Формула Молвейде

Рисунок 1 – Треугольник. Углы α , β и γ противоположны сторонам a , b и c соответственно .

В тригонометрии представляет формула Молвейде собой пару отношений между сторонами и углами в треугольнике.

Вариант в более геометрическом стиле был впервые опубликован Исааком Ньютоном в 1707 году, а затем Фридрихом Вильгельмом фон Оппелем в 1746 году. Томас Симпсон опубликовал ныне ставшее стандартным выражение в 1748 году. Карл Моллвейде переиздал тот же результат в 1808 году, не ссылаясь на этих предшественников. .

С его помощью можно проверить совместность решений треугольников .

Позволять $a,$ $b,$ и $c$ — длины трех сторон треугольника. Позволять $\alpha ,$ $\beta ,$ и $\gamma$ быть мерами углов, противолежащих этим трем сторонам соответственно. Формулы Молвейде:

${\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}\gamma }},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}\gamma }}.\end{aligned}}$

Связь с другими тригонометрическими тождествами

Потому что в плоском треугольнике ${\tfrac {1}{2}}\gamma ={\tfrac {1}{2}}\pi -{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta ),$ эти тождества поочередно могут быть записаны в форме, в которой они более явно представляют собой предельный случай аналогий Нейпира для сферических треугольников (это была форма, использованная фон Оппелем),

${\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.\end{aligned}}$

Разделив одно на другое, чтобы исключить $c$ приводит к закону касательных ,

${\begin{aligned}{\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}$

Только с точки зрения тангенсов половинного угла формулу Моллвейде можно записать как

${\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {1+\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }},\\[10mu]{\frac {a-b}{c}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha -\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }},\end{aligned}}$

или эквивалентно

${\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta &={\frac {a+b-c}{a+b+c}},\\[10mu]{\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}&={\frac {{\phantom {-}}a-b+c}{-a+b+c}}.\end{aligned}}$

Умножение соответствующих сторон этих тождеств дает один тангенс половинного угла через три стороны:

${\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\bigr )}^{2}={\frac {(a+b-c)(a-b+c)}{(a+b+c)(-a+b+c)}}.$

который становится законом котангенсов после извлечения квадратного корня,

${\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }{s-a}}={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\beta }{s-b}}={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }{s-c}}={\sqrt {\frac {s{\vphantom {)}}}{(s-c)(s-b)(s-a)}}},$

где ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ это полупериметр .

Тождества также могут быть доказаны эквивалентными закону синусов и закону косинусов .

Двойные отношения

В сферической тригонометрии закон косинусов и производные тождества, такие как аналогии Нейпира, имеют точные двойственные значения, заменяющие центральные углы, измеряющие стороны, и двугранные углы в вершинах. В бесконечно малом пределе закон косинусов сторон сводится к планарному закону косинусов, а две аналогии Нейпира сводятся к приведенным выше формулам Молвейде. Но закон косинусов для углов вырождается в $0=0.$ Разделив квадрат длины стороны на сферический избыток $E,$ мы получаем неисчезающее отношение, соотношение сферической тригонометрии:

${\begin{aligned}{\frac {\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}c}{\tan {\tfrac {1}{2}}E}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha \,\sin \beta }}.\end{aligned}}$

В бесконечно малом пределе, когда касательные половинного угла сферических сторон уменьшаются до длин плоских сторон, тангенс половинного угла сферического избытка уменьшается до удвоенной площади. $A$ плоского треугольника, поэтому на плоскости это:

${\frac {c^{2}}{2A}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha \,\sin \beta }},$

и аналогично для $a$ и $b.$

В качестве следствий (умножение или деление приведенной выше формулы через $a$ и $b$) получаем два двойственных утверждения к формулам Молвейде. Первый выражает площадь через две стороны и прилежащий угол, а второй представляет собой закон синусов:

${\frac {ab}{2A}}={\frac {1}{\sin \gamma }},$

${\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}.$

Вторую формулу альтернативно можно выразить в форме, более близкой к одной из формул Молвейде (опять закон тангенса):

${\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }}={\frac {a-b}{a+b}}.$

Циклический четырехугольник

Любой вписанный четырехугольник удовлетворяет обобщению формулы Молвейде.

Обобщение формулы Молвейде справедливо для вписанного четырехугольника. $\square ABCD.$ Обозначим длины сторон $|AB|=a,$ $|BC|=b,$ $|CD|=c,$ и $|DA|=d$ и угловые меры $\angle {DAB}=\alpha ,$ $\angle {ABC}=\beta ,$ $\angle {BCD}=\gamma ,$ и $\angle {CDA}=\delta .$ Если $E$ – точка пересечения диагоналей, обозначим $\angle {CED}=\theta .$ Затем:

${\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma -\delta )}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\gamma )}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}$

Несколько вариантов формул могут быть построены путем замены на основе циклических четырехугольных тождеств:

${\begin{aligned}\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )={\phantom {-}}\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )={\phantom {-}}\sin {\tfrac {1}{2}}(\gamma +\delta )=\cos {\tfrac {1}{2}}(\delta -\alpha ),\\[3mu]\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )=-\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )=-\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma +\delta )=\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\alpha ).\end{aligned}}$

В качестве рациональных соотношений через тангенсы половин двух соседних углов можно записать эти формулы:

${\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {b-d}{a-c}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha -\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}$

Треугольник можно рассматривать как четырехугольник с одной стороной нулевой длины. С этой точки зрения, как $d$ приближается к нулю, вписанный четырехугольник сходится в треугольник $\triangle A'B'C',$ и приведенные выше формулы упрощаются до аналогичных формул треугольника. Перемаркировка в соответствии с соглашением для треугольников, в пределе $a'=b,$ $b'=c,$ $c'=a,$ $\alpha '=\alpha +\delta -\pi =\pi -\theta ,$ $\beta '=\beta ,$ и $\gamma '=\gamma .$

Дальнейшее чтение

• Де Кляйн, Х. Артур (1988), «Доказательство без слов: уравнение Моллвейде», журнал Mathematics Magazine , 61 (5): 281
• Карьянто, Натанаэль (2011), «Формула Молвейде в преподавании тригонометрии», Преподавание математики и ее приложений , 30 : 70–74, arXiv : 1808.08049 , doi : 10.1093/teamat/hrr008
• Ву, Рекс Х. (2007), «История Молвейде и некоторых тригонометрических тождеств» (PDF) (препринт)
• Ву, Рекс Х. (2020), «Доказательство без слов: уравнения Моллвейде из закона синусов», Mathematics Magazine , 93 (5): 386, doi : 10.1080/0025570X.2020.1817707