Евклидова плоскость

«Плоскость (геометрия)» перенаправляется сюда. Для обобщений см. Плоскость (математика) . Чтобы узнать о его приложениях, см. Плоскость (физика) .

Двумерная декартова система координат

В математике евклидова плоскость — это евклидово пространство размерности два , обозначаемое ${\textbf {E}}^{2}$ или $\mathbb {E} ^{2}$. Это геометрическое пространство , в котором два действительных числа требуются для определения положения каждой точки . Это аффинное пространство , которое включает в себя, в частности, концепцию параллельных линий . Он также имеет метрические свойства, обусловленные расстоянием , что позволяет определять круги и измерять углы .

Евклидова плоскость с выбранной декартовой системой координат называется декартовой плоскостью .Набор $\mathbb {R} ^{2}$ упорядоченных пар действительных чисел ( действительная координатная плоскость ), снабженная скалярным произведением , часто называют евклидовой плоскостью , поскольку каждая евклидова плоскость изоморфна ей.

История

Смотрите также: Евклидова геометрия § История

Книги с I по IV и VI «Начал» Евклида посвящены двумерной геометрии, развивая такие понятия, как подобие форм, теорема Пифагора (предложение 47), равенство углов и площадей , параллельность, сумма углов в треугольнике и три случая, когда треугольники «равны» (имеют одинаковую площадь), среди многих других тем.

Позже плоскость была описана в так называемой декартовой системе координат , системе координат определяет каждую точку , которая однозначно на плоскости парой числовых координат , которые представляют собой знаковые расстояния от точки до двух фиксированных перпендикулярных направленных линий, измеренные в одна и та же единица длины . Каждая опорная линия называется осью координат или просто осью системы, а точка, где они встречаются, является ее началом , обычно в упорядоченной паре (0, 0). Координаты также можно определить как положения перпендикулярных проекций точки на две оси, выраженные как расстояния со знаком от начала координат.

Идея этой системы была развита в 1637 году в трудах Декарта и независимо Пьера Ферма , хотя Ферма также работал в трёх измерениях, и не опубликовал своё открытие. Оба автора использовали в своих исследованиях одну ось ( абсцисс ), при этом длины ординат измерялись вдоль линий, не обязательно перпендикулярных этой оси. Идея использования пары фиксированных осей была введена позже, после того как «Геометрия » Декарта была переведена на латынь в 1649 году Франсом ван Скутеном и его учениками. Эти комментаторы представили несколько концепций, пытаясь прояснить идеи, содержащиеся в работах Декарта.

Позже плоскость стали мыслить как поле , где любые две точки можно было перемножить и, кроме 0, разделить. Это было известно как сложный самолет . Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана, поскольку она используется в диаграммах Аргана. Они названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), хотя впервые были описаны датско-норвежским землемером и математиком Каспаром Весселем (1745–1818). Аргана часто используются для построения положений полюсов и нулей функции на Диаграммы комплексной плоскости.

В геометрии

Смотрите также: Евклидова геометрия

Системы координат

Основные статьи: Прямоугольная система координат и Полярная система координат.

«Координаты плоскости» перенаправляется сюда. Не путать с координатной плоскостью .

В математике аналитическая геометрия (также называемая декартовой геометрией) описывает каждую точку двумерного пространства с помощью двух координат. две перпендикулярные оси координат Даны , пересекающие друг друга в начале координат . Обычно они обозначаются x и y . Относительно этих осей положение любой точки в двумерном пространстве задается упорядоченной парой действительных чисел, каждое число дает расстояние этой точки от этой точки от начала начала координат, измеренное вдоль данной оси, которое равно расстоянию координат, измеренному вдоль данной оси. точку от другой оси.

Другая широко используемая система координат — полярная система координат , которая определяет точку с точки зрения ее расстояния от начала координат и ее угла относительно правого опорного луча.

• 
  Декартова система координат
• 
  Полярная система координат

Встраивание в трёхмерное пространство

Этот раздел представляет собой отрывок из евклидовых плоскостей в трехмерном пространстве . [ редактировать ]

Плоское уравнение в нормальной форме

В евклидовой геометрии плоскость — это плоская двумерная , поверхность простирающаяся до бесконечности. Евклидовы плоскости часто возникают как подпространства трехмерного пространства. $\mathbb {R} ^{3}$.Прототипическим примером является одна из стен комнаты, бесконечно протяженная и предполагаемая бесконечно тонкая.

Хотя пара действительных чисел $\mathbb {R} ^{2}$ достаточно для описания точек на плоскости, взаимосвязь с точками вне плоскости требует особого рассмотрения для их встраивания в окружающее пространство $\mathbb {R} ^{3}$.

Многогранники

Основная статья: Полигон

В двух измерениях существует бесконечно много многогранников: многоугольников. Первые несколько обычных показаны ниже:

Выпуклый

Символ Шлефли $\{n\}$ представляет собой правильный n- угольник .

