Закон синусов

Рисунок 2. Без описанной окружности.

Два треугольника отмечены компонентами закона синусов.

α

,

β

и

γ

— углы, связанные с вершинами в столице

A

,

B

и

C

соответственно. Строчные

a

,

b

и

c

— это длины противоположных им сторон. (

a

напротив

α

и т. д.)

В тригонометрии закон синусов , закон синуса , формула синуса или правило синуса — это уравнение, связывающее длины сторон любого треугольника с синусом его углов. Согласно закону, ${\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,$ где $a, b$ и $c$ — длины сторон треугольника, а $α, β$ и $γ$ — противоположные углы (см. рисунок 2), а $R$ — радиус треугольника описанной окружности . Когда последняя часть уравнения не используется, закон иногда формулируется с использованием обратных величин ; ${\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.$ Закон синусов можно использовать для вычисления оставшихся сторон треугольника, если известны два угла и сторона — метод, известный как триангуляция . Его также можно использовать, когда известны две стороны и один из незамкнутых углов. В некоторых таких случаях треугольник не определяется однозначно по этим данным (так называемый неоднозначный случай ), и метод дает два возможных значения приложенного угла.

Закон синусов — одно из двух тригонометрических уравнений, обычно применяемых для нахождения длин и углов в разносторонних треугольниках , второе — закон косинусов .

Закон синусов можно обобщить на более высокие размеры поверхностей с постоянной кривизной. ^[1]

История

HJJ Winter « В книге Восточная наука» говорится, что индийский математик VII века Брахмагупта описывает то, что мы теперь знаем как закон синусов, в своем астрономическом трактате «Brāhmasphutasiddhānta» . ^[2] В своем частичном переводе этой работы Коулбрук переводит утверждение Брахмагупты о правиле синуса следующим образом: Произведение двух сторон треугольника, разделенное на двойной перпендикуляр, является центральной линией; и двойное значение этого диаметра составляет диаметр центральной линии. ^[3]

Согласно Убиратану Д'Амброзио и Хелейн Селин , сферический закон синусов был открыт в 10 веке. Его по-разному приписывают Абу-Махмуду Ходжанди , Абу аль-Вафе Бузджани , Насиру ад-Дину ат-Туси и Абу Насру Мансуру . ^[4]

Ибн Муада аль-Джайани « Книга Книга неизвестных дуг сферы XI века» содержит сферический закон синусов. ^[5] Плоский закон синусов был позже сформулирован в 13 веке Насир ад-Дином ат-Туси . В своей работе «О секторной фигуре » он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников и привел доказательства этого закона. ^[6]

По словам Глена Ван Браммлена , «Закон синусов на самом деле является основой для Региомонтануса его решений прямоугольных треугольников в Книге IV, а эти решения, в свою очередь, являются основой для его решений общих треугольников». ^[7] Региомонтан — немецкий математик XV века.

Доказательство

Если использовать сторону длины $a$ треугольника в качестве основания, высоту можно вычислить как $b sin γ$ или как $c sin β$ . Приравнивание этих двух выражений дает ${\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}\,,$ выбрать сторону длины $b$ или сторону длины $c$ и подобные уравнения возникают, если в качестве основания треугольника .

Неоднозначный случай решения треугольника

При использовании закона синусов для нахождения стороны треугольника возникает неоднозначный случай, когда на основе предоставленных данных можно построить два отдельных треугольника (т. е. существует два различных возможных решения треугольника). В показанном ниже случае это треугольники $ABC$ и $ABC'$ .

Учитывая общий треугольник, для того, чтобы случай был неоднозначным, должны быть выполнены следующие условия:

Единственная известная информация о треугольнике — это угол $α$ и стороны $a$ и $c$ .
Угол $α$ острый α (т. е. $<$ 90°).
Сторона $a$ короче стороны $c$ (т. е. $a < c$ ).
Сторона $a$ длиннее высоты $h$ под углом $β$ , где $h = c sin α$ (т. е. $a > h$ ).

Если все вышеперечисленные условия верны, то каждый из углов $β$ и $β'$ образует действительный треугольник, что означает, что оба следующих условия верны: ${\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{or}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.$

Отсюда мы можем найти соответствующие $β$ и $b$ или $β’$ и $b’,$ если необходимо, где $b$ — сторона, ограниченная вершинами $A$ и $C$ , а $b’$ ограничена $A$ и $C’$ .

Примеры

Ниже приведены примеры решения задачи с использованием закона синусов.

Пример 1

Дано: сторона $a = 20$ , сторона $c = 24$ и угол $γ = 40°$ . угол $α$ Желателен .

