Координаты Плюкера

Эта статья о классическом случае прямых в проективном трехмерном пространстве. Общие координаты Плюкера см. в разделе «Вложение Плюкера» .

В геометрии координаты Плюкера , введенные Юлиусом Плюкером в 19 веке, представляют собой способ присвоить шесть однородных координат каждой линии в проективном трехмерном . пространстве $\mathbb {P} ^{3}$⁠ . Поскольку они удовлетворяют квадратичному ограничению, они устанавливают взаимно однозначное соответствие между 4-мерным пространством линий в ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$⁠ и точки на квадрике в ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$⁠ (проективное 5-пространство). Предшественник и частный случай координат Грассмана (которые описывают k -мерные линейные подпространства или квартиры в n -мерном евклидовом пространстве ), координаты Плюкера естественным образом возникают в геометрической алгебре . Они оказались полезными для компьютерной графики , а также могут быть распространены на координаты винтов и гаечных ключей в теории кинематики, используемых для управления роботами .

Геометрическая интуиция

Перемещение и момент двух точек на линии

Линия L в трехмерном евклидовом пространстве определяется двумя различными точками, которые она содержит, или двумя различными плоскостями, которые ее содержат. Рассмотрим первый случай с точками $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ и $y=(y_{1},y_{2},y_{3}).$ Векторное смещение от x до y не равно нулю, поскольку точки различны, и представляет направление линии. То есть каждое смещение между точками на L является скалярным кратным d = y – x . Если бы физическая частица единичной массы переместилась из x в y , у нее был бы момент относительно начала координат. Геометрическим эквивалентом этого момента является вектор, направление которого перпендикулярно плоскости, содержащей L и начало координат, и длина которого равна двойной площади треугольника, образованного перемещением и началом координат. Рассматривая точки как смещения от начала координат, момент равен m = x × y , где «×» обозначает векторное векторное произведение . Для фиксированной линии L площадь треугольника пропорциональна длине отрезка между x и y , который считается основанием треугольника; его нельзя изменить путем скольжения основания по линии, параллельной самой себе. По определению вектор момента перпендикулярен каждому смещению вдоль линии, поэтому d ⋅ m = 0 , где «⋅» обозначает вектор точечное произведение .

Хотя ни d, ни m по отдельности недостаточно для определения L , вместе пара делает это однозначно, с точностью до общего (ненулевого) скалярного кратного, которое зависит от расстояния между x и y . То есть координаты

$(\mathbf {d} :\mathbf {m} )=(d_{1}:d_{2}:d_{3}\ :\ m_{1}:m_{2}:m_{3})$

можно считать однородными координатами для L в том смысле, что все пары (λ d : λ m ) для λ ≠ 0 могут быть созданы точками на L и только L , и любая такая пара определяет уникальную линию до тех пор, пока d не равен нулю и d ⋅ м знак равно 0 . Более того, этот подход распространяется на точки , линии и плоскость «на бесконечности» в смысле проективной геометрии . Кроме того, точка $x$ лежит на прямой L тогда и только тогда, когда $x\times d=m$.

Пример. Пусть x = (2, 3, 7) и y = (2, 1, 0) . Тогда ( d : m ) = (0 : −2 : −7 : −7 : 14 : −4) .

Альтернативно, пусть уравнения для точек x двух различных плоскостей, содержащих L, будут

${\begin{aligned}0&=a+\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ,\\0&=b+\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} .\end{aligned}}$

Тогда их соответствующие плоскости перпендикулярны векторам a и b , а направление L должно быть перпендикулярно обоим. Следовательно, мы можем положить d = a × b , что не равно нулю, поскольку a , b не являются ни нулевыми, ни параллельными (плоскости различны и пересекаются). Если точка x удовлетворяет обоим уравнениям плоскости, то она также удовлетворяет линейной комбинации

${\begin{aligned}0&=a(b+\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} )-b(a+\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} )\\&=(a\mathbf {b} -b\mathbf {a} )\cdot \mathbf {x} \end{aligned}}$

То есть,

$\mathbf {m} =a\mathbf {b} -b\mathbf {a}$

– вектор, перпендикулярный смещениям точек на L от начала координат; фактически это момент, соответствующий d, ранее определенному из a и b .

