Jump to content

Евклидовы плоскости в трехмерном пространстве

Плоское уравнение в нормальной форме

В евклидовой геометрии плоскость это плоская двумерная , поверхность простирающаяся до бесконечности. Евклидовы плоскости часто возникают как подпространства трехмерного пространства. .Прототипическим примером является одна из стен комнаты, бесконечно протяженная и предполагаемая бесконечно тонкая.Хотя пара действительных чисел достаточно для описания точек на плоскости, взаимосвязь с точками вне плоскости требует особого рассмотрения для их встраивания в окружающее пространство .

Производные концепции

[ редактировать ]

Плоский сегмент (или просто «плоскость» в обыденном использовании) представляет собой плоскую область поверхности ; это аналог отрезка прямой .Бивектор это ориентированный плоский сегмент, аналог направленных отрезков прямых .Грань твердый — это сегмент плоскости, ограничивающий объект . [1] Плита – это область, ограниченная двумя параллельными плоскостями.Параллелепипед – это область , ограниченная тремя парами параллельных плоскостей.

Встречаемость в природе

[ редактировать ]
Волновые фронты плоской волны, бегущей в трехмерном пространстве

Плоскость служит математической моделью многих физических явлений, таких как зеркальное отражение в плоском зеркале или волновые фронты в бегущей плоской волне .Свободная поверхность невозмущенных жидкостей имеет тенденцию быть почти плоской (см. Плоскость ).Самая плоская поверхность, когда-либо созданная, представляет собой квантово-стабилизированное атомное зеркало. [2] В астрономии различные опорные плоскости для определения положения на орбите используются . Анатомические плоскости могут быть латеральными («сагиттальными»), фронтальными («корональными») или поперечными.В геологии пласты (слои отложений) часто имеют плоскую форму.Плоскости участвуют в различных формах изображения , таких как фокальная плоскость , картинная плоскость и плоскость изображения .

Слои осадочных пород в Геологическом парке Варвиту, Иту, Сан-Паулу , Бразилия

Евклид предложил первую великую веху математической мысли — аксиоматическую трактовку геометрии. [3] Он выбрал небольшое ядро ​​неопределенных терминов (называемых общими понятиями ) и постулатов (или аксиом ), которые затем использовал для доказательства различных геометрических утверждений. Хотя план в его современном понимании нигде в « Элементах» не имеет прямого определения , его можно рассматривать как часть общих понятий. [4] Евклид никогда не использовал числа для измерения длины, угла или площади. Евклидова плоскость, снабженная выбранной декартовой системой координат, называется декартовой плоскостью ; недекартову евклидову плоскость, снабженную полярной системой координат, назвали бы полярной плоскостью .

Три параллельные плоскости.

Плоскость — это линейчатая поверхность .

Евклидова плоскость

[ редактировать ]
Двумерная декартова система координат

В математике евклидова плоскость — это евклидово пространство размерности два , обозначаемое или . Это геометрическое пространство , в котором два действительных числа требуются для определения положения каждой точки . Это аффинное пространство , которое включает в себя, в частности, концепцию параллельных линий . Он также имеет метрические свойства, обусловленные расстоянием , что позволяет определять круги и измерять углы .

Евклидова плоскость с выбранной декартовой системой координат называется декартовой плоскостью .

Набор упорядоченных пар действительных чисел ( действительная координатная плоскость ), снабженная скалярным произведением , часто называют евклидовой плоскостью , поскольку каждая евклидова плоскость изоморфна ей.

Представительство

[ редактировать ]

В этом разделе рассматриваются исключительно плоскости, вложенные в трех измерениях: в частности, в R 3 .

Определение по содержащимся точкам и линиям

[ редактировать ]

В евклидовом пространстве любого числа измерений плоскость однозначно определяется любым из следующих факторов:

  • Три неколлинеарные точки (точки, не лежащие на одной прямой).
  • Линия и точка, не лежащие на этой прямой.
  • Две разные, но пересекающиеся линии.
  • Две разные, но параллельные линии.

