Барицентрическая система координат

Не путать с барицентрическими координатами (астрономия) .

Смотрите также: Аффинное пространство § Барицентрические координаты

Барицентрические координаты $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ в равностороннем треугольнике и в прямоугольном треугольнике.

3-симплекс с барицентрическими подразделениями 1-граней (ребер), 2-граней (треугольников) и 3-граней (тела).

В геометрии барицентрическая система координат — это система координат , в которой расположение точки задается ссылкой на симплекс ( треугольник для точек на плоскости , тетраэдр для точек в трехмерном пространстве и т. д.). Барицентрические координаты точки можно интерпретировать как массы, расположенные в вершинах симплекса, так что точка является центром масс (или барицентром ) этих масс. Эти массы могут быть нулевыми или отрицательными; все они положительны тогда и только тогда, когда точка находится внутри симплекса.

Каждая точка имеет барицентрические координаты, и их сумма никогда не равна нулю. Два кортежа барицентрических координат определяют одну и ту же точку тогда и только тогда, когда они пропорциональны; то есть, если один кортеж можно получить умножением элементов другого кортежа на то же ненулевое число. Поэтому барицентрические координаты считаются либо заданными с точностью до умножения на ненулевую константу, либо нормированными для суммирования до единицы.

Барицентрические координаты были введены Августом Мёбиусом в 1827 году. Это особые однородные координаты . Барицентрические координаты тесно связаны с декартовыми координатами и, в более общем смысле, с аффинными координатами (см. Аффинное пространство § Связь между барицентрическими и аффинными координатами ).

Барицентрические координаты особенно полезны в геометрии треугольника для изучения свойств, которые не зависят от углов треугольника, таких как теорема Чевы , теорема Рауса и теорема Менелая . В компьютерном проектировании они полезны для определения некоторых видов поверхностей Безье .

Определение

Позволять $A_{0},\ldots ,A_{n}$ быть n + 1 точками в евклидовом пространстве , плоском или аффинном пространстве $\mathbf {A}$ размерности n, которые аффинно независимы ; это означает, что не существует аффинного подпространства размерности n - 1 , содержащего все точки, или, что то же самое, точки определяют симплекс . Учитывая любую точку $P\in \mathbf {A} ,$ есть скаляры $a_{0},\ldots ,a_{n}$ которые не все равны нулю, такие, что

$$(a_{0}+\cdots +a_{n}){\overset {}{\overrightarrow {OP}}}=a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}},$$

точки О. для любой (Как обычно, обозначения ${\overset {}{\overrightarrow {AB}}}$ представляет вектор перемещения или свободный вектор , который отображает точку A в точку B. )

Элементы кортежа n + 1) ( $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ удовлетворяющие этому уравнению, называются координатами P барицентрическими относительно $A_{0},\ldots ,A_{n}.$ Использование двоеточий в обозначениях кортежа означает, что барицентрические координаты являются своего рода однородными координатами , то есть точка не меняется, если все координаты умножить на одну и ту же ненулевую константу. Причём барицентрические координаты также не изменяются, если вспомогательную точку О , начало координат изменить .

Барицентрические координаты точки уникальны точностью до масштабирования с . То есть два кортежа $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ и $(b_{0}:\dotsc :b_{n})$ являются барицентрическими координатами одной и той же точки тогда и только тогда, когда существует ненулевой скаляр $\lambda$ такой, что $b_{i}=\lambda a_{i}$ для каждого я .

В некоторых контекстах полезно ограничить барицентрические координаты точки, чтобы они были уникальными. Обычно это достигается наложением условия

$$\sum a_{i}=1,$$

или, что то же самое, разделив каждый $a_{i}$ по сумме всех $a_{i}.$ Эти конкретные барицентрические координаты называются нормализованными или абсолютными барицентрическими координатами . Иногда их также называют аффинными координатами , хотя этот термин обычно относится к несколько иной концепции.