Доказательство 1 : Нужно показать, что

$\mathbf {m} =a\mathbf {b} -b\mathbf {a} =\mathbf {r} \times \mathbf {d} =\mathbf {r} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$^{что такое " р "?}

Без ограничения общности пусть

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} =1.$

Плоскость, ортогональная линии L , включая начало координат.

Точка Б – начало координат. Линия L проходит через точку D и ортогональна плоскости рисунка. Две плоскости проходят через CD и DE и обе ортогональны плоскости изображения. Точки C и E являются ближайшими точками на этих плоскостях к началу координат B , поэтому углы ∠ BCD и ∠ BED являются прямыми углами, и поэтому точки B, C, D, E лежат на окружности (в силу следствия теоремы Фалеса ). . BD — диаметр этого круга.

${\begin{aligned}&\mathbf {a} :={\frac {BE}{||BE||}},\quad \mathbf {b} :={\frac {BC}{||BC||}},\quad \mathbf {r} :=BD;\\[4pt]&-\!a=||BE||=||BF||,\quad -b=||BC||=||BG||;\\[4pt]&\mathbf {m} =a\mathbf {b} -b\mathbf {a} =FG\\[4pt]&||\mathbf {d} ||=||\mathbf {a} \times \mathbf {b} ||=\sin \angle FBG\end{aligned}}$

Угол ∠ BHF является прямым по следующему аргументу. Пусть ε := ∠ BEC . Поскольку △ BEC ≅ △ BFG (по конгруэнтности сторона-угол-сторона), то ∠ BFG = ε . Поскольку ∠ BEC + ∠ CED = 90° , пусть ε' := 90° – ε = ∠ CED . По о вписанном угле теореме ∠ DEC = ∠ DBC , поэтому ∠ DBC = ε' . ∠ HBF + ∠ BFH + ∠ FHB = 180° ; ε' + ε + ∠ FHB = 180° , ε + ε' = 90° ; следовательно, ∠ FHB = 90° . Тогда ∠ DHF тоже должен быть прямым углом.

Углы ∠ DCF , ∠ DHF — прямые углы, поэтому четыре точки C, D, H, F лежат на окружности, и (по теореме о пересекающихся секущих )

$||BF||\,||BC||=||BH||\,||BD||$

то есть,

${\begin{aligned}&ab\sin \angle FBG=||BH||\,||\mathbf {r} ||\sin \angle FBG,\\[4pt]&2\,{\text{Area}}_{\triangle BFG}=ab\sin \angle FBG=||BH||\,||FG||=||BH||\,||\mathbf {r} ||\sin \angle FBG,\\[4pt]&||\mathbf {m} ||=||FG||=||\mathbf {r} ||\sin \angle FBG=||\mathbf {r} ||\,||\mathbf {d} ||,\\[4pt]&\mathbf {m} =\mathbf {r} \times \mathbf {d} .\blacksquare \end{aligned}}$

Доказательство 2 :

Позволять

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} =1.$

Это означает, что

$a=-||BE||,\quad b=-||BC||.$

Согласно формуле векторного тройного произведения ,

$\mathbf {r} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} .$

Затем

${\begin{aligned}\mathbf {r} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )&=\mathbf {a} \,||\mathbf {r} ||\,||\mathbf {b} ||\cos \angle DBC-\mathbf {b} \,||\mathbf {r} ||\,||\mathbf {a} ||\cos \angle DBE\\[4pt]&=\mathbf {a} \,||\mathbf {r} ||\cos \angle DBC-\mathbf {b} \,||\mathbf {r} ||\cos \angle DBE\\[4pt]&=\mathbf {a} \,||BC||-\mathbf {b} \,||BE||\\[4pt]&=-b\mathbf {a} -(-a)\mathbf {b} \\[4pt]&=a\mathbf {b} -b\mathbf {a} \ \ \blacksquare \end{aligned}}$

Когда $||\mathbf {r} ||=0,$ линия L проходит начало координат в направлении d . Если $||\mathbf {r} ||>0,$ линия имеет направление d ; плоскость, включающая начало координат и прямую L, имеет вектор нормали m ; линия касается окружности в этой плоскости (нормальной к m и перпендикулярной плоскости изображения) с центром в начале координат и радиусом $||\mathbf {r} ||.$

Пример. Пусть a ₀ = 2 , a = (−1, 0, 0) и b ₀ = −7 , b = (0, 7, −2) . Тогда ( d : м ) = (0 : -2 : -7 : -7 : 14 : -4) .

