Гиперплоскость

Две пересекающиеся плоскости. Двумерные плоскости — это гиперплоскости в трехмерном пространстве.

В геометрии гиперплоскость — это обобщение двумерной плоскости в трехмерном пространстве на математические пространства произвольной размерности . Как и плоскость в пространстве, гиперплоскость — это плоская гиперповерхность , подпространство, размерность которого на единицу меньше размера окружающего пространства . Двумя низкомерными примерами гиперплоскостей являются одномерные линии на плоскости и нульмерные точки на прямой.

Чаще всего окружающее пространство представляет собой n -мерное евклидово пространство , и в этом случае гиперплоскости представляют собой ( n -1) -мерные плоскости , каждая из которых разделяет пространство на два полупространства . Отражение движение через гиперплоскость — это своего рода ( геометрическое преобразование, сохраняющее расстояние между точками), и группа всех движений порождается отражениями. Выпуклый многогранник — это пересечение полупространств.

В неевклидовой геометрии окружающее пространство может быть n -мерной сферой или гиперболическим пространством или, в более общем смысле, псевдоримановой пространственной формой , а гиперплоскости — это гиперповерхности, состоящие из всех геодезических, проходящих через точку, перпендикулярную определенной нормали. геодезический.

В других типах окружающих пространств некоторые свойства евклидова пространства больше не актуальны. Например, в аффинном пространстве нет понятия расстояния, поэтому нет отражений или движений. В неориентируемом пространстве, таком как эллиптическое пространство или проективное пространство , нет понятия полуплоскостей. понятие размерности подпространства . В наибольшей общности понятие гиперплоскости имеет смысл в любом математическом пространстве, в котором определено

Разница в размерности между подпространством и окружающим его пространством известна как его коразмерность . Гиперплоскость имеет коразмерность 1 .

Техническое описание

В геометрии гиперплоскость V n - мерного пространства — это подпространство размерности n - 1 или, что то же самое, 1 в V. коразмерности Пространство V может быть евклидовым пространством или, в более общем плане, аффинным пространством , векторным пространством или проективным пространством , и понятие гиперплоскости меняется соответственно, поскольку определение подпространства различается в этих условиях; однако во всех случаях любая гиперплоскость может быть задана в координатах как решение одного (из-за ограничения «коразмерности 1») алгебраического уравнения степени 1.

Если V — векторное пространство, различают «векторные гиперплоскости» (которые являются линейными подпространствами и, следовательно, должны проходить через начало координат) и «аффинные гиперплоскости» (которые не обязательно проходят через начало координат; их можно получить путем перевода вектора гиперплоскость). Гиперплоскость в евклидовом пространстве разделяет это пространство на два полупространства и определяет отражение , которое фиксирует гиперплоскость и меняет местами эти два полупространства.

Специальные типы гиперплоскостей

Определены несколько конкретных типов гиперплоскостей со свойствами, которые хорошо подходят для конкретных целей. Некоторые из этих специализаций описаны здесь.

Аффинные гиперплоскости

Аффинная гиперплоскость — это аффинное подпространство коразмерности 1 в аффинном пространстве .В декартовых координатах такая гиперплоскость может быть описана одним линейным уравнением следующего вида (где хотя бы одно из $a_{i}$s не равно нулю и $b$ — произвольная константа):

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b.\$

когда координаты являются действительными числами, это аффинное пространство разделяет пространство на два полупространства, которые являются связными компонентами дополнения В случае реального аффинного пространства, другими словами , гиперплоскости и задаются неравенствами

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b\$

и

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b.\$

Например, точка — это гиперплоскость в одномерном пространстве, линия — это гиперплоскость в двухмерном пространстве, а плоскость — это гиперплоскость в трехмерном пространстве. Линия в трехмерном пространстве не является гиперплоскостью и не разделяет пространство на две части (дополнение такой линии связно).

