Теорема Харкорта

Теорема Харкорта формула — это геометрическая для определения площади треугольника него как функции длин его сторон и перпендикулярных расстояний его вершин от произвольной прямой, касательной к вписанной в окружности .

Теорема названа в честь Дж. Харкорта, ирландского профессора.

Заявление

Пусть треугольник задан с вершинами A , B и C , противоположными сторонами длин a , b и c , площадью K и линией, которая касается вписанной треугольника окружности в любой точке этого круга. Обозначим перпендикулярные расстояния вершин от линии со знаком как ' , b ' и c ', причем расстояние будет отрицательным тогда и только тогда, когда вершина находится на противоположной стороне линии от центра. Затем

$aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.$

Вырожденный случай

Если касательная линия содержит одну из сторон треугольника, то два расстояния равны нулю, и формула сводится к знакомой формуле, согласно которой удвоенная площадь треугольника равна основанию (совпадающей стороне треугольника), умноженному на высоту от этого основания. .

Расширение

Если вместо этого линия касается вписанной окружности, противоположной, скажем, вершине А треугольника, то

$-aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.$

Двойное свойство

Если вместо a', b', c' относятся к расстояниям от вершины до произвольной вписанной касательной линии, а относятся к расстояниям от боковой линии до произвольной точки, то уравнение

$aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.$

остается верным.