Хотя обычное алгебраическое определение имеет тенденцию скрывать эту взаимосвязь, ( d : m ) являются координатами Плюкера L .

Алгебраическое определение

Первичные координаты

В трехмерном проективном пространстве ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$⁠ , пусть L — линия, проходящая через разные точки x и y с однородными координатами ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ ) и ( y ₀ : y ₁ : y ₂ : y ₃ ) .

Координаты Плюккера p _ij определяются следующим образом:

$p_{ij}={\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{vmatrix}}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}.$

(кососимметричная матрица, элементами которой являются p _ij, также называется матрицей Плюккера )
Это означает, что p _ii = 0 и p _ij = − p _ji , что сокращает возможности только до шести (4 выберите 2) независимых величин. Шестерня

$(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})$

однозначно определяется L с точностью до общего ненулевого масштабного коэффициента. Более того, не все шесть компонентов могут быть равны нулю. Таким образом, координаты Плюккера L можно рассматривать как однородные координаты точки в 5-мерном проективном пространстве, как это предполагает обозначение через двоеточие.

Чтобы увидеть эти факты, пусть M — матрица 4 × 2 с координатами точек в виде столбцов.

$M={\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}}$

Координата Плюкера p _ij является определителем строк i и j матрицы M . Поскольку x и y — разные точки, столбцы M независимы линейно ; M имеет ранг 2. Пусть M' — вторая матрица со столбцами x' , y' - пара различных точек на L. другая Тогда столбцы M′ являются линейными комбинациями столбцов M ; размера 2× поэтому для некоторой несингулярной матрицы Λ 2

$M'=M\Lambda .$

В частности, строки i и j из M' и M связаны соотношением

${\begin{bmatrix}x'_{i}&y'_{i}\\x'_{j}&y'_{j}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{00}&\lambda _{01}\\\lambda _{10}&\lambda _{11}\end{bmatrix}}.$

Следовательно, определитель левой матрицы 2×2 равен произведению определителей правых матриц 2×2, последняя из которых является фиксированным скаляром det Λ . Более того, все шесть субопределителей размера 2×2 в M не могут быть равны нулю, поскольку ранг M равен 2.

Карта Плюкера

Обозначим множество всех линий (линейных изображений ⁠ $\mathbb {P} ^{1}$⁠ ) ​​в ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$⁠ по G _1,3 . Таким образом, у нас есть карта:

${\begin{aligned}\alpha \colon \mathrm {G} _{1,3}&\rightarrow \mathbb {P} ^{5}\\L&\mapsto L^{\alpha },\end{aligned}}$

где

$L^{\alpha }=(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12}).$

Двойные координаты

Альтернативно, линию можно описать как пересечение двух плоскостей. Пусть L — линия, содержащаяся в различных плоскостях a и b с однородными коэффициентами ( a ⁰ : а ¹ : а ² : а ³ ) и ( б ⁰ : б ¹ : б ² : б ³ ) , соответственно. (Первое уравнение плоскости: ${\textstyle \sum _{k}a^{k}x_{k}=0,}$ например.) Двойственная координата Плюкера p ^ij является

$p^{ij}={\begin{vmatrix}a^{i}&a^{j}\\b^{i}&b^{j}\end{vmatrix}}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}.$

Двойные координаты удобны в некоторых вычислениях и эквивалентны первичным координатам:

$(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})=(p^{23}:p^{31}:p^{12}:p^{01}:p^{02}:p^{03})$

Здесь равенство двух векторов в однородных координатах означает, что числа в правой части равны числам в левой части с точностью до некоторого общего масштабного коэффициента λ . В частности, пусть ( i , j , k , ℓ ) — перестановка четная (0, 1, 2, 3) ; затем

$p_{ij}=\lambda p^{k\ell }.$

Геометрия

Возвращаясь к геометрической интуиции, возьмем x ₀ = 0 как плоскость на бесконечности; таким образом, координаты точек, не находящихся на бесконечности, можно нормализовать так, что x ₀ = 1 . Тогда М становится

$M={\begin{bmatrix}1&1\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}},$

и настройка $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ и $y=(y_{1},y_{2},y_{3})$, у нас есть $d=(p_{01},p_{02},p_{03})$и $m=(p_{23},p_{31},p_{12})$.

