Плоский (геометрия)

В геометрии плоское , или аффинное подпространство — это подмножество аффинного пространства которое само по себе является аффинным пространством (равной или меньшей размерности ). В случае, если родительское пространство является евклидовым , плоскость — это евклидово подпространство , которое наследует понятие расстояния от своего родительского пространства.

плоскости Плоские (двумерное пространство) — это точки , линии и сама плоскость; плоскостями в трехмерном пространстве являются точки, линии, плоскости и само пространство. В $n$ -мерном пространстве имеется $k$ -квартир каждой размерности $k$ от 0 до $n$ ; подпространства на одно измерение ниже родительского пространства, $(n - 1)$ -плоские, называются гиперплоскостями .

Плоские формы встречаются в линейной алгебре как геометрические реализации множеств решений систем линейных уравнений .

Плоское многообразие и алгебраическое многообразие иногда называют линейным многообразием или линейным многообразием , чтобы отличить его от других многообразий или многообразий.

Описания

По уравнениям

Квартира может быть описана системой линейных уравнений . Например, линия в двумерном пространстве может быть описана одним линейным уравнением, включающим $x$ и $y$ :

3x+5y=8.

В трехмерном пространстве одно линейное уравнение, включающее $x$ , $y$ и $z$ , определяет плоскость, а пара линейных уравнений может использоваться для описания линии. В общем, линейное уравнение с $n$ переменными описывает гиперплоскость, а система линейных уравнений описывает пересечение этих гиперплоскостей. Предполагая, что уравнения непротиворечивы и линейно независимы , система из $k$ уравнений описывает квартиру размерности $n - k$ .

Параметрический

Квартира также может быть описана системой линейных параметрических уравнений . Линию можно описать уравнениями, включающими один параметр :

x=2+3t,\;\;\;\;y=-1+t\;\;\;\;z={\frac {3}{2}}-4t

тогда как для описания самолета потребуются два параметра:

x=5+2t_{1}-3t_{2},\;\;\;\;y=-4+t_{1}+2t_{2}\;\;\;\;z=5t_{1}-3t_{2}.\,\!

В общем, параметризация квартиры размера $k$ потребует $k$ параметров, например $t 1, \dots, t k$ .

Операции и отношения по квартирам

Пересекающиеся, параллельные и косые плоскости.

Пересечение квартир — это либо квартира, либо пустое множество .

Если каждая линия одной плоскости параллельна некоторой линии другой плоскости, то эти две плоскости параллельны . Две параллельные плоскости одного размера либо совпадают, либо не пересекаются; они могут быть описаны двумя системами линейных уравнений, отличающимися только правыми частями.

Если лыски не пересекаются и ни одна линия из первой грани не параллельна линии из второй грани, то это косые грани . Это возможно только в том случае, если сумма их размеров меньше размерности окружающего пространства.

Присоединиться

Для двух квартир размерами $k 1$ и $k 2$ существует содержащая их минимальная квартира размерностью не более $k 1 + k 2 + 1$ . Если две квартиры пересекаются, то размер содержащей их квартиры равен $k 1 + k 2$ минус размер пересечения.

Свойства операций

Эти две операции (называемые meet и join ) превращают набор всех плоских площадей в евклидовом $n-$ пространстве в решетку и могут строить систематические координаты для плоских граней в любом измерении, что приводит к координатам Грассмана или двойственным координатам Грассмана. Например, линия в трехмерном пространстве определяется двумя различными точками или двумя различными плоскостями.

Однако решетка всех квартир не является распределительной решеткой .Если две прямые $ℓ 1$ и $ℓ 2$ пересекаются, то $ℓ 1 \cap ℓ 2$ — точка. Если $p$ — точка, не лежащая в одной плоскости, то $(ℓ 1 \cap ℓ 2) + p = (ℓ 1 + p) \cap (ℓ 2 + p)$ , обе представляют линию. Но когда $ℓ 1$ и $ℓ 2$ параллельны, эта дистрибутивность не работает, давая $p$ слева и третью параллельную линию справа.

Евклидова геометрия

Вышеупомянутые факты не зависят от структуры евклидова пространства (а именно, от евклидова расстояния ) и верны в любом аффинном пространстве . В евклидовом пространстве:

Существует расстояние между плоскостью и точкой. (См., например, Расстояние от точки до плоскости и Расстояние от точки до линии .)
Существует расстояние между двумя плоскостями, равное 0, если они пересекаются. (См., например, Расстояние между двумя линиями (в одной плоскости) и Наклон линий § Расстояние .)
Существует угол между двумя плоскостями, который принадлежит интервалу $[0, π/2]$ между 0 и прямым углом . (См., например, Двугранный угол (между двумя плоскостями). См. также Углы между плоскостями .)

См. также

Примечания

Ссылки

Генрих Гуггенхаймер (1977), Прикладная геометрия , Кригер, Нью-Йорк, стр. 7.
Столфи, Хорхе (1991), Ориентированная проективная геометрия , Academic Press , ISBN 978-0-12-672025-9
Из оригинального Стэнфордского доктора философии . диссертация «Примитивы для вычислительной геометрии » доступна в виде отчета об исследовании DEC SRC 36. Архивировано 17 октября 2021 г. на Wayback Machine .

Внешние ссылки