Иногда именно нормированные барицентрические координаты называют барицентрическими координатами . В этом случае определенные выше координаты называются однородными барицентрическими координатами .

В приведенных выше обозначениях все однородные барицентрические координаты A _i равны нулю, за исключением координаты с индексом i . При работе с действительными числами (приведенное выше определение используется также для аффинных пространств над произвольным полем ) точки, все нормированные барицентрические координаты которых неотрицательны, образуют выпуклую оболочку $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ который представляет собой симплекс , вершинами которого являются эти точки.

В приведенных выше обозначениях кортеж $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ такой, что

$$\sum _{i=0}^{n}a_{i}=0$$

не определяет никакой точки, но вектор

$$a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}}$$

не зависит от начала координат O . Поскольку направление этого вектора не изменится, если все $a_{i}$ умножаются на один и тот же скаляр, однородный кортеж $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ определяет направление линий, то есть точку на бесконечности . Более подробную информацию смотрите ниже.

с декартовыми или

Барицентрические координаты тесно связаны с декартовыми координатами и, в более общем смысле, с аффинными координатами . Для пространства размерности n эти системы координат определяются относительно точки O , начала координат , координаты которой равны нулю, и n точек. $A_{1},\ldots ,A_{n},$ чьи координаты равны нулю, за исключением индекса i, равного единице.

У точки есть координаты

$$(x_{1},\ldots ,x_{n})$$

для такой системы координат тогда и только тогда, когда ее нормированные барицентрические координаты равны

$$(1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots ,x_{n})$$

относительно точек $O,A_{1},\ldots ,A_{n}.$

Основным преимуществом барицентрических систем координат является их симметричность относительно n + 1 определяющих точек. Поэтому они часто полезны для изучения свойств, симметричных относительно n + 1 точек. С другой стороны, расстояния и углы трудно выразить в общих барицентрических системах координат, и когда они задействованы, обычно проще использовать декартову систему координат.

с

Однородные барицентрические координаты также сильно связаны с некоторыми проективными координатами . Однако эта связь более тонкая, чем в случае с аффинными координатами, и для ее ясного понимания требуется бескоординатное определение проективного пополнения аффинного пространства и определение проективной системы координат .

Проективное пополнение аффинного пространства размерности n — это проективное пространство той же размерности, которое содержит аффинное пространство в качестве дополнения к гиперплоскости . Проективное пополнение единственно точностью до изоморфизма с . Гиперплоскость называется гиперплоскостью на бесконечности , а ее точки — это точки на бесконечности аффинного пространства.

Учитывая проективное пространство размерности n , проективная рамка представляет собой упорядоченный набор из n + 2 точек, которые не содержатся в одной и той же гиперплоскости. Проективная система координат определяет проективную систему координат такую, что координаты ( n + 2) -й точки системы координат равны, а в противном случае все координаты i -й точки равны нулю, кроме i -й.

При построении проективного пополнения из аффинной системы координат его обычно определяют относительно проективной системы координат, состоящей из пересечений с гиперплоскостью на бесконечности координатных осей , начала аффинного пространства и точки, которая имеет все свои аффинные координаты. координаты равны единице. Это означает, что точки, находящиеся на бесконечности, имеют свою последнюю координату, равную нулю, и что проективные координаты точки аффинного пространства получаются путем дополнения ее аффинных координат на единицу как ( n + 1) -я координата.

Когда в аффинном пространстве имеется n + 1 точка, определяющая барицентрическую систему координат, это еще одна проективная система координат проективного пополнения, которую удобно выбрать. Эта система координат состоит из этих точек и их центроида , то есть точки, у которой все барицентрические координаты равны. В этом случае однородные барицентрические координаты точки аффинного пространства совпадают с проективными координатами этой точки. Точка находится на бесконечности тогда и только тогда, когда сумма ее координат равна нулю. Эта точка находится в направлении вектора, определенного в конце § Определения .

Барицентрические координаты треугольников

См. Также: Троичный график и Центр треугольника.

