Ареф, Миннесота; Верник, Уильям (1968). Проблемы и решения евклидовой геометрии . Дувр. 3.3(и), с. 68. ИСБН 9780486477206 . .

[yiu-13] Jump up to: ^а ^б Ю, Пол (2012), «Коническое построение треугольника из его центра, девятиточечного центра и вершины» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 16 (2): 171–183, MR 3088369

[cgz-14] Чжоу, Шан-Цзин; Гао, Сяо-Шань; Чжан, Цзинчжун (1994). Машинные доказательства в геометрии . Всемирная научная. Примеры 6.145 и 6.146, стр. 328–329. ISBN 9789810215842 . .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]