Пересечение плоскости-плоскости

Две пересекающиеся плоскости в трехмерном пространстве

В аналитической геометрии пересечение двух плоскостей в трехмерном пространстве представляет собой линию .

Формулировка

Линия пересечения двух плоскостей $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ и $\Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}$ где ${\boldsymbol {n}}_{i}$ нормированы, определяется выражением

${\boldsymbol {r}}=(c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2})+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$

где

$c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}$

$c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}.$

Вывод

Это можно найти, заметив, что линия должна быть перпендикулярна обеим нормали к плоскости и, следовательно, параллельна их векторному произведению. ${\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}$ (это векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда плоскости параллельны и, следовательно, не пересекаются или полностью совпадают).

Остальная часть выражения получается путем нахождения произвольной точки на прямой. Для этого предположим, что любую точку пространства можно записать как ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$, с $\{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})\}$ является основой . Мы хотим найти точку, которая находится на обеих плоскостях (т.е. на их пересечении), поэтому подставьте это уравнение в каждое из уравнений плоскостей, чтобы получить два одновременных уравнения, которые можно решить относительно $c_{1}$ и $c_{2}$.

Если мы далее предположим, что ${\boldsymbol {n}}_{1}$ и ${\boldsymbol {n}}_{2}$ ортонормированы , то ближайшая точка на линии пересечения с началом координат равна ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}$. Если это не так, то необходимо использовать более сложную процедуру.

Двугранный угол

Основная статья: Двугранный угол

Учитывая две пересекающиеся плоскости, описываемые формулой $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ и $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$двугранный угол между ними определяется как угол $\alpha$ между их нормальными направлениями:

$\cos \alpha ={\frac {{\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}}{|{\hat {n}}_{1}||{\hat {n}}_{2}|}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.$