В контексте треугольника барицентрические координаты также известны как координаты площади или координаты площади , поскольку координаты P относительно треугольника ABC эквивалентны (со знаком) отношениям площадей PBC , PCA и PAB к площади треугольника. опорный треугольник ABC . Площадные и трилинейные координаты используются в геометрии для аналогичных целей.

Барицентрические или площадные координаты чрезвычайно полезны в инженерных приложениях, включающих треугольные подобласти . аналитических интегралов Это часто упрощает оценку , а квадратурные таблицы Гаусса часто представляются в виде площадных координат.

Рассмотрим треугольник T, определяемый тремя вершинами: $\mathbf {r} _{1}$, $\mathbf {r} _{2}$ и $\mathbf {r} _{3}$. Каждая точка $\mathbf {r}$ расположенную внутри этого треугольника, можно записать как единственную выпуклую комбинацию трех вершин. Другими словами, для каждого $\mathbf {r}$ существует уникальная последовательность из трех чисел, $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ такой, что $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ и

$$\mathbf {r} =\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3},$$

Три цифры $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ указать «барицентрические» или «площадные» координаты точки $\mathbf {r}$ относительно треугольника. Их часто обозначают как $\alpha ,\beta ,\gamma$ вместо $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$. Обратите внимание, что хотя координат три, степени свободы всего две , так как $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$. Таким образом, каждая точка однозначно определяется любыми двумя барицентрическими координатами.

Чтобы объяснить, почему эти координаты являются знаковыми отношениями площадей , предположим, что мы работаем в евклидовом пространстве. $\mathbf {E} ^{3}$. Здесь рассмотрим декартову систему координат $Oxyz$ и связанный с ним базис , а именно $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$. Рассмотрим также положительно ориентированный треугольник $ABC$ лежащий в $Oxy$ самолет . Известно, что для любого базиса $\{\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} \}$ из $\mathbf {E} ^{3}$ и любой свободный вектор $\mathbf {h}$ у одного есть

$$\mathbf {h} ={\frac {1}{(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )}}\cdot \left[(\mathbf {h} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )\mathbf {e} +(\mathbf {e} ,\mathbf {h} ,\mathbf {g} )\mathbf {f} +(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {h} )\mathbf {g} \right],$$

где $(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g}$ обозначает смешанное произведение этих трех векторов.

Брать $\mathbf {e} ={\overset {}{\overrightarrow {AB}}},\,\mathbf {f} ={\overset {}{\overrightarrow {AC}}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\overset {}{\overrightarrow {AP}}},$ где P — произвольная точка плоскости $Oxy$и заметим, что

$$(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {h} )=\left({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\right)\cdot {\overrightarrow {AP}}=\left(\,\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\right|\mathbf {k} \right)\cdot {\overrightarrow {AP}}=0.$$

Тонкий момент относительно выбора бесплатных векторов: $\mathbf {e}$ по сути, является классом равновесности связанного вектора ${\overset {}{\overrightarrow {AB}}}$.

Мы получили это

$${\overset {}{\overrightarrow {AP}}}=m_{B}\cdot {\overset {}{\overrightarrow {AB}}}+m_{C}\cdot {\overset {}{\overrightarrow {AC}}}$$

где

$$m_{B}={\frac {\left({\overrightarrow {AP}},{\overrightarrow {AC}},\mathbf {k} \right)}{\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},\mathbf {k} \right)}},\quad m_{C}={\frac {\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AP}},\mathbf {k} \right)}{\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},\mathbf {k} \right)}}.$$

Учитывая положительную ( против часовой стрелки ) ориентацию треугольника $ABC$, знаменатель обоих $m_{B}$ и $m_{C}$ в точности равна удвоенной площади треугольника $ABC$. Также,

$${\begin{aligned}\left({\overrightarrow {AP}},{\overrightarrow {AC}},\mathbf {k} \right)&=\left({\overrightarrow {PC}},{\overrightarrow {PA}},\mathbf {k} \right),\\[2pt]\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AP}},\mathbf {k} \right)&=\left({\overrightarrow {PA}},{\overrightarrow {PB}},\mathbf {k} \right),\end{aligned}}$$

и числители поэтому $m_{B}$ и $m_{C}$ являются двойниками подписанных площадей треугольников $APC$ и соответственно $ABP$.