Используя закон синусов, заключаем, что ${\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.$ $\alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.$

Обратите внимание, что потенциальное решение $α = 147,61°$ исключено, поскольку оно обязательно даст $α + β + γ > 180°$ .

Пример 2

Если длины двух сторон треугольника $a$ и $b$ равны $x$ , третья сторона имеет длину $c$ , а углы, противоположные сторонам длин $a$ , $b$ и $c,$ равны $α$ , $β$ и $γ$ соответственно, то ${\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}$

Отношение к описанной окружности

В личности ${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},$ общее значение трех дробей на самом деле является диаметром треугольника описанной окружности . Этот результат восходит к Птолемею . ^[8]^[9]

Доказательство

Как показано на рисунке, пусть имеется круг с вписанным $\triangle ABC$ и еще один вписанный $\triangle ADB$ который проходит через центр окружности $O$ . $\angle AOD$ имеет центральный угол $180^{\circ }$ и таким образом $\angle ABD=90^{\circ }$ , по теореме Фалеса . С $\triangle ABD$ представляет собой прямоугольный треугольник, $\sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},$ где ${\textstyle R={\frac {d}{2}}}$ - радиус описанной окружности треугольника. ^[9] Углы ${\gamma }$ и ${\delta }$ лежат на одной окружности и стягивают одну и ту же хорду $c$ ; таким образом, по теореме о вписанном угле , ${\gamma }={\delta }$ . Поэтому, $\sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.$

Изменение доходности $2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.$

Повторение процесса создания $\triangle ADB$ с другими точками дает

${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.$

Связь с площадью треугольника

Площадь треугольника определяется выражением ${\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }$ , где $\theta$ — угол, заключенный между сторонами длин $a$ и $b$ . Подстановка синуса в это уравнение дает $T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.$

принимая $R$ как описывающий радиус, ^[10]

$T={\frac {abc}{4R}}.$

Можно также показать, что из этого равенства следует ${\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}$ где $T$ — площадь треугольника, а $s$ — полупериметр. ${\textstyle s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right).}$

Второе равенство, приведенное выше, легко упрощается до формулы Герона для площади.

Правило синусов также можно использовать при выводе следующей формулы площади треугольника: обозначив полусумму синусов углов как ${\textstyle S={\frac {1}{2}}\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)}$ , у нас есть ^[11]

$T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}$

где $R$ радиус описанной окружности: $2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}$ .

Сферический закон синусов

Сферический закон синусов касается треугольников на сфере, стороны которых представляют собой дуги больших кругов .

Предположим, радиус сферы равен 1. Пусть $a$ , $b$ и $c$ — длины больших дуг, которые являются сторонами треугольника. Поскольку это единичная сфера, $a$ , $b$ и $c$ — это углы в центре сферы, опирающиеся на эти дуги, в радианах. Пусть $A$ , $B$ и $C$ — углы, лежащие против соответствующих сторон. Это двугранные углы между плоскостями трех больших кругов.

Тогда сферический закон синусов гласит: ${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$

Векторное доказательство

Рассмотрим единичную сферу с тремя единичными векторами $OA$ , $OB$ и $OC,$ проведенными из начала координат в вершины треугольника. Таким образом, углы $α$ , $β$ и $γ$ являются углами $a$ , $b$ и $c$ соответственно. Дуга $BC$ образует угол величины $a$ в центре. Введем декартов базис с $ОА$ вдоль $оси z$ и $OB$ в $плоскости xz$ , составляющим угол $c$ с $осью z$ . Вектор $OC$ проецируется на $ON$ в $плоскости xy$ угол между $ON$ и $осью x$ равен $A.$ , а Следовательно, три вектора имеют компоненты: $\mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.$

Скалярное тройное произведение OA $\cdot (OB \times OC)$ представляет собой объём параллелепипеда , образованного векторами положения вершин сферического треугольника $OA$ , $OB$ и $OC$ . Этот объем инвариантен к конкретной системе координат, используемой для представления $OA$ , $OB$ и $OC$ . Значение скалярного тройного произведения $OA \cdot (OB \times OC)$ — это $определитель 3 \times 3$ со $OA$ , $OB$ и $OC$ строками . При $оси z$ вдоль $OA$ квадрат этого определителя равен ${\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}$ Повторение этого расчета по $оси z$ вдоль $OB$ дает $(sin c sin a sin B) 2$ , тогда как с $осью z$ вдоль $OC$ это $(sin a sin b sin C) 2$ . Приравнивая эти выражения и разделяя их на $(sin a sin b sin c) 2$ дает ${\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},$ где $V$ — объем параллелепипеда , образованного вектором положения вершин сферического треугольника. Соответственно, результат следующий.