Характеристики

[ редактировать ]

Следующие утверждения справедливы в трехмерном евклидовом пространстве, но не в более высоких измерениях, хотя у них есть аналоги в более высоких измерениях:

  • Две различные плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой .
  • Линия либо параллельна плоскости, пересекает ее в одной точке, либо содержится в плоскости.
  • Две различные прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, должны быть параллельны друг другу.
  • Две различные плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, должны быть параллельны друг другу.

Точка – нормальная форма и общая форма уравнения плоскости

[ редактировать ]

Подобно тому, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием формы точечного наклона для их уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с использованием точки на плоскости и вектора, ортогонального ей ( нормальный вектор ) для обозначения его «наклона».

В частности, пусть r 0 будет вектором положения некоторой точки P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , и пусть n = ( a , b , c ) будет ненулевым вектором. Плоскость, определяемая точкой P 0 и вектором n, состоит из тех точек P с вектором положения r , что вектор, проведенный из P 0 в P, перпендикулярен n . Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, отсюда следует, что искомую плоскость можно описать как набор всех точек r таких, что Точка здесь означает скалярное произведение .
В расширенном виде это становится что является точечно-нормальной формой уравнения плоскости. [5] Это просто линейное уравнение где что представляет собой расширенную форму

В математике принято выражать нормаль как единичный вектор , но приведенный выше аргумент справедлив для вектора нормали любой ненулевой длины.

И наоборот, легко показать, что если a , b , c и d являются константами и не все a , b и c равны нулю, то график уравнения — плоскость, имеющая вектор n = ( a , b , c ) в качестве нормали. [6] Это знакомое уравнение плоскости называется общей формой уравнения плоскости. [7]

Так, например, уравнение регрессии формы y = d + ax + cz b = −1 ) устанавливает плоскость наилучшего соответствия в трехмерном пространстве при наличии двух объясняющих переменных.

Описание плоскости с точкой и двумя лежащими на ней векторами.

[ редактировать ]

В качестве альтернативы плоскость может быть описана параметрически как набор всех точек вида

Векторное описание самолета

где s и t варьируются по всем действительным числам, v и w — заданные линейно независимые векторы , определяющие плоскость, а r 0 — вектор, представляющий положение произвольной (но фиксированной) точки на плоскости. Векторы v и w можно представить как векторы, начинающиеся с r 0 и указывающие в разных направлениях вдоль плоскости. Векторы v и w могут быть перпендикулярны , но не могут быть параллельны.

Описание плоскости через три точки.

[ редактировать ]

Пусть p 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , p 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) и p 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 ) — неколлинеарные точки.

Плоскость, проходящая через , p1 p2 и ) , p3 , может быть описана как набор всех точек ( x , y , z которые удовлетворяют следующим определяющим уравнениям:

Описать плоскость уравнением вида , решите следующую систему уравнений:

Эту систему можно решить, используя правило Крамера и основные матричные манипуляции. Позволять

Если D не равно нулю (то есть для плоскостей, не проходящих через начало координат), значения a , b и c можно рассчитать следующим образом:

Эти уравнения являются параметрическими по d . Установка d равным любому ненулевому числу и подстановка его в эти уравнения даст один набор решений.

Эту плоскость также можно описать приведенным выше рецептом « точка и вектор нормали ». Подходящий вектор нормали определяется векторным произведением а точкой r 0 можно считать любую из заданных точек p 1 , p 2 или p 3 [8] (или любую другую точку плоскости).

Операции

[ редактировать ]

Расстояние от точки до плоскости

[ редактировать ]

В евклидовом пространстве расстояние от точки до плоскости — это расстояние между данной точкой и ее ортогональной проекцией на плоскость, расстояние по перпендикуляру до ближайшей точки на плоскости.