Далее мы делаем вывод, что

$${\overset {}{\overrightarrow {OP}}}=(1-m_{B}-m_{C})\cdot {\overset {}{\overrightarrow {OA}}}+m_{B}\cdot {\overset {}{\overrightarrow {OB}}}+m_{C}\cdot {\overset {}{\overrightarrow {OC}}}$$

это означает, что числа $1-m_{B}-m_{C}$, $m_{B}$ и $m_{C}$ — барицентрические координаты P . Аналогично, третья барицентрическая координата читается как

$$m_{A}=1-m_{B}-m_{C}={\frac {\left({\overrightarrow {PB}},{\overrightarrow {PC}},\mathbf {k} \right)}{\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},\mathbf {k} \right)}}.$$

Это m -буквенное обозначение барицентрических координат происходит из-за того, что точку P можно интерпретировать как центр масс для масс. $m_{A}$, $m_{B}$, $m_{C}$ расположены в A , B и C. которые

Переключение между барицентрическими координатами и другими системами координат значительно упрощает решение некоторых проблем.

Преобразование барицентрических и декартовых координат

Краевой подход

Учитывая точку $\mathbf {r}$ в плоскости треугольника можно получить барицентрические координаты $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$ и $\lambda _{3}$ из декартовых координат $(x,y)$ или наоборот.

Мы можем записать декартовы координаты точки $\mathbf {r}$ через декартовы компоненты вершин треугольника $\mathbf {r} _{1}$, $\mathbf {r} _{2}$, $\mathbf {r} _{3}$ где $\mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})$ и через барицентрические координаты $\mathbf {r}$ как

$${\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\end{aligned}}$$

То есть декартовы координаты любой точки представляют собой средневзвешенное значение декартовых координат вершин треугольника, причем веса представляют собой барицентрические координаты точки, сумма которых равна единице.

Чтобы найти обратное преобразование из декартовых координат в барицентрические координаты, мы сначала подставляем $\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}$ в вышеизложенное, чтобы получить

$${\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}\end{aligned}}$$

Перестановка, это

$${\begin{aligned}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x&=0\\[2pt]\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-\,y_{3})+y_{3}-\,y&=0\end{aligned}}$$

Это линейное преобразование можно записать более кратко как

$$\mathbf {T} \cdot \lambda =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3}$$

где $\lambda$ — вектор первых двух барицентрических координат, $\mathbf {r}$ — вектор декартовых координат , а $\mathbf {T}$ представляет собой матрицу, заданную формулой

$$\mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\end{matrix}}\right)$$

Теперь матрица $\mathbf {T}$ обратима как , так $\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}$ и $\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}$ ( линейно независимы если бы это было не так, то $\mathbf {r} _{1}$, $\mathbf {r} _{2}$, и $\mathbf {r} _{3}$ были бы коллинеарны и не образовывали бы треугольника). Таким образом, мы можем переставить приведенное выше уравнение, чтобы получить

$$\left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3})$$

Таким образом, нахождение барицентрических координат свелось к нахождению 2×2 обратной матрицы $\mathbf {T}$, легкая проблема.

В явном виде формулы для барицентрических координат точки $\mathbf {r}$ с точки зрения его декартовых координат ( x, y ) и с точки зрения декартовых координат вершин треугольника:

$${\begin{aligned}\lambda _{1}=&\ {\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{2}=&\ {\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{3}=&\ 1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\\[4pt]&=1-{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\end{aligned}}$$

Понимая последнюю строку уравнения, обратите внимание на тождество $(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )=(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )$.

