Расстояние

Расстояние — это числовое, а иногда и качественное измерение того, насколько далеко друг от друга находятся объекты или точки. В физике или в повседневном использовании расстояние может относиться к физической длине или оценке, основанной на других критериях (например, «на два округа больше»). Поскольку пространственное познание является богатым источником концептуальных метафор в человеческом мышлении, ^[1] этот термин также часто используется метафорически для обозначения измерения величины различия между двумя похожими объектами (например, статистическое расстояние между распределениями вероятностей или расстояние редактирования между строками текста ) или степень разделения (как показано на расстоянии между людьми в социальная сеть ). Большинство таких понятий расстояния, как физического, так и метафорического, формализуются в математике с использованием понятия метрического пространства .

В науках социальных расстояние может относиться к качественному измерению разделения, например, к социальной дистанции или психологической дистанции .

Расстояния в физике и геометрии [ править ]

Расстояние между физическими местоположениями может определяться по-разному в разных контекстах.

Прямолинейное евклидово расстояние или

Расстояние между двумя точками физического пространства — это длина между прямой линии ними, которая является кратчайшим возможным путем. Это обычное значение расстояния в классической физике , включая механику Ньютона .

Расстояние по прямой математически формализуется как евклидово расстояние в двух- и трехмерном пространстве . В евклидовой геометрии расстояние между двумя точками $A$ и $B$ часто обозначается $|AB|$ . В координатной геометрии евклидово расстояние вычисляется с помощью теоремы Пифагора . Расстояние между точками $(x 1, y 1)$ и $(x 2, y 2)$ на плоскости определяется выражением: ^[2]^[3]

d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.

Аналогично, учитывая точки ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) в трехмерном пространстве, расстояние между ними равно: ^[2]

d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.

Эта идея распространяется на многомерные евклидовы пространства .

Измерение [ править ]

Существует множество способов измерения расстояний по прямой. Например, это можно сделать напрямую с помощью линейки или косвенно с помощью радара (для больших расстояний) или интерферометрии (для очень коротких расстояний). Космическая лестница расстояний — это набор способов измерения чрезвычайно больших расстояний.

Расстояние кратчайшего пути на изогнутой поверхности [ править ]

Расстояние по прямой между двумя точками на поверхности Земли не очень полезно для большинства целей, поскольку мы не можем проложить туннель прямо через мантию Земли . Вместо этого обычно измеряют кратчайший путь вдоль поверхности Земли . по прямой линии Математически это аппроксимируется расстоянием по большому кругу на сфере.

В более общем смысле, кратчайший путь между двумя точками вдоль искривленной поверхности известен как геодезическая . Длина дуги геодезических позволяет измерить расстояние с точки зрения муравья или другого нелетающего существа, живущего на этой поверхности.

Эффекты теории относительности

В теории относительности из-за таких явлений, как сокращение длины и относительность одновременности , расстояния между объектами зависят от выбора инерциальной системы отсчета . В галактическом и более крупных масштабах на измерение расстояний также влияет расширение Вселенной . ряд мер расстояний используется в космологии На практике для количественной оценки таких расстояний .

пространственные расстояния Другие

Необычные определения расстояния могут быть полезны для моделирования определенных физических ситуаций, но также используются в теоретической математике:

На практике часто интересует расстояние перемещения между двумя точками вдоль дорог, а не прямой путь. В плане сетки расстояние перемещения между углами улиц определяется Манхэттенским расстоянием : количеством кварталов с востока на запад и с севера на юг, которые нужно пересечь, чтобы попасть между этими двумя точками.
Расстояние до шахматной доски, формализованное как расстояние Чебышева , — это минимальное количество ходов, которое король должен сделать на шахматной доске , чтобы переместиться между двумя клетками.

Метафорические расстояния [ править ]

Многие абстрактные понятия расстояния, используемые в математике, науке и технике, представляют собой степень различия или разделения между похожими объектами. На этой странице приведено несколько примеров.

Статистические расстояния [ править ]

В статистике и информационной геометрии статистические расстояния измеряют степень различия между двумя распределениями вероятностей . Существует много видов статистических расстояний, обычно формализованных как дивергенции ; они позволяют понимать набор вероятностных распределений как геометрический объект, называемый статистическим многообразием . Самым элементарным является квадрат евклидова расстояния , который минимизируется методом наименьших квадратов ; это самое основное расхождение Брегмана . Наиболее важным в теории информации является относительная энтропия ( дивергенция Кульбака–Лейблера ), которая позволяет аналогично геометрически исследовать оценку максимального правдоподобия ; это пример как f -дивергенции , так и дивергенции Брегмана (и фактически единственный пример, который является обоими). Статистические многообразия, соответствующие расходимости Брегмана, являются плоскими многообразиями в соответствующей геометрии, что позволяет использовать аналог теоремы Пифагора (которая справедлива для квадрата евклидова расстояния) для линейных обратных задач. в выводе по теории оптимизации .

Другие важные статистические расстояния включают расстояние Махаланобиса и энергетическое расстояние .

