Jump to content

Формула Молвейде

Рисунок 1 – Треугольник. Углы α , β и γ противоположны сторонам a , b и c соответственно .

В тригонометрии представляет формула Молвейде собой пару отношений между сторонами и углами в треугольнике. [ 1 ] [ 2 ]

Вариант в более геометрическом стиле был впервые опубликован Исааком Ньютоном в 1707 году, а затем Фридрихом Вильгельмом фон Оппелем [ де ] в 1746 году. Томас Симпсон опубликовал ныне ставшее стандартным выражение в 1748 году. Карл Моллвейде переиздал тот же результат в 1808 году, не ссылаясь на этих предшественников. . [ 3 ]

С его помощью можно проверить совместность решений треугольников . [ 4 ]

Позволять и — длины трех сторон треугольника. Позволять и быть мерами углов, противолежащих этим трем сторонам соответственно. Формулы Молвейде:

Связь с другими тригонометрическими тождествами

[ редактировать ]

Потому что в плоском треугольнике эти тождества поочередно могут быть записаны в форме, в которой они более явно представляют собой предельный случай аналогий Нейпира для сферических треугольников (это была форма, использованная фон Оппелем),

Разделив одно на другое, чтобы исключить приводит к закону касательных ,

Только с точки зрения тангенсов половинного угла формулу Моллвейде можно записать как

или эквивалентно

Умножение соответствующих сторон этих тождеств дает один тангенс половинного угла через три стороны:

который становится законом котангенсов после извлечения квадратного корня,

где это полупериметр .

Тождества также могут быть доказаны эквивалентными закону синусов и закону косинусов .

Двойные отношения

[ редактировать ]

В сферической тригонометрии закон косинусов и производные тождества, такие как аналогии Нейпира, имеют точные двойственные значения, заменяющие центральные углы, измеряющие стороны, и двугранные углы в вершинах. В бесконечно малом пределе закон косинусов сторон сводится к планарному закону косинусов, а две аналогии Нейпира сводятся к приведенным выше формулам Молвейде. Но закон косинусов для углов вырождается в Разделив квадрат длины стороны на сферический избыток мы получаем неисчезающее отношение, соотношение сферической тригонометрии:

В бесконечно малом пределе, когда касательные половинного угла сферических сторон уменьшаются до длин плоских сторон, тангенс половинного угла сферического избытка уменьшается до удвоенной площади. плоского треугольника, поэтому на плоскости это:

и аналогично для и

В качестве следствий (умножение или деление приведенной выше формулы через и ) получаем два двойственных утверждения к формулам Молвейде. Первый выражает площадь через две стороны и прилежащий угол, а второй представляет собой закон синусов:

Вторую формулу альтернативно можно выразить в форме, более близкой к одной из формул Молвейде (опять закон тангенса):

Циклический четырехугольник

[ редактировать ]
Любой вписанный четырехугольник удовлетворяет обобщению формулы Молвейде.

Обобщение формулы Молвейде справедливо для вписанного четырехугольника. Обозначим длины сторон и и угловые меры и Если – точка пересечения диагоналей, обозначим Затем: [ 5 ]

Несколько вариантов формул могут быть построены путем замены на основе циклических четырехугольных тождеств:

В качестве рациональных соотношений через тангенсы половин двух соседних углов можно записать эти формулы:

Треугольник можно рассматривать как четырехугольник с одной стороной нулевой длины. С этой точки зрения, как приближается к нулю, вписанный четырехугольник сходится в треугольник и приведенные выше формулы упрощаются до аналогичных формул треугольника. Перемаркировка в соответствии с соглашением для треугольников, в пределе и

  1. ^ Вильчинский, Эрнест Юлиус (1914), Плоская тригонометрия и ее приложения , Аллин и Бэкон, с. 102
  2. ^ Салливан, Майкл (1988), Тригонометрия , Деллен, с. 243
  3. ^ Брэдли, ХК; Яманути, Т.; Ловитт, Западная Вирджиния; Арчибальд, Р. К. (1921), «Дискуссии: геометрические доказательства закона касательных», American Mathematical Monthly , 28 (11–12): 440–443
  4. ^ Эрнест Юлиус Вильчински, Плоская тригонометрия и ее приложения , Аллин и Бэкон, 1914, стр. 105
  5. ^ Хосе Гарсия, Эммануэль Антонио (2022), «Обобщение формулы Моллвейде (скорее Ньютона)» (PDF) , Matinf , 5 (9–10): 19–22 , получено 29 декабря 2023 г.

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 417185c561c337b5dfd7e356226efab1__1704114600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/41/b1/417185c561c337b5dfd7e356226efab1.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Mollweide's formula - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)