Вершинный подход

Другой способ решения перевода из декартовых координат в барицентрические — записать соотношение в матричной форме

$$\mathbf {R} {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {r}$$

с $\mathbf {R} =\left(\,\mathbf {r} _{1}\,|\,\mathbf {r} _{2}\,|\,\mathbf {r} _{3}\right)$ и ${\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top },$ т.е.

$${\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$$

Чтобы получить единственное нормализованное решение, нам нужно добавить условие $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$. Таким образом, барицентрические координаты являются решением линейной системы

$$\left({\begin{matrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)$$

который

$${\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2A}}{\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}&y_{2}-y_{3}&x_{3}-x_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}&y_{3}-y_{1}&x_{1}-x_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}&y_{1}-y_{2}&x_{2}-x_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix}}$$

где

$$2A=\det(1|R)=x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})$$

в два раза больше площади треугольника со знаком. Площадную интерпретацию барицентрических координат можно восстановить, применив правило Крамера к этой линейной системе.

между барицентрическими и

Точка с трилинейными координатами x : y : z имеет барицентрические координаты ax : by : cz , где a , b , c — длины сторон треугольника. И наоборот, точка с барицентрикой $\lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}$ имеет трилинейки $\lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.$

Уравнения в барицентрических координатах

Три стороны a, b, c соответственно имеют уравнения

$$\lambda _{1}=0,\quad \lambda _{2}=0,\quad \lambda _{3}=0.$$

треугольника Уравнение линии Эйлера :

$${\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\\1&1&1\\\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}=0.$$

Используя ранее заданное преобразование между барицентрическими и трилинейными координатами, различные другие уравнения, приведенные в Трилинейные координаты#Формулы, можно переписать в терминах барицентрических координат.

Расстояние между точками

Вектор смещения двух нормализованных точек $P=(p_{1},p_{2},p_{3})$ и $Q=(q_{1},q_{2},q_{3})$ является

$${\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2},p_{3}-q_{3}).$$

Расстояние d между P и Q или длина вектора смещения ${\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(x,y,z),$ является

$${\begin{aligned}d^{2}&=|PQ|^{2}\\[2pt]&=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right].\end{aligned}}$$

где a, b, c — длины сторон треугольника. Эквивалентность последних двух выражений следует из $x+y+z=0,$ что справедливо, потому что

$${\begin{aligned}x+y+z&=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})\\[2pt]&=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})\\[2pt]&=1-1=0.\end{aligned}}$$

Барицентрические координаты точки можно рассчитать на основе расстояний d _i до трех вершин треугольника, решив уравнение

$$\left({\begin{matrix}-c^{2}&c^{2}&b^{2}-a^{2}\\-b^{2}&c^{2}-a^{2}&b^{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B}^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{matrix}}\right).$$

Приложения

Два решения головоломки о наливании воды объемом 8, 5 и 3 л с использованием барицентрического графика. Желтая область обозначает комбинации, достижимые с помощью кувшинов. Сплошные красные и пунктирные синие пути показывают плавные переходы. Когда вершина попадает в пунктирный треугольник, измерено 4 L.

Определение местоположения относительно треугольника

Хотя барицентрические координаты чаще всего используются для обработки точек внутри треугольника, их также можно использовать для описания точки вне треугольника. Если точка не находится внутри треугольника, мы все равно можем использовать приведенные выше формулы для вычисления барицентрических координат. Однако, поскольку точка находится вне треугольника, по крайней мере одна из координат нарушит наше исходное предположение, что $\lambda _{1...3}\geq 0$. Фактически, по любой точке в декартовых координатах мы можем использовать этот факт, чтобы определить, где находится эта точка относительно треугольника.

Если точка лежит внутри треугольника, все барицентрические координаты лежат в открытом интервале. $(0,1).$ Если точка лежит на ребре треугольника, но не в вершине, одна из координат площади $\lambda _{1...3}$ (тот, который связан с противоположной вершиной) равен нулю, а два других лежат в открытом интервале $(0,1).$ Если точка лежит на вершине, координата, связанная с этой вершиной, равна 1, а остальные равны нулю. Наконец, если точка лежит вне треугольника, хотя бы одна координата отрицательна.