Редактировать расстояния [ редактировать ]

В информатике расстояние редактирования или строковая метрика между двумя строками измеряет, насколько они различаются. Например, слова «собака» и «точка», различающиеся всего на одну букву, ближе, чем «собака» и «кот», у которых нет общих букв. Эта идея используется в средствах проверки правописания и в теории кодирования и математически формализуется различными способами, включая расстояние Левенштейна , расстояние Хэмминга , расстояние Ли и расстояние Яро-Винклера .

Расстояние в теории графов [ править ]

В графе расстояние . между двумя вершинами измеряется длиной кратчайшего ребра между ними Например, если граф представляет собой социальную сеть , то идею шести степеней разделения можно математически интерпретировать как утверждение, что расстояние между любыми двумя вершинами не превышает шести. Точно так же число Эрдеша и число Бэкона (количество отношений сотрудничества, удаленных от человека от выдающегося математика Пола Эрдеша и актера Кевина Бэкона соответственно) — это расстояния на графиках, ребра которых представляют собой математическое или художественное сотрудничество.

В социальных науках [ править ]

В психологии , географии и социальных науках расстояние часто рассматривается не как объективное числовое измерение, а как качественное описание субъективного опыта. ^[4] Например, психологическая дистанция — это «различные способы, которыми объект может быть удален от личности» по таким измерениям, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетика». ^[5] В социологии по таким параметрам , социальная дистанция описывает разделение между отдельными людьми или социальными группами в обществе как социальный класс , раса / этническая принадлежность , пол или сексуальность .

Математическая формализация [ править ]

Большинство понятий расстояния между двумя точками или объектами, описанными выше, являются примерами математической идеи метрики . Метрика , или функция расстояния — это функция $d$ которая преобразует пары точек или объектов в действительные числа и удовлетворяет следующим правилам:

Расстояние между объектом и самим собой всегда равно нулю.
Расстояние между отдельными объектами всегда положительно.
Расстояние симметрично : расстояние от $x$ до $y$ всегда такое же, как расстояние от $y$ до $x$ .
Расстояние удовлетворяет неравенству треугольника : если $x$ , $y$ и $z$ — три объекта, то $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$ Неофициально это состояние можно описать как «промежуточные остановки не могут ускорить вас».

В виде исключения многие из расхождений, используемых в статистике, не являются показателями.

Расстояние между сетами [ править ]

Существует несколько способов измерения физического расстояния между объектами, состоящими более чем из одной точки :

Можно измерить расстояние между репрезентативными точками, такими как центр масс ; это используется для астрономических расстояний, таких как расстояние Земля-Луна .
Можно измерить расстояние между ближайшими точками двух объектов; в этом смысле высота самолета или космического корабля — это его расстояние от Земли. То же самое понятие расстояния используется в евклидовой геометрии для определения расстояния от точки до линии , расстояния от точки до плоскости или, в более общем смысле, перпендикулярного расстояния между аффинными подпространствами .

В более общем смысле эту идею можно использовать для определения расстояния между двумя подмножествами метрического пространства. Расстояние между множествами

A

и

B

является нижней границей расстояний между любыми двумя соответствующими точками:

d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).

Это не определяет метрику на множестве таких подмножеств: расстояние между перекрывающимися множествами равно нулю, и это расстояние не удовлетворяет неравенству треугольника для любого метрического пространства с двумя или более точками (рассмотрим тройку множеств, состоящую из двух различных одиночек и их союз).

Расстояние Хаусдорфа между двумя подмножествами метрического пространства можно рассматривать как меру того, насколько они далеки от идеального перекрытия. Точнее, расстояние Хаусдорфа между $A$ и $B$ — это либо расстояние от $A$ до самой дальней точки $B$ , либо расстояние от $B$ до самой дальней точки $A$ , в зависимости от того, что больше. (Здесь «самая дальняя точка» должна интерпретироваться как верхняя граница.) Расстояние Хаусдорфа определяет метрику на множестве компактных подмножеств метрического пространства.

Связанные идеи [ править ]

Слово «расстояние» также используется для обозначения связанных понятий, которые не охватываются описанием «числового измерения расстояния между точками или объектами».

Пройденное расстояние [ править ]

Расстояние , пройденное объектом, — это длина определенного пути, пройденного между двумя точками. ^[6] например, расстояние, пройденное при навигации по лабиринту . Это может быть даже замкнутое расстояние по замкнутой кривой , которая начинается и заканчивается в одной и той же точке, например, мяч, брошенный вертикально вверх, или Земля, когда она завершает один оборот . Математически это формализовано как длина дуги кривой.

Пройденное расстояние также можно обозначить знаком : расстояние «вперед» является положительным, расстояние «назад» — отрицательным.

Круговое расстояние — это расстояние, пройденное точкой на окружности колеса , которое может быть полезно учитывать при проектировании транспортных средств или механических передач (см. также одометрию ). Окружность колеса равна $2π \times радиус$ ; если радиус равен 1, каждый оборот колеса заставляет транспортное средство проезжать $2π$ радиан.

Смещение и направленное расстояние [ править ]

Расстояние по пути по сравнению со смещением. Евклидово расстояние — это длина вектора смещения.