Легко видеть, как для малых сферических треугольников, когда радиус сферы много больше сторон треугольника, эта формула в пределе становится плоской формулой, так как $\lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1$ и то же самое для $sin b$ и $sin c$ .

Геометрическое доказательство

Рассмотрим единичную сферу с: $OA=OB=OC=1$

Построить точку $D$ и точка $E$ такой, что $\angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }$

Построить точку $A'$ такой, что $\angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }$

Таким образом, можно видеть, что $\angle ADA'=B$ и $\angle AEA'=C$

Обратите внимание, что $A'$ это проекция $A$ в самолете $OBC$ . Поэтому $\angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }$

По базовой тригонометрии мы имеем: ${\begin{aligned}AD&=\sin c\\AE&=\sin b\end{aligned}}$

Но $AA'=AD\sin B=AE\sin C$

Объединив их, мы имеем: ${\begin{aligned}\sin c\sin B&=\sin b\sin C\\\Rightarrow {\frac {\sin B}{\sin b}}&={\frac {\sin C}{\sin c}}\end{aligned}}$

Применяя аналогичные рассуждения, мы получаем сферический закон синуса: ${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}$

Другие доказательства

Чисто алгебраическое доказательство можно построить на основе сферического закона косинусов . От личности $\sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A$ и явное выражение для $\cos A$ из сферического закона косинусов ${\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}$ Поскольку правая часть инвариантна относительно циклической перестановки $a,\;b,\;c$ правило сферического синуса следует немедленно.

Фигура, использованная в приведенном выше геометрическом доказательстве, используется и также представлена в Banerjee. ^[12] (см. рисунок 3 в этой статье), чтобы вывести закон синуса с использованием элементарной линейной алгебры и матриц проекций.

Гиперболический случай

В гиперболической геометрии , когда кривизна равна −1, закон синусов принимает вид ${\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.$

В частном случае, когда $B$ — прямой угол, получается $\sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}$

которая является аналогом формулы евклидовой геометрии, выражающей синус угла как противоположную сторону, разделенную на гипотенузу.

Случай поверхностей постоянной кривизны

Определите обобщенную синусоидальную функцию, зависящую также от вещественного параметра. $\kappa$ : $\sin _{\kappa }(x)=x-{\frac {\kappa }{3!}}x^{3}+{\frac {\kappa ^{2}}{5!}}x^{5}-{\frac {\kappa ^{3}}{7!}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\kappa ^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}={\frac {\sin({\sqrt {\kappa \;}}x)}{\sqrt {\kappa \;}}}$

Закон синусов постоянной кривизны $\kappa$ читается как ^[1] ${\frac {\sin A}{\sin _{\kappa }a}}={\frac {\sin B}{\sin _{\kappa }b}}={\frac {\sin C}{\sin _{\kappa }c}}\,.$

Подставив $\kappa =0$ , $\kappa =1$ , и $\kappa =-1$ , получаем соответственно евклидов, сферический и гиперболический случаи закона синусов, описанные выше.

Позволять $p_{\kappa }(r)$ укажите длину окружности радиуса $r$ в пространстве постоянной кривизны $\kappa$ . Затем $p_{\kappa }(r)=2\pi \sin _{\kappa }(r)$ . Следовательно, закон синусов можно также выразить как: ${\frac {\sin A}{p_{\kappa }(a)}}={\frac {\sin B}{p_{\kappa }(b)}}={\frac {\sin C}{p_{\kappa }(c)}}\,.$

Эту формулировку открыл Янош Бойяи . ^[13]

Высшие измерения

Тетраэдр имеет четыре треугольные грани . Абсолютное значение полярного синуса ( $psin$ ) нормальных векторов к трем граням, которые имеют общую вершину тетраэдра, разделенное на площадь четвертой грани, не будет зависеть от выбора вершины: ^[14]

${\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}$

В более общем смысле, для $n$ -мерного симплекса (т.е. треугольника ( $n = 2$ ), тетраэдра ( $n = 3$ ), пентатопа ( $n = 4$ ) и т. д.) в $n$ -мерном евклидовом пространстве абсолютное значение полярного синуса векторов нормалей граней, которые встречаются в вершине, разделенных на гиперплощадь грани, противоположной вершине, не зависит от выбора вершины. Записывая $V$ для гиперобъема $n$ -мерного симплекса и $P$ для произведения гиперплощадей его $(n - 1)$ -мерных граней, общее соотношение равно ${\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\ldots ,\mathbf {z} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}=\cdots ={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\ldots ,\mathbf {y} )\right|}{\mathrm {Area} _{z}}}={\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.$