Подводя итоги,

Точка $\mathbf {r}$ лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда $0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}$.

$$\mathbf {r}$$

лежит на ребре или углу треугольника, если $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}$ и $\lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}$.

В противном случае, $\mathbf {r}$ лежит вне треугольника.

В частности, если точка лежит на дальней стороне линии, барицентрическая координата точки в треугольнике, не находящейся на линии, будет иметь отрицательное значение.

Интерполяция по треугольной неструктурированной сетке

Поверхность (верхняя часть), полученная в результате линейной интерполяции по заданной треугольной сетке (нижняя часть) в плоскости x , y . Поверхность аппроксимирует функцию z = f ( x , y ), учитывая только значения f в вершинах сетки.

Если $f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})$ являются известными величинами, но значения f внутри треугольника, определяемого формулой $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}$ неизвестно, их можно аппроксимировать с помощью линейной интерполяции . Барицентрические координаты обеспечивают удобный способ вычисления этой интерполяции. Если $\mathbf {r}$ — точка внутри треугольника с барицентрическими координатами $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda _{3}$, затем

$$f(\mathbf {r} )\approx \lambda _{1}f(\mathbf {r} _{1})+\lambda _{2}f(\mathbf {r} _{2})+\lambda _{3}f(\mathbf {r} _{3})$$

В общем, учитывая любую неструктурированную сетку или полигональную сетку , этот метод можно использовать для аппроксимации значения f во всех точках, если значение функции известно во всех вершинах сетки. В этом случае у нас есть много треугольников, каждый из которых соответствует отдельной части пространства. Чтобы интерполировать функцию f в точке $\mathbf {r}$, сначала необходимо найти треугольник, содержащий $\mathbf {r}$. Для этого $\mathbf {r}$ преобразуется в барицентрические координаты каждого треугольника. Если найден треугольник такой, что координаты удовлетворяют $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$, то точка лежит в этом треугольнике или на его ребре (поясняется в предыдущем разделе). Тогда значение $f(\mathbf {r} )$ можно интерполировать, как описано выше.

Эти методы имеют множество приложений, например, метод конечных элементов (МКЭ).

Интегрирование по треугольнику или тетраэдру

Интеграл от функции по области определения треугольника может быть утомительным при вычислении в декартовой системе координат. Обычно приходится разделить треугольник на две половины, и получается большая путаница. Вместо этого часто проще заменить переменные на любые две барицентрические координаты, например $\lambda _{1},\lambda _{2}$. При такой замене переменных

$$\int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})\mathbf {r} _{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}$$

где А — площадь треугольника. Этот результат следует из того, что прямоугольник в барицентрических координатах соответствует четырехугольнику в декартовых координатах, а отношение площадей соответствующих фигур в соответствующих системах координат определяется выражением $2A$. Аналогично, для интегрирования по тетраэдру вместо разбиения интеграла на две или три отдельные части можно было бы перейти к трехмерным тетраэдрическим координатам при замене переменных

$$\int \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})\mathbf {r} _{4})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\ d\lambda _{3}$$

где V — объем тетраэдра.

Примеры особых точек

В однородной барицентрической системе координат, определенной относительно треугольника $ABC$, следующие утверждения об особых точках $ABC$ держать.

Три вершины A , B и C имеют координаты

$${\begin{array}{rccccc}A=&1&:&0&:&0\\B=&0&:&1&:&0\\C=&0&:&0&:&1\end{array}}$$

Центроид координаты имеет $1:1:1.$

Если a , b , c — длины ребер $BC$, $CA$, $AB$ соответственно, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ являются ли угловые меры $\angle CAB$, $\angle ABC$, и $\angle BCA$ , а s — полупериметр соответственно $ABC$, то следующие утверждения об особых точках $ABC$ держи дополнительно.