Его можно найти, начиная с замены переменных , которая перемещает начало координат так, чтобы оно совпадало с заданной точкой, а затем находя точку на сдвинутой плоскости. то, что ближе всего к источнику . Полученная точка имеет декартовы координаты. :

.
Расстояние между началом координат и точкой является .

Пересечение линии и плоскости

[ редактировать ]
Три возможных отношения плоскость-линия в трех измерениях. (В каждом случае показана только часть плоскости, простирающаяся бесконечно далеко.)

В аналитической геометрии пересечение линии и плоскости в трехмерном пространстве может быть пустым множеством , точкой или линией. Это вся линия, если эта линия встроена в плоскость, и пустое множество, если линия параллельна плоскости, но находится вне ее. В противном случае линия пересекает плоскость в одной точке.

Различение этих случаев и определение уравнений для точки и линии в последних случаях находят применение в компьютерной графике , планировании движения и обнаружении столкновений .

Линия пересечения двух плоскостей

[ редактировать ]
Две пересекающиеся плоскости в трехмерном пространстве
В аналитической геометрии пересечение двух плоскостей в трёхмерном пространстве представляет собой линию .

Пересечение сферы и плоскости

[ редактировать ]

Когда пересечение сферы и плоскости не является пустым или единственной точкой, это круг. Это можно увидеть следующим образом:

Пусть S — сфера с центром O , P — плоскость, S. пересекающая Нарисуйте OE перпендикулярно P и встретите P в E. точке Пусть A и B — любые две разные точки пересечения. Тогда AOE и BOE — прямоугольные треугольники с общей стороной OE и гипотенузами AO и BO равными. Следовательно, остальные стороны AE и BE равны. Это доказывает, что все точки пересечения находятся на одинаковом расстоянии от точки E в плоскости P все точки пересечения лежат на окружности C с центром E. , другими словами , [9] Это доказывает, что пересечение P и S содержится в C . Обратите внимание, что OE — это ось круга.

рассмотрим точку D окружности C. Теперь Поскольку C лежит в P , то же самое делает D. и С другой стороны, треугольники AOE и DOE — прямоугольные треугольники с общей стороной OE и катетами EA и ED равными. Следовательно, гипотенузы AO и DO равны и равны радиусу S так что D лежит в S. , Это доказывает, что содержится в пересечении P и S. C

Как следствие, на сфере существует ровно одна окружность, которую можно провести через три заданные точки. [10]

Доказательство можно расширить, чтобы показать, что все точки окружности находятся на общем угловом расстоянии от одного из ее полюсов. [11]

Сравните также конические сечения , из которых можно получить овалы .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Университетский словарь Мерриам-Вебстера (одиннадцатое изд.). Спрингфилд, Массачусетс: Мерриам-Вебстер . 2004.
  2. ^ Эванс, Джон (22 августа 2008 г.). «Самая гладкая поверхность — это зеркало для атомов» . Новый учёный . Проверено 5 марта 2023 г.
  3. ^ Евс 1963 , с. 19
  4. ^ Джойс, DE (1996), Элементы Евклида, Книга I, Определение 7 , Университет Кларка , получено 8 августа 2009 г.
  5. ^ Антон 1994 , с.
  6. ^ Антон 1994 , стр. 156.
  7. ^ Вайсштейн, Эрик В. (2009), «Самолет» , MathWorld — веб-ресурс Wolfram , получено 8 августа 2009 г.
  8. ^ Докинз, Пол, «Уравнения плоскостей» , Исчисление III.
  9. ^ Доказательство следует за Хоббсом, предложение 304.
  10. ^ Хоббс, предложение 308.
  11. ^ Хоббс, предложение 310.
  • Антон, Ховард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN  0-471-58742-7
  • Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии , том. Я, Бостон: Allyn and Bacon, Inc.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ccba72bb8488fbc16a4c35a712104c71__1713366540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/cc/71/ccba72bb8488fbc16a4c35a712104c71.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Euclidean planes in three-dimensional space - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)