См. также

Герсонид – средневековый еврейский философ.
Формула полустороны - для решения сферических треугольников.
Закон косинусов
Закон касательных
Закон котангенсов
Формула Молвейде - для проверки решений треугольников.
Решение треугольников
Геодезия

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б «Обобщенный закон синусов» . математический мир .
^ Зима, Генри Джеймс Жак (1952). Восточная наука . Джон Мюррей . п. 46.
^ Коулбрук, Генри Томас (1817). Алгебра с арифметикой и измерением с санскрита Брахмегупты и Бхаскары . Лондон: Джон Мюррей . стр. 299–300.
↑ Сезиано просто называет аль-Вафа соавтором. Сезиано, Жак (2000). «Исламская математика». В Селин, Хелейн; Д'Амброзио, Убиратан (ред.). Математика в разных культурах: история незападной математики . Спрингер . стр. 137–157. ISBN 1-4020-0260-2 .
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Абдаллах Мухаммад ибн Муаз Аль-Джайани» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета . п. 518. ИСБН 978-0-691-11485-9 .
^ Ван Браммелен, Глен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета . п. 259. ИСБН 0-691-12973-8 .
^ Коксетер, HSM и Грейтцер, SL « Возвращение к геометрии» . Вашингтон, округ Колумбия: Математика. доц. Амер., стр. 1–3, 1967 г.
^ Jump up to: ^а ^б «Закон Синуса» . www.pballew.net . Проверено 18 сентября 2018 г.
^ Видео мистера Т. по математике (10 июня 2015 г.), Площадь треугольника и радиус описанной окружности , заархивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. , получено 18 сентября 2018 г.
^ Митчелл, Дуглас В., «Формула площади типа Цапли в терминах синусов», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 108–109.
^ Банерджи, Судипто (2004), «Возвращаясь к сферической тригонометрии с ортогональными проекторами» (PDF) , The College Mathematics Journal , 35 (5), Математическая ассоциация Америки: 375–381, doi : 10.1080/07468342.2004.11922099
^ Каток, Светлана (1992). Фуксовы группы . Чикаго: Издательство Чикагского университета. п. 22 . ISBN 0-226-42583-5 .
^ Эрикссон, Фольке (1978). «Закон синусов для тетраэдров и n-симплексов». Геометрии посвященные . 7 (1): 71–80. дои : 10.1007/bf00181352 .

Внешние ссылки

[mathworld-1] Jump up to: ^а ^б «Обобщенный закон синусов» . математический мир .

[2] Зима, Генри Джеймс Жак (1952). Восточная наука . Джон Мюррей . п. 46.

[3] Коулбрук, Генри Томас (1817). Алгебра с арифметикой и измерением с санскрита Брахмегупты и Бхаскары . Лондон: Джон Мюррей . стр. 299–300.

[Sesiano-4] Сезиано просто называет аль-Вафа соавтором. Сезиано, Жак (2000). «Исламская математика». В Селин, Хелейн; Д'Амброзио, Убиратан (ред.). Математика в разных культурах: история незападной математики . Спрингер . стр. 137–157. ISBN 1-4020-0260-2 .

[MacTutor_Al-Jayyani-5] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Абдаллах Мухаммад ибн Муаз Аль-Джайани» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[6] Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета . п. 518. ИСБН 978-0-691-11485-9 .

[7] Ван Браммелен, Глен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета . п. 259. ИСБН 0-691-12973-8 .

[8] Коксетер, HSM и Грейтцер, SL « Возвращение к геометрии» . Вашингтон, округ Колумбия: Математика. доц. Амер., стр. 1–3, 1967 г.

[:0-9] Jump up to: ^а ^б «Закон Синуса» . www.pballew.net . Проверено 18 сентября 2018 г.

[10] Видео мистера Т. по математике (10 июня 2015 г.), Площадь треугольника и радиус описанной окружности , заархивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. , получено 18 сентября 2018 г.

[11] Митчелл, Дуглас В., «Формула площади типа Цапли в терминах синусов», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 108–109.

[banerjee-12] Банерджи, Судипто (2004), «Возвращаясь к сферической тригонометрии с ортогональными проекторами» (PDF) , The College Mathematics Journal , 35 (5), Математическая ассоциация Америки: 375–381, doi : 10.1080/07468342.2004.11922099

[13] Каток, Светлана (1992). Фуксовы группы . Чикаго: Издательство Чикагского университета. п. 22 . ISBN 0-226-42583-5 .

[14] Эрикссон, Фольке (1978). «Закон синусов для тетраэдров и n-симплексов». Геометрии посвященные . 7 (1): 71–80. дои : 10.1007/bf00181352 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]