Космическая форма

В математике пространственная форма это полное риманово многообразие постоянной секционной — кривизны K. M Тремя наиболее фундаментальными примерами являются евклидово n -пространство , n -мерная сфера и гиперболическое пространство , хотя форма пространства не обязательно должна быть односвязной .

Сведение к обобщенной кристаллографии

Теорема Киллинга – Хопфа римановой геометрии утверждает, что универсальное накрытие формы n -мерной пространственной $M^{n}$ с кривизной $K=-1$ изометричен $H^{n}$, гиперболическое пространство , с кривизной $K=0$ изометричен $R^{n}$, евклидово n -пространство и с кривизной $K=+1$ изометричен $S^{n}$, n-мерная сфера точек на расстоянии 1 от начала координат в $R^{n+1}$.

Путем масштабирования римановой метрики на $H^{n}$, мы можем создать пространство $M_{K}$ постоянной кривизны $K$ для любого $K<0$. Аналогично, масштабируя риманову метрику на $S^{n}$, мы можем создать пространство $M_{K}$ постоянной кривизны $K$ для любого $K>0$. Таким образом, универсальная оболочка пространства образует $M$ с постоянной кривизной $K$ изометричен $M_{K}$.

Это сводит задачу изучения пространственных форм к изучению дискретных групп изометрий . $\Gamma$ из $M_{K}$ которые действуют правильно прерывисто . Обратите внимание, что группа основная $M$, $\pi _{1}(M)$, будет изоморфен $\Gamma$. Группы, действующие таким образом на $R^{n}$ называются кристаллографическими группами . Группы, действующие таким образом на $H^{2}$ и $H^{3}$ называются фуксовыми группами и клейновыми группами соответственно.

См. также

• Гипотеза Бореля

Ссылки

• Гольдберг, Сэмюэл И. (1998), Кривизна и гомология , Dover Publications , ISBN  978-0-486-40207-9
• Ли, Джон М. (1997), Римановы многообразия: введение в кривизну , Спрингер