Центр описанной окружности имеет координаты

$${\begin{array}{rccccc}&\sin 2\alpha &:&\sin 2\beta &:&\sin 2\gamma \\[2pt]=&1-\cot \beta \cot \gamma &:&1-\cot \gamma \cot \alpha &:&1-\cot \alpha \cot \beta \\[2pt]=&a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2})&:&b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\end{array}}$$

Ортоцентр координаты имеет

$${\begin{array}{rccccc}&\tan \alpha &:&\tan \beta &:&\tan \gamma \\[2pt]=&a\cos \beta \cos \gamma &:&b\cos \gamma \cos \alpha &:&c\cos \alpha \cos \beta \\[2pt]=&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})&:&(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\end{array}}$$

есть У центра координаты $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .$

У эксцентров есть координаты

$${\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-a&:&b&:&c\\J_{B}=&a&:&-b&:&c\\J_{C}=&a&:&b&:&-c\end{array}}$$

Девятиточечный центр имеет координаты

$${\begin{array}{rccccc}&a\cos(\beta -\gamma )&:&b\cos(\gamma -\alpha )&:&c\cos(\alpha -\beta )\\[4pt]=&1+\cot \beta \cot \gamma &:&1+\cot \gamma \cot \alpha &:&1+\cot \alpha \cot \beta \\[4pt]=&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}&:&b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}&:&c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\end{array}}$$

Точка Жергонна имеет координаты $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$.

Точка Нагеля имеет координаты $s-a:s-b:s-c$.

имеет Симмедианная точка координаты $a^{2}:b^{2}:c^{2}$.

Барицентрические координаты на тетраэдрах

Барицентрические координаты можно легко расширить до трёх измерений . Трехмерный симплекс представляет собой тетраэдр , многогранник, имеющий четыре треугольные грани и четыре вершины. Еще раз, четыре барицентрические координаты определены так, что первая вершина $\mathbf {r} _{1}$ отображает барицентрические координаты $\lambda =(1,0,0,0)$, $\mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)$, и т. д.

Это снова линейное преобразование, и мы можем расширить описанную выше процедуру для треугольников, чтобы найти барицентрические координаты точки. $\mathbf {r}$ относительно тетраэдра:

$$\left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})$$

где $\mathbf {T}$ теперь это матрица 3×3:

$$\mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right)$$

и $\lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}$с соответствующими декартовыми координатами:

$${\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})x_{4}\\y&=\lambda _{1}y_{1}+\,\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})y_{4}\\z&=\lambda _{1}z_{1}+\,\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})z_{4}\end{aligned}}$$

И снова задача нахождения барицентрических координат свелась к обращению матрицы 3х3 .

Трехмерные барицентрические координаты могут использоваться для определения того, находится ли точка внутри тетраэдрического объема, а также для интерполяции функции внутри тетраэдральной сетки аналогично двумерной процедуре. Тетраэдрические сетки часто используются в анализе методом конечных элементов , поскольку использование барицентрических координат может значительно упростить 3D-интерполяцию.

Обобщенные барицентрические координаты

Барицентрические координаты $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})$ точки $p\in \mathbb {R} ^{n}$ которые определены относительно конечного набора из k точек $x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ вместо симплекса называются обобщенными барицентрическими координатами . Для них уравнение

$$(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})p=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{k}x_{k}$$

все равно требуется удерживать. Обычно используют нормированные координаты, $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1$. Что касается случая симплекса, то точки с неотрицательными нормализованными обобщенными координатами ( $0\leq \lambda _{i}\leq 1$) образуют оболочку выпуклую x ₁ , ..., x _n . Если точек больше, чем в полном симплексе ( $k>n+1$) обобщенные барицентрические координаты точки не единственны, как и определяющая линейная система (здесь для n=2)

$$\left({\begin{matrix}1&1&1&...\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&...\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&...\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\\vdots \end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)$$

является недоопределенным . Самый простой пример — четырёхугольник на плоскости. Для определения уникальных барицентрических координат можно использовать различные виды дополнительных ограничений.

