Опорная гиперплоскость

В геометрии — опорная гиперплоскость множества . $S$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ — это гиперплоскость , которая обладает обоими следующими двумя свойствами: ^[1]

$S$ целиком содержится в одном из двух замкнутых полупространств, ограниченных гиперплоскостью,
$S$ имеет хотя бы одну граничную точку на гиперплоскости.

Здесь замкнутое полупространство — это полупространство, включающее точки внутри гиперплоскости.

Поддержка теоремы о гиперплоскости

Эта теорема утверждает, что если $S$ является выпуклым множеством в топологическом векторном пространстве $X=\mathbb {R} ^{n},$ и $x_{0}$ точка на границе это $S,$ то существует опорная гиперплоскость, содержащая $x_{0}.$ Если $x^{*}\in X^{*}\backslash \{0\}$ ( $X^{*}$ это двойственное пространство $X$ , $x^{*}$ — ненулевой линейный функционал) такой, что $x^{*}\left(x_{0}\right)\geq x^{*}(x)$ для всех $x\in S$ , затем

H=\{x\in X:x^{*}(x)=x^{*}\left(x_{0}\right)\}

определяет опорную гиперплоскость. ^[2]

И наоборот, если $S$ — замкнутое множество с непустой внутренностью такое, что каждая точка на границе имеет опорную гиперплоскость, тогда $S$ является выпуклым множеством и является пересечением всех поддерживающих его замкнутых полупространств. ^[2]

Гиперплоскость в теореме может быть не единственной, как видно на втором рисунке справа. Если замкнутое множество $S$ не выпукла, то утверждение теоремы неверно во всех точках границы $S,$ как показано на третьем рисунке справа.

Опорные гиперплоскости выпуклых множеств также называются так-плоскостями или так-гиперплоскостями . ^[3]

Направление вперед можно доказать как частный случай теоремы о разделяющей гиперплоскости ( доказательство см. на странице ). Для обратного направления

Доказательство

Определять $T$ быть пересечением всех опорных замкнутых полупространств. Четко $S\subset T$ . Теперь позвольте $y\not \in S$ , показывать $y\not \in T$ .

Позволять $x\in \mathrm {int} (S)$ и рассмотрим отрезок $[x,y]$ . Позволять $t$ быть наибольшим числом таким, что $[x,t(y-x)+x]$ содержится в $S$ . Затем $t\in (0,1)$ .

Позволять $b=t(y-x)+x$ , затем $b\in \partial S$ . Нарисуйте опорную гиперплоскость поперек $b$ . Представим его в виде ненулевого линейного функционала $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ такой, что $\forall a\in S,f(a)\geq f(b)$ . Тогда с тех пор $x\in \mathrm {int} (S)$ , у нас есть $f(x)>f(b)$ . Таким образом, ${\frac {f(y)-f(b)}{1-t}}={\frac {f(b)-f(x)}{t}}$ , у нас есть $f(y)<f(b)$ , так $y\not \in T$ .

См. также

Функция поддержки
Опорная линия (опорные гиперплоскости в $\mathbb {R} ^{2}$ )

Примечания

^ Люенбергер, Дэвид Г. (1969). Оптимизация методами векторного пространства . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 133. ИСБН 978-0-471-18117-0 .
^ Jump up to: ^а ^б Бойд, Стивен П.; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (pdf) . Издательство Кембриджского университета. стр. 50–51. ISBN 978-0-521-83378-3 . Проверено 15 октября 2011 г.
^ Касселс, Джон В.С. (1997), Введение в геометрию чисел , Springer Classics in Mathematics (перепечатка 1959 [3] и 1971 г., изд. Springer-Verlag), Springer-Verlag.

Ссылки и дополнительная литература

Осташевский, Адам (1990). Передовые математические методы . Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 129 . ISBN 0-521-28964-5 .

Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1996). Вариационное исчисление . Берлин; Нью-Йорк: Спрингер. п. 57. ИСБН 3-540-50625-Х .

Го, CJ; Ян, XQ (2002). Двойственность в оптимизации и вариационных неравенствах . Лондон; Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис. п. 13. ISBN 0-415-27479-6 .

Солтан, В. (2021). Носители и свойства отделимости выпуклых множеств конечной размерности . Экстракт математики. Том. 36, нет. 2, 241–278.

[1] Люенбергер, Дэвид Г. (1969). Оптимизация методами векторного пространства . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 133. ИСБН 978-0-471-18117-0 .

[Boyd-2] Jump up to: ^а ^б Бойд, Стивен П.; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (pdf) . Издательство Кембриджского университета. стр. 50–51. ISBN 978-0-521-83378-3 . Проверено 15 октября 2011 г.

[3] Касселс, Джон В.С. (1997), Введение в геометрию чисел , Springer Classics in Mathematics (перепечатка 1959 [3] и 1971 г., изд. Springer-Verlag), Springer-Verlag.

[1]

[2]

[3]