Смещение в классической физике измеряет изменение положения объекта за определенный промежуток времени. В то время как расстояние является скалярной величиной или величиной , смещение представляет собой векторную величину, имеющую как величину, так и направление . В общем, вектор, измеряющий разницу между двумя местоположениями ( относительное положение ), иногда называют направленным расстоянием . ^[7] Например, прямое расстояние от Главной библиотеки Нью-Йорка флагштока до флагштока Статуи Свободы составляет:

Отправная точка: флагшток библиотеки.
Конечная точка: флагшток статуи.
Направление: -38°
Расстояние: 8,72 км

Расстояние со знаком [ править ]

В математике и ее приложениях функция расстояния со знаком (или функция ориентированного расстояния) представляет собой ортогональное расстояние данной точки x до границы множества Ω в метрическом пространстве , причем знак определяется тем, находится ли x внутри или нет . Ом. Функция . имеет положительные значения в точках x внутри Ω, ее значение уменьшается по мере приближения x к границе Ω, где функция расстояния со знаком равна нулю, и принимает отрицательные значения вне Ω ^[8] Однако вместо этого иногда используется альтернативное соглашение (т. е. отрицательное внутри Ω и положительное снаружи). ^[9]

См. также [ править ]

Поддержка библиотеки [ править ]

Python (язык программирования)
- SciPy -Вычисления расстояний ( scipy.spatial.distance)
Юлия (язык программирования)
- JuliaStatistic Distance — пакет Julia для оценки расстояний (метрик) между векторами.

Ссылки [ править ]

^ Шналл, Симона (2014). «Есть ли базовые метафоры?». Сила метафоры: изучение ее влияния на социальную жизнь . Американская психологическая ассоциация. стр. 225–247. дои : 10.1037/14278-010 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Расстояние» . mathworld.wolfram.com . Проверено 1 сентября 2020 г.
^ «Расстояние между двумя точками» . www.mathsisfun.com . Проверено 1 сентября 2020 г.
^ «СОЦИАЛЬНЫЕ ДИСТАНЦИИ» . www.hawaii.edu . Проверено 20 июля 2020 г.
^ Троп Ю., Либерман Н. (апрель 2010 г.). «Конструктивно-уровневая теория психологической дистанции» . Психологический обзор . 117 (2): 440–63. дои : 10.1037/a0018963 . ПМК 3152826 . ПМИД 20438233 .
^ «Что такое водоизмещение? (статья)» . Ханская академия . Проверено 20 июля 2020 г.
^ «Направленное расстояние» (PDF) . Центр информационных и телекоммуникационных технологий . Университет Канзаса. Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2016 года . Проверено 18 сентября 2018 г.
^ Чан, Т.; Чжу, В. (2005). Предварительная сегментация формы на основе набора уровней . Конференция IEEE Computer Society по компьютерному зрению и распознаванию образов. дои : 10.1109/CVPR.2005.212 .
^ Маллади, Р.; Сетиан, Дж.А.; Вемури, Британская Колумбия (1995). «Моделирование формы с распространением фронта: подход с использованием уровня». Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 17 (2): 158–175. CiteSeerX 10.1.1.33.2443 . дои : 10.1109/34.368173 . S2CID 9505101 .

Библиография [ править ]

Деза Э , Деза М (2006). Словарь расстояний . Эльзевир. ISBN 0-444-52087-2 .

[1] Шналл, Симона (2014). «Есть ли базовые метафоры?». Сила метафоры: изучение ее влияния на социальную жизнь . Американская психологическая ассоциация. стр. 225–247. дои : 10.1037/14278-010 .

[:0-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Расстояние» . mathworld.wolfram.com . Проверено 1 сентября 2020 г.

[3] «Расстояние между двумя точками» . www.mathsisfun.com . Проверено 1 сентября 2020 г.

[4] «СОЦИАЛЬНЫЕ ДИСТАНЦИИ» . www.hawaii.edu . Проверено 20 июля 2020 г.

[psych-5] Троп Ю., Либерман Н. (апрель 2010 г.). «Конструктивно-уровневая теория психологической дистанции» . Психологический обзор . 117 (2): 440–63. дои : 10.1037/a0018963 . ПМК 3152826 . ПМИД 20438233 .

[6] «Что такое водоизмещение? (статья)» . Ханская академия . Проверено 20 июля 2020 г.

[ittcKU-7] «Направленное расстояние» (PDF) . Центр информационных и телекоммуникационных технологий . Университет Канзаса. Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2016 года . Проверено 18 сентября 2018 г.

[8] Чан, Т.; Чжу, В. (2005). Предварительная сегментация формы на основе набора уровней . Конференция IEEE Computer Society по компьютерному зрению и распознаванию образов. дои : 10.1109/CVPR.2005.212 .

[9] Маллади, Р.; Сетиан, Дж.А.; Вемури, Британская Колумбия (1995). «Моделирование формы с распространением фронта: подход с использованием уровня». Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 17 (2): 158–175. CiteSeerX 10.1.1.33.2443 . дои : 10.1109/34.368173 . S2CID 9505101 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]