Любая гиперплоскость евклидова пространства имеет ровно два единичных вектора нормали: $\pm {\hat {n}}$. В частности, если мы рассмотрим $\mathbb {R} ^{n+1}$ снабженный обычным внутренним произведением ( скалярным произведением ), тогда можно определить аффинное подпространство с нормальным вектором ${\hat {n}}$ и перевод оригинала ${\tilde {b}}\in \mathbb {R} ^{n+1}$ как совокупность всех $x\in \mathbb {R} ^{n+1}$ такой, что ${\hat {n}}\cdot (x-{\tilde {b}})=0$.

Аффинные гиперплоскости используются для определения границ решений во многих алгоритмах машинного обучения линейной комбинации (наклонные) , таких как деревья решений и перцептроны .

Векторные гиперплоскости

В векторном пространстве векторная гиперплоскость представляет собой подпространство коразмерности 1, возможно только сдвинутое от начала координат вектором, и в этом случае оно называется плоскостью . Такая гиперплоскость является решением одного линейного уравнения .

Проективные гиперплоскости

Проективные гиперплоскости используются в проективной геометрии . Проективное подпространство — это набор точек, обладающий свойством, что для любых двух точек набора все точки на линии, определяемой этими двумя точками, содержатся в наборе. Проективную геометрию можно рассматривать как аффинную геометрию с добавленными точками схода (точками на бесконечности). Аффинная гиперплоскость вместе с соответствующими точками на бесконечности образует проективную гиперплоскость. Одним из особых случаев проективной гиперплоскости является бесконечная или идеальная гиперплоскость , которая определяется набором всех точек, находящихся на бесконечности.

В проективном пространстве гиперплоскость не делит пространство на две части; скорее, для разделения точек и разделения пространства требуются две гиперплоскости. Причина этого в том, что пространство по сути «заворачивается», так что обе стороны одинокой гиперплоскости соединены друг с другом.

Приложения

В выпуклой геометрии два непересекающихся выпуклых множества в n-мерном евклидовом пространстве разделены гиперплоскостью, этот результат называется теоремой разделения гиперплоскостей .

В машинном обучении гиперплоскости являются ключевым инструментом для создания машин опорных векторов для таких задач, как компьютерное зрение и обработка естественного языка .

Точка данных и ее прогнозируемое значение с помощью линейной модели представляют собой гиперплоскость.

Двугранные углы

Двугранный угол между двумя непараллельными гиперплоскостями евклидова пространства — это угол между соответствующими векторами нормалей . Продуктом преобразований в двух гиперплоскостях является вращение , осью которого является подпространство коразмерности 2, полученное пересечением гиперплоскостей, и угол которого в два раза больше угла между гиперплоскостями.

Поддержка гиперплоскостей

Гиперплоскость H называется «опорной» гиперплоскостью многогранника P, если P содержится в одном из двух замкнутых полупространств, ограниченных H, и $H\cap P\neq \varnothing$. Пересечение P и H определяется как «грань» многогранника. Теория многогранников и размерность граней анализируются путем рассмотрения этих пересечений с участием гиперплоскостей.

См. также

• Гиперповерхность
• Граница решения
• Теорема о сэндвиче с ветчиной
• Расположение гиперплоскостей
• Поддержка теоремы о гиперплоскости

Ссылки

• Бинмор, Кен Г. (1980). Основы топологического анализа: простое введение: книга 2 «Топологические идеи» . Издательство Кембриджского университета. п. 13. ISBN  0-521-29930-6 .
• Чарльз В. Кертис (1968) Линейная алгебра , стр. 62, Allyn & Bacon , Бостон.
• Генрих Гуггенхаймер (1977) Применимая геометрия , стр. 7, Кригер, Хантингтон ISBN   0-88275-368-1 .
• Виктор В. Прасолов и В. М. Тихомиров (1997, 2001) Геометрия , страница 22, том 200 в переводах математических монографий , Американское математическое общество , Провиденс ISBN   0-8218-2038-9 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперплан» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Флэт» . Математический мир .