Имя	Треугольник ( 2-симплекс )	Квадрат ( 2-ортоплекс ) ( 2-куб )	Пентагон	Шестиугольник	Семиугольник	Октагон
Символ Шлефли	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Изображение
Имя	Нонагон	Декагон	Хендекагон	Додекагон	Тридекагон	Тетрадекагон
Шлефли	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Изображение
Имя	Пятиугольник	Шестиугольник	Гептадекагон	Октадекагон	Эннеадекагон	Икосагон	... н-гон
Шлефли	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ н }
Изображение

Вырожденный (сферический)

Правильный моногон (или шестиугольник) {1} и правильный двуугольник {2} можно считать вырожденными правильными многоугольниками и существовать невырожденно в неевклидовых пространствах, таких как 2-сфера , 2-тор или правый круговой цилиндр .

Имя	моногон	Достаточно
Шлефли	{1}	{2}
Изображение

Невыпуклый

Существует бесконечно много невыпуклых правильных многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел {n/m}. Они называются звездчатыми многоугольниками и имеют то же расположение вершин, что и выпуклые правильные многоугольники.

В общем, для любого натурального числа n существуют n-точечные невыпуклые правильные многоугольные звезды с символами Шлефли { n / m } для всех m такие, что m < n /2 (строго говоря, { n / m } = { n / ( n − m )}), а m и n просты взаимно .

Имя	Пентаграмма	Гептаграммы		Октаграмма	Эннеаграммы		Декаграмма	... н-аграммы
Шлефли	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ н/м }
Изображение

Круг

Основная статья: Круг

Гиперсфера круг в двух измерениях представляет собой , иногда называемый 1-сферой ( S ¹ ), потому что это одномерное многообразие . В евклидовой плоскости он имеет длину 2π r , а площадь его внутренней части равна

$A=\pi r^{2}$

где $r$ это радиус.

Другие формы

Основная статья: Список двумерных геометрических фигур

Существует бесконечное множество других изогнутых форм в двух измерениях, в том числе конические сечения : эллипс , парабола и гипербола .

В линейной алгебре

Другой математический способ рассмотрения двумерного пространства можно найти в линейной алгебре , где идея независимости имеет решающее значение. Плоскость имеет два измерения, поскольку длина прямоугольника не зависит от его ширины. На техническом языке линейной алгебры плоскость является двумерной, поскольку каждую точку плоскости можно описать линейной комбинацией двух независимых векторов .

, угол и

Основная статья: Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов A = [ A ₁ , A ₂ ] и B = [ B ₁ , B ₂ ] определяется как:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}$

Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина — это его длина, а его направление — это направление, куда указывает стрелка. Величина вектора A обозначается $\|\mathbf {A} \|$. С этой точки зрения скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется выражением

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,$

где θ угол между A и B. —

Скалярное произведение вектора A само по себе равно

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},$

что дает

$\|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},$

формула евклидовой длины вектора.

В исчислении

Градиент

В прямоугольной системе координат градиент определяется выражением

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} \,.$

Линейные и двойные интегралы

Для некоторого скалярного поля f : U ⊆ R ² → R линейный интеграл по кусочно-гладкой кривой C ⊂ U определяется как

$\int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt,$

где r : [a, b] → C — произвольная биективная параметризация кривой C такая, что r ( a ) и r ( b ) задают концы C и $a<b$.

Для векторного поля F : U ⊆ R ² → Р ² линейный интеграл по кусочно-гладкой кривой C ⊂ U в направлении r определяется как

$\int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,$

где · — скалярное произведение , а r a, b] → C — биективная параметризация кривой C такая, что r ( a ) и r ( b ) дают конечные точки C. : [

Двойной интеграл относится к интегралу внутри области D в R. ² функции ​ $f(x,y),$ и обычно записывается так:

$\iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.$

Основная теорема

Основная статья: Основная теорема о линейных интегралах

Фундаментальная теорема о линейных интегралах гласит, что линейный интеграл через поле градиента можно вычислить, вычислив исходное скалярное поле в конечных точках кривой.

Позволять $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$. Затем

$\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ,$

где p , q — концы кривой γ.

Теорема Грина

Основная статья: Теорема Грина

Пусть C — положительно ориентированная , кусочно-гладкая , замкнутая кривая на плоскости , и пусть D — область, ограниченная C. простая Если L и M являются функциями ( x , y ), определенными в открытой области, содержащей D , и имеют там непрерывные частные производные , то

$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy$

где путь интегрирования по C идет против часовой стрелки .

В топологии

В топологии плоскость характеризуется как единственное сжимаемое 2-многообразие .

Его размерность характеризуется тем, что при удалении точки из плоскости остается пространство связное, а не просто связное .

В теории графов

В теории графов планарный граф — это граф , который можно вложить в плоскость, т. е. его можно нарисовать на плоскости таким образом, что его ребра пересекаются только в своих конечных точках. Другими словами, его можно нарисовать так, чтобы никакие ребра не пересекались. Такое изображение называется плоским графом или плоским вложением графа . Плоский граф можно определить как планарный граф с отображением каждого узла в точку на плоскости и каждого ребра в плоскую кривую на этой плоскости, так что крайними точками каждой кривой являются точки, отображаемые с ее конца. узлы, и все кривые не пересекаются, за исключением крайних точек.

См. также

• Геометрическое пространство
• Планиметрия

Ссылки

Цитируемые работы

• Бертон, Дэвид М. (2011), История математики / Введение (7-е изд.), McGraw Hill, ISBN  978-0-07-338315-6