Двойственно, мы имеем $d=(p^{23},p^{31},p^{12})$ и $m=(p^{01},p^{02},p^{03}).$

Биекция между прямыми и квадрика Клейна

Плоские уравнения

Если точка $\mathbf {z} =(z_{0}:z_{1}:z_{2}:z_{3})$ лежит на L , то столбцы

${\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{bmatrix}}$

, линейно зависимы так что ранг этой большей матрицы по-прежнему равен 2. Это означает, что все подматрицы 3×3 имеют нулевой определитель, генерируя четыре (4 выбирают 3) плоских уравнения, такие как

${\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{0}-{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{1}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}z_{2}\\[5pt]&=p_{12}z_{0}-p_{02}z_{1}+p_{01}z_{2}.\\[5pt]&=p^{03}z_{0}+p^{13}z_{1}+p^{23}z_{2}.\end{aligned}}$

Получены следующие четыре возможных плоскости.

${\begin{matrix}0&=&{}+p_{12}z_{0}&{}-p_{02}z_{1}&{}+p_{01}z_{2}&\\0&=&{}-p_{31}z_{0}&{}-p_{03}z_{1}&&{}+p_{01}z_{3}\\0&=&{}+p_{23}z_{0}&&{}-p_{03}z_{2}&{}+p_{02}z_{3}\\0&=&&{}+p_{23}z_{1}&{}+p_{31}z_{2}&{}+p_{12}z_{3}\end{matrix}}$

Используя двойные координаты и позволяя ( a ⁰ : а ¹ : а ² : а ³ ) — линейные коэффициенты, каждый из которых представляет собой просто ^я = п ^ij , или

$0=\sum _{i=0}^{3}p^{ij}z_{i},\qquad j=0,\ldots ,3.$

Каждая координата Плюкера появляется в двух из четырех уравнений, каждый раз умножая другую переменную; и поскольку хотя бы одна из координат не равна нулю, мы гарантируем непустоту уравнений для двух различных плоскостей, пересекающихся в L . Таким образом, координаты Плюккера линии однозначно определяют эту линию, а отображение α является инъекцией .

Квадратичное соотношение

Образ α не является полным набором точек в ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$⁠ ; координаты Плюккера прямой L удовлетворяют квадратичному соотношению Плюккера

${\begin{aligned}0&=p_{01}p^{01}+p_{02}p^{02}+p_{03}p^{03}\\&=p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.\end{aligned}}$

Для доказательства запишите этот однородный многочлен в качестве определителей и используйте разложение Лапласа (обратно).

${\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=(x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}){\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-(x_{0}y_{2}-y_{0}x_{2}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+(x_{0}y_{3}-y_{0}x_{3}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=x_{0}\left(y_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+y_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)-y_{0}\left(x_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-x_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+x_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)\\[5pt]&=x_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}&x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

Поскольку оба определителя 3×3 имеют повторяющиеся столбцы, правая часть равна нулю.

Другое доказательство может быть сделано так: Поскольку вектор

$d=\left(p_{01},p_{02},p_{03}\right)$

перпендикулярен вектору

$m=\left(p_{23},p_{31},p_{12}\right)$

(см. выше), скалярное произведение d и m должно быть равно нулю. кед

Уравнения точек

Полагая ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ ) координатами точки, каждая из четырех возможных точек на линии имеет координаты x _i = p _ij , для j = 0, 1, 2, 3 . Некоторые из этих возможных точек могут быть недопустимыми, поскольку все координаты равны нулю, но поскольку хотя бы одна координата Плюккера не равна нулю, гарантированы как минимум две различные точки.

