Теорема Рауса

В геометрии определяет соотношение площадей между данным треугольником и треугольником , теорема Рауса образованным попарными пересечениями трех чевианов . Теорема утверждает, что если в треугольнике $ABC$ очки $D$ , $E$ , и $F$ лежать на сегментах $BC$ , $CA$ , и $AB$ , затем пишу ${\tfrac {CD}{BD}}=x$ , ${\tfrac {AE}{CE}}=y$ , и ${\tfrac {BF}{AF}}=z$ , подписанная площадь треугольника, образованного чевианами $AD$ , $BE$ , и $CF$ является

S_{ABC}{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}},

где $S_{ABC}$ это площадь треугольника $ABC$ .

Эта теорема была сформулирована Эдвардом Джоном Раутом на странице 82 его «Трактата об аналитической статике с многочисленными примерами» в 1896 году. Частный случай $x=y=z=2$ стал популяризирован как треугольник с площадью одной седьмой . $x=y=z=1$ Случай подразумевает, что три медианы совпадают (через центроид ).

Доказательство

Предположим, что площадь треугольника $ABC$ равно 1. Для треугольника $ABD$ и линия $FRC$ используя теорему Менелая , мы могли бы получить:

{\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1

Затем ${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$ Значит, площадь треугольника $ARC$ является:

S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}

Точно так же мы могли бы знать: $S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}$ и $S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}$ Таким образом, площадь треугольника $PQR$ является:

{\begin{aligned}S_{PQR}&=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}\\&=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}\\&={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.\end{aligned}}

Цитаты

Теорему Рауса обычно цитируют «Трактат по аналитической статике с многочисленными примерами» , том 1, гл. IV, во втором издании 1896 г. п. 82 , возможно, потому, что это издание было легче держать в руках. Однако Раус привел теорему уже в первом издании 1891 г., том 1, гл. IV, с. 89 . Хотя нумерация страниц в разных изданиях изменилась, формулировка соответствующей сноски осталась прежней.

Раут завершает свою расширенную сноску предостережением :

«Автор не встречал этих часто встречающихся выражений для площадей двух треугольников. Поэтому он поместил их здесь для того, чтобы было легче понять аргументацию в тексте».

Вероятно, Раут считал, что эти обстоятельства не изменились за пять лет между выпусками. С другой стороны, название книги Рауса ранее использовалось Исааком Тодхантером ; обоих тренировал Уильям Хопкинс .

Хотя Раут опубликовал теорему в своей книге, это не первое опубликованное утверждение. Это указано и доказано как наездник (vii) на странице 33 книги «Решения задач и всадников Кембриджского сената за 1878 год», то есть математических трипо того года, и ссылка https://archive.org/ . подробности/решенияcambri00glaigoog . Утверждается, что автором задач с римскими цифрами является Глейшер . Раут был известным тренером по математическому трипо, когда вышла его книга, и наверняка был знаком с содержанием экзамена по трипо 1878 года. Таким образом, в своем утверждении автор не встречал таких часто встречающихся выражений для площадей двух треугольников. вызывает недоумение.

Задачи в этом духе имеют долгую историю в развлекательной математике и математической педагогике , возможно, один из старейших примеров определения пропорций четырнадцати областей доски желудка . Рауса Кембридж Имея в виду , треугольник площадью одной седьмой , связанный в некоторых отчетах с Ричардом Фейнманом , появляется, например, как Вопрос 100, с. 80 , в «Элементах геометрии Евклида» ( пятое школьное издание ) Роберта Поттса (1805–1885) из Тринити-колледжа, опубликованном в 1859 году; сравните также его вопросы 98, 99 на той же странице. Поттс был двадцать шестым Рэнглером в 1832 году, а затем, как Хопкинс и Раут, тренировал в Кембридже. Разъяснительные работы Потта по геометрии были отмечены медалью на Международной выставке 1862 года, а также достопочтенным. Доктор юридических наук из Колледжа Уильяма и Мэри , Вильямсбург , Вирджиния .

Ссылки

Мюррей С. Кламкин и А. Лю (1981) «Еще три доказательства теоремы Рауса», Crux Mathematicorum 7: 199–203.
HSM Coxeter (1969) «Введение в геометрию» , утверждение, с. 211, стр. 219–20 корректуры, 2-е издание, Уайли, Нью-Йорк.
Дж. С. Клайн и Д. Веллеман (1995) «Еще одно доказательство теоремы Рауса» (1995) Crux Mathematicorum 21: 37–40
Иван Нивен (1976) «Новое доказательство теоремы Рауса», Mathematics Magazine 49 (1): 25–7, дои : 10.2307/2689876
Джей Варендорф, Теорема Рауса , Демонстрационный проект Вольфрама .
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Рауса» . Математический мир .
Теорема Рауса по перекрестным произведениям на MathPages
Аюб, Аюб Б. (2011/2012) «Возвращение к теореме Рауса», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.