Гипотеза Бореля

В математике , особенно в геометрической топологии , гипотеза Бореля (названная в честь Армана Бореля ) утверждает, что асферическое замкнутое многообразие определяется своей фундаментальной группой с точностью до гомеоморфизма . Это гипотеза жесткости , утверждающая, что слабое алгебраическое понятие эквивалентности (а именно, гомотопическая эквивалентность ) должно влечь за собой более сильное топологическое понятие (а именно, гомеоморфизм).

Точная формулировка гипотезы

Позволять $M$ и $N$ — замкнутые и асферические топологические многообразия , и пусть

f\colon M\to N

быть гомотопической эквивалентностью . Гипотеза Бореля утверждает, что карта $f$ гомотопен гомеоморфизму . Поскольку асферические многообразия с изоморфными фундаментальными группами гомотопически эквивалентны, из гипотезы Бореля следует, что асферические замкнутые многообразия определяются с точностью до гомеоморфизма своими фундаментальными группами.

Эта гипотеза неверна, если топологические многообразия и гомеоморфизмы заменяются гладкими многообразиями и диффеоморфизмами ; контрпримеры можно построить, взяв связную сумму с экзотической сферой .

Происхождение гипотезы

В письме Жан-Пьеру Серру в мае 1953 года ^[1] Арманд Борель поставил вопрос о гомеоморфности двух асферических многообразий с изоморфными фундаментальными группами. Положительный ответ на вопрос « Любая ли гомотопическая эквивалентность замкнутых асферических многообразий гомотопна гомеоморфизму? 1986 года называется «так называемой гипотезой Бореля» » в статье Джонатана Розенберга . ^[2]

Мотивация предположения

Основной вопрос заключается в следующем: если два замкнутых многообразия гомотопически эквивалентны, гомеоморфны ли они? В общем случае это неверно: существуют гомотопически эквивалентные линзовые пространства , которые не являются гомеоморфными.

Тем не менее существуют классы многообразий, для которых гомотопические эквивалентности между ними гомотопируются гомеоморфизмам. Например, теорема о жесткости Мостоу утверждает, что гомотопическая эквивалентность между замкнутыми гиперболическими многообразиями гомотопна изометрии , в частности, гомеоморфизму. Гипотеза Бореля представляет собой топологическую переформулировку жесткости Мостоу, ослабляющую гипотезу перехода от гиперболических многообразий к асферическим многообразиям и аналогичным образом ослабляющую вывод от изометрии к гомеоморфизму.

Связь с другими гипотезами

Из гипотезы Бореля следует гипотеза Новикова для частного случая, когда эталонное отображение $f\colon M\to BG$ является гомотопической эквивалентностью.
Гипотеза Пуанкаре утверждает, что гомотопия замкнутого многообразия, эквивалентная $S^{3}$ , 3-сфера , гомеоморфна $S^{3}$ . Это не частный случай гипотезы Бореля, поскольку $S^{3}$ не является асферическим. Тем не менее, гипотеза Бореля для 3-тора $T^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}$ следует гипотезу Пуанкаре для $S^{3}$ .

Ссылки

^ Отрывок из письма Армана Бореля Жан -Пьеру Серру (2 мая 1953 г.). «Рождение гипотезы Бореля» (PDF) .
^ Розенберг, Джонатан (1986). "С ^∗-алгебры, положительная скалярная кривизна и гипотеза Новикова. III» . Топология . 25 (3): 319–336. doi : 10.1016/0040-9383(86)90047-9 . MR 0842428 .

Ф. Томас Фаррелл , Гипотеза Бореля. Топология многообразий большой размерности, № 1, 2 (Триест, 2001), 225–298, ICTP Lect. Примечания, 9, Абдус Салам Междунар. Цент. Теория. Phys., Триест, 2002.
Маттиас Крек и Вольфганг Люк , Гипотеза Новикова. Геометрия и алгебра. Семинары в Обервольфахе, 33. Birkhäuser Verlag, Базель, 2005.

[1] Отрывок из письма Армана Бореля Жан -Пьеру Серру (2 мая 1953 г.). «Рождение гипотезы Бореля» (PDF) .

[2] Розенберг, Джонатан (1986). "С ^∗-алгебры, положительная скалярная кривизна и гипотеза Новикова. III» . Топология . 25 (3): 319–336. doi : 10.1016/0040-9383(86)90047-9 . MR 0842428 .

[1]

[2]