Биективность

Если $(q_{01}:q_{02}:q_{03}:q_{23}:q_{31}:q_{12})$ — однородные координаты точки в ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$⁠ , без ограничения общности предположим, что q ₀₁ не равно нулю. Тогда матрица

$M={\begin{bmatrix}q_{01}&0\\0&q_{01}\\-q_{12}&q_{02}\\q_{31}&q_{03}\end{bmatrix}}$

имеет ранг 2, поэтому его столбцы являются различными точками, определяющими линию L . Когда ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$ ⁠ Координаты , q _ij , удовлетворяют квадратичному соотношению Плюкера, они являются координатами Плюкера L . Чтобы убедиться в этом, сначала нормализуйте q ₀₁ к 1. Тогда мы сразу получим, что для координат Плюккера, вычисленных из M , p _ij = q _ij , за исключением

$p_{23}=-q_{03}q_{12}-q_{02}q_{31}.$

Но если q _ij удовлетворяет соотношению Плюкера

$q_{23}+q_{02}q_{31}+q_{03}q_{12}=0,$

тогда р ₂₃ = q ₂₃ , заполнение набора личностей.

Следовательно, α является сюръекцией на алгебраическое многообразие , состоящее из множества нулей квадратичного многочлена

$p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.$

А поскольку α также является инъекцией, линии в ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$Таким образом, ⁠ находятся в взаимно однозначном соответствии с точками этой квадрики в ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$⁠ , называемая квадрикой Плюкера или квадрикой Клейна .

Использование

Координаты Плюкера позволяют кратко решать проблемы геометрии линий в трехмерном пространстве, особенно те, которые связаны с падением .

Пересечение линии-линии

Две строки в ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$⁠ либо скошены , либо копланарны , и в последнем случае они либо совпадают, либо пересекаются в единственной точке. Если p _ij и p' _ij — координаты Плюккера двух прямых, то они компланарны именно тогда, когда

$\mathbf {d} \cdot \mathbf {m} '+\mathbf {m} \cdot \mathbf {d} '=0,$

как показано

${\begin{aligned}0&=p_{01}p'_{23}+p_{02}p'_{31}+p_{03}p'_{12}+p_{23}p'_{01}+p_{31}p'_{02}+p_{12}p'_{03}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&x'_{0}&y'_{0}\\x_{1}&y_{1}&x'_{1}&y'_{1}\\x_{2}&y_{2}&x'_{2}&y'_{2}\\x_{3}&y_{3}&x'_{3}&y'_{3}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}$

Когда линии перекошены, знак результата указывает на смысл пересечения: положительный, если правый винт переводит L в L' , в противном случае отрицательный.

Квадратичное соотношение Плюкера, по сути, утверждает, что прямая компланарна сама себе.

Соединение линии-линии

В случае, если две прямые копланарны, но не параллельны, их общая плоскость имеет уравнение

$0=(\mathbf {m} \cdot \mathbf {d} ')x_{0}+(\mathbf {d} \times \mathbf {d} ')\cdot \mathbf {x} ,$

где $x=(x_{1},x_{2},x_{3}).$

Малейшее возмущение уничтожит существование общей плоскости, а близкая параллельность линий вызовет численные трудности в нахождении такой плоскости, даже если она существует.

Встреча линии-линии

Двойственным образом две компланарные прямые, ни одна из которых не содержит начала координат, имеют общую точку.

$(x_{0}:\mathbf {x} )=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {m} ':\mathbf {m} \times \mathbf {m} ').$

Чтобы обрабатывать строки, не соответствующие этому ограничению, см. ссылки.

Встреча на плоскости

Дана плоскость с уравнением

$0=a^{0}x_{0}+a^{1}x_{1}+a^{2}x_{2}+a^{3}x_{3},$

или более кратко,

$0=a^{0}x_{0}+\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ;$

и дана линия, не входящая в нее, с координатами Плюкера ( d : m ) , то их точка пересечения равна

$(x_{0}:\mathbf {x} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} :\mathbf {a} \times \mathbf {m} -a_{0}\mathbf {d} ).$

Координаты точки ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ ) также могут быть выражены через координаты Плюкера как

$x_{i}=\sum _{j\neq i}a^{j}p_{ij},\qquad i=0\ldots 3.$

Соединение точки и линии

Двойственно, учитывая точку ( y ₀ : y ) и линию, не содержащую ее, их общая плоскость имеет уравнение