Абстракция

Более абстрактно, обобщенные барицентрические координаты выражают выпуклый многогранник с n вершинами, независимо от размерности, как образ эталона. $(n-1)$-симплекс, имеющий n вершин – карта находится на: $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$ Отображение взаимно однозначно тогда и только тогда, когда многогранник является симплексом, и в этом случае отображение является изоморфизмом; это соответствует точке, не имеющей уникальных обобщенных барицентрических координат, за исключением случаев, когда P является симплексом.

Двойные к обобщенным барицентрическим координатам являются слабыми переменными , которые измеряют, насколько точка удовлетворяет линейным ограничениям, и дают вложение $P\hookrightarrow (\mathbf {R} _{\geq 0})^{f}$ в форантант , . где f — количество граней (двойственных вершинам) Эта карта является взаимно однозначной (свободные переменные определяются однозначно), но не взаимно однозначной (не все комбинации могут быть реализованы).

Такое использование стандарта $(n-1)$-симплексные и выраженные стандартные объекты, которые отображаются в многогранник или в которые отображается многогранник, следует противопоставлять использованию стандартного векторного пространства. $K^{n}$ как стандартный объект для векторных пространств и стандартная аффинная гиперплоскость $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ в качестве стандартного объекта для аффинных пространств, где в каждом случае выбор линейного базиса или аффинного базиса обеспечивает изоморфизм, позволяя думать обо всех векторных и аффинных пространствах в терминах этих стандартных пространств, а не в терминах онто или однозначного базиса. одно отображение (не всякий многогранник является симплексом). Кроме того, n -ортант — это стандартный объект, который отображается в конусы.

Приложения

Барицентрические координаты используются для равномерного смешивания трех цветов в треугольной области в компьютерной графике.

Обобщенные барицентрические координаты находят применение в компьютерной графике и, более конкретно, в геометрическом моделировании . Часто трехмерную модель можно аппроксимировать многогранником так, что обобщенные барицентрические координаты относительно этого многогранника имеют геометрический смысл. Таким образом, обработка модели может быть упрощена за счет использования этих значимых координат. Барицентрические координаты также используются в геофизике .

См. также

• Тройной сюжет
• Выпуклая комбинация
• Загадка проливания воды
• Однородные координаты

Ссылки

• Скотт, Дж. А. Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника , Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.
• Шиндлер, Макс; Чен, Эван (13 июля 2012 г.). Барицентрические координаты в олимпиадной геометрии (PDF) . Проверено 14 января 2016 г.
• Энциклопедия треугольников Кларка Кимберлинга Энциклопедия центров треугольников . Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 г. Проверено 2 июня 2012 г.
• Брэдли, Кристофер Дж. (2007). Алгебра геометрии: декартовы, площадные и проективные координаты . Ванна: Повышенное восприятие. ISBN  978-1-906338-00-8 .
• Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 216–221 . ISBN  978-0-471-50458-0 . Збл   0181.48101 .
• Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии: сравнительное введение , Абрахам Унгар, World Scientific, 2010 г.
• Гиперболические барицентрические координаты , Абрахам А. Унгар, Австралийский журнал математического анализа и приложений, том 6, № 1, статья 18, стр. 1–35, 2009 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Площадные координаты» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Барицентрические координаты» . Математический мир .
• Вычисление барицентрических координат в однородных координатах , Вацлав Скала, Компьютеры и графика, Том 32, № 1, стр. 120–127, 2008 г.

Внешние ссылки

• Закон рычага
• Использование однородных барицентрических координат в плоской евклидовой геометрии.
• Барицентрические координаты - сборник научных статей о (обобщенных) барицентрических координатах.
• Барицентрические координаты: любопытное приложение (решение задачи «три стакана») в кратчайшие сроки
• Точная точка в тесте треугольника
• Барицентрические координаты в олимпиадной геометрии Эвана Чена и Макса Шиндлера
• Команда Barycenter и команда TriangleCurve в Geogebra .