$0=(\mathbf {y} \cdot \mathbf {m} )x_{0}+(\mathbf {y} \times \mathbf {d} -y_{0}\mathbf {m} )\cdot \mathbf {x} .$

Координаты плоскости, ( a ⁰ : а ¹ : а ² : а ³ ) также может быть выражено через двойственные координаты Плюкера как

$a^{i}=\sum _{j\neq i}y_{j}p^{ij},\qquad i=0\ldots 3.$

Семейства линий

Поскольку квадрика Клейна находится в ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$⁠ , оно содержит линейные подпространства размерностей один и два (но не выше). Они соответствуют одно- и двухпараметрическим семействам линий в ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$⁠ .

Например, предположим, что L, L′ — разные прямые в ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$⁠ определяется точками x , y и x ′, y ′ соответственно. Линейные комбинации их определяющих точек дают линейные комбинации их координат Плюккера, порождая однопараметрическое семейство линий, содержащее L и L ′ . Это соответствует одномерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линии в плоскости

Если три различные и непараллельные линии компланарны; их линейные комбинации порождают двухпараметрическое семейство линий, все линии на плоскости. Это соответствует двумерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линии, проходящие через точку

Если три различные и некомпланарные линии пересекаются в точке, их линейные комбинации создают двухпараметрическое семейство линий, все линии проходят через точку. Это также соответствует двумерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линейчатая поверхность

— Линейчатая поверхность это семейство линий, которое не обязательно является линейным. Ему соответствует кривая на квадрике Клейна. Например, однолистный гиперболоид — это квадрика в ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$⁠ управляется двумя разными семействами линий, по одной линии каждого, проходящей через каждую точку поверхности; каждое семейство соответствует при отображении Плюкера коническому сечению внутри квадрики Клейна в ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$⁠ .

Геометрия линии

В девятнадцатом веке геометрия линий интенсивно изучалась. В терминах приведенной выше биекции это описание внутренней геометрии квадрики Клейна.

Трассировка лучей

Геометрия линий широко используется в приложениях трассировки лучей , где геометрию и пересечения лучей необходимо рассчитывать в 3D. Реализация описана в Введение в координаты Плюкера, написанное Туи Джонсом для форума Ray Tracing.

См. также

• Плоская проекционная плоскость
• Матрица Плюкера

Ссылки

• Ходж, Западная Вирджиния ; Д. Педо (1994) [1947]. Методы алгебраической геометрии, том I (книга II) . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-46900-5 .
• Бенке, Х.; Ф. Бахманн; К. Фладт; Х. Кунле, ред. (1984). Основы математики, Том II: Геометрия . пер. С.Х. Гулд. МТИ Пресс . ISBN  978-0-262-52094-2 .
  С немецкого: Основы математики, Том II: Геометрия . Ванденхук и Рупрехт.
• Гилфойл, Б.; В. Клингенберг (2004). «О пространстве ориентированных аффинных прямых в R^3». Архив математики . 82 (1). Биркхойзер : 81–84. arXiv : math/0405189 . дои : 10.1007/s00013-003-4861-3 . ISSN   0003-889X . S2CID   118352042 .
• Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Координаты Плюкера» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Мейсон, Мэтью Т.; Дж. Кеннет Солсбери (1985). Руки роботов и механика манипуляций . МТИ Пресс . ISBN  978-0-262-13205-3 .
• Хартли, Р.~И.; Зиссерман А. (2004). Множественная геометрия в компьютерном зрении . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0521540518 .
• Хомейер, М.; С. Теллер (1999). «Определение линий по четырем линиям» (PDF) . Журнал графических инструментов . 4 (3). А. К. Петерс : 11–22. дои : 10.1080/10867651.1999.10487506 . ISSN   1086-7651 .
• Шафаревич, ИР ; А.О. Ремизов (2012). Линейная алгебра и геометрия . Спрингер . ISBN  978-3-642-30993-9 .
• Цзя, Ян-Бин (2017). Координаты Плюкера для линий в пространстве (PDF) (Отчет).
• Шумейк, Кен (1998). «Учебное пособие по координатам Плюкера» . Новости трассировки лучей. Архивировано из оригинала 18 октября 2022 года . Проверено 4 июля 2018 г.