Матрица Плюкера

Матрица Плюккера — это специальная кососимметричная размера 4×4 матрица , характеризующая прямую в проективном пространстве . Матрица определяется шестью координатами Плюкера с четырьмя степенями свободы . Он назван в честь немецкого математика Юлиуса Плюкера .

Определение

Прямая линия в пространстве определяется двумя различными точками. $A=\left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}$ и $B=\left(B_{0},B_{1},B_{2},B_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}$ в однородных координатах проективного пространства . Его матрица Плюкера:

$[\mathbf {L} ]_{\times }\propto \mathbf {A} \mathbf {B} ^{\top }-\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\top }=\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&0\end{array}}\right)$

Где кососимметричный $4\times 4$-матрица определяется шестью координатами Плюкера.

$\mathbf {L} \propto (L_{01},L_{02},L_{03},L_{12},L_{13},L_{23})^{\top }$

с

$L_{ij}=A_{i}B_{j}-B_{i}A_{j}.$

Координаты Плюкера удовлетворяют соотношениям Грассмана – Плюкера.

$L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}=0$

и определены в масштабе. Матрица Плюккера имеет только второй ранг и четыре степени свободы (как и линии в $\mathbb {R} ^{3}$). Они не зависят от конкретного выбора точек $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ и его можно рассматривать как обобщение уравнения линии, т. е. векторного произведения как для пересечения (встречи) двух линий, так и для линии соединения двух точек на проективной плоскости.

Характеристики

Матрица Плюкера позволяет выразить следующие геометрические операции в виде матрично-векторного произведения:

• Плоскость содержит строку: $\mathbf {0} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E}$
• $\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E}$ это точка пересечения прямой $\mathbf {L}$ и самолет $\mathbf {E}$ ('Встретиться')
• Точка лежит на прямой: $\mathbf {0} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X}$
• $\mathbf {E} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X}$ это общая плоскость $\mathbf {E}$, который содержит обе точки $\mathbf {X}$ и линия $\mathbf {L}$ ('Присоединиться').
• Направление линии: $[\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }=[\mathbf {L} ]_{\times }(0,0,0,1)^{\top }=\left(-L_{03},-L_{13},-L_{23},0\right)^{\top }$ (Примечание: последнюю можно интерпретировать как плоскость, ортогональную линии, проходящей через начало координат)
• Ближайшая точка к источнику $\mathbf {X} _{0}\cong [\mathbf {L} ]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }.$

Уникальность

Две произвольные различные точки на прямой можно записать как линейную комбинацию $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$:

$\mathbf {A} ^{\prime }\propto \mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta {\text{ and }}\mathbf {B} ^{\prime }\propto \mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta .$

Их матрица Плюккера выглядит следующим образом:

${\begin{aligned}{[}\mathbf {L} ^{\prime }{]}_{\times }&=\mathbf {A} ^{\prime }\mathbf {B} ^{\prime }-\mathbf {B} ^{\prime }\mathbf {A} ^{\prime }\\[6pt]&=(\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta )(\mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta )^{\top }-(\mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta )(\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta )^{\top }\\[6pt]&=\underbrace {(\alpha \delta -\beta \gamma )} _{\lambda }[\mathbf {L} ]_{\times },\end{aligned}}$

в масштабе, идентичном $[\mathbf {L} ]_{\times }$.

Пересечение с самолетом

Встреча плоскости и прямой в проективном трехмерном пространстве, выраженная путем умножения на матрицу Плюкера.

Позволять $\mathbf {E} =\left(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}$ обозначим плоскость уравнением

$E_{0}x+E_{1}y+E_{2}z+E_{3}=0.$

который не содержит строки $\mathbf {L}$. Тогда произведение матрицы-вектора на матрицу Плюкера описывает точку

$\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} =\mathbf {A} {\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-\mathbf {B} {\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta ,$

который лежит на линии $\mathbf {L}$ потому что это линейная комбинация $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$. $\mathbf {X}$ также содержится в плоскости $\mathbf {E}$

$\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {X} =\mathbf {E} ^{\top }[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} ={\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {A} } }}{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {B} } }}{\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=0,$

и, следовательно, должна быть их точкой пересечения.

Кроме того, произведение матрицы Плюккера на плоскость является нулевым вектором, точно, если прямая $\mathbf {L}$ целиком содержится в плоскости:

$\alpha =\beta =0\iff \mathbf {E}$ содержит $\mathbf {L} .$

Двойная матрица Плюкера

Соединение точки и линии в проективном трехмерном пространстве, выраженное умножением на матрицу Плюкера.

В проективном трехмерном пространстве и точки, и плоскости имеют то же представление, что и 4-векторы, и алгебраическое описание их геометрических отношений (точка лежит на плоскости) симметрично. Поменяв местами термины плоскость и точка в теореме, можно получить двойственную теорему, которая также верна.

В случае матрицы Плюккера существует двойственное представление линии в пространстве как пересечение двух плоскостей:

$E=\left(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}$

и

$F=\left(F_{0},F_{1},F_{2},F_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}$

в однородных координатах проективного пространства . Их матрица Плюкера:

$\left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }=\mathbf {E} \mathbf {F} ^{\top }-\mathbf {F} \mathbf {E} ^{\top }$

и

$\mathbf {G} =\left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }\mathbf {X}$

описывает самолет $\mathbf {G}$ который содержит обе точки $\mathbf {X}$ и линия $\mathbf {L}$.

Связь между простыми и двойственными матрицами Плюкера

Как вектор $\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E}$, с произвольной плоскостью $\mathbf {E}$, является либо нулевым вектором, либо точкой на прямой, то:

$\forall \mathbf {E} \in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}:\,\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} {\text{ lies on }}\mathbf {L} \iff \left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }\mathbf {X} =\mathbf {0} .$

Таким образом:

$\left([{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\right)^{\top }=[\mathbf {L} ]_{\times }\left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{4\times 4}.$

Следующий продукт соответствует этим свойствам:

${\begin{aligned}&\left({\begin{array}{cccc}0&L_{23}&-L_{13}&L_{12}\\-L_{23}&0&L_{03}&-L_{02}\\L_{13}&-L_{03}&0&L_{01}\\-L_{12}&L_{02}&-L_{01}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&0\end{array}}\right)\\[10pt]={}&\left(L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}\right)\cdot \left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)=\mathbf {0} ,\end{aligned}}$

из-за соотношения Грассмана–Плюкера . Благодаря уникальности матриц Плюккера с точностью до скалярных кратных для простых координат Плюккера

$\mathbf {L} =\left(L_{01},\,L_{02},\,L_{03},\,L_{12},\,L_{13},\,L_{23}\right)^{\top }$

мы получаем следующие двойственные координаты Плюккера:

${\tilde {\mathbf {L} }}=\left(L_{23},\,-L_{13},\,L_{12},\,L_{03},\,-L_{02},\,L_{01}\right)^{\top }.$

В проективной плоскости

Двойственность операций соединения и встречи в двухмерном пространстве.

«Соединение» двух точек проективной плоскости — это операция соединения двух точек прямой линией. Его линейное уравнение можно вычислить с помощью векторного произведения :

$\mathbf {l} \propto \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left({\begin{array}{c}a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\\b_{0}a_{2}-a_{0}b_{2}\\a_{0}b_{1}-a_{1}b_{0}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}l_{0}\\l_{1}\\l_{2}\end{array}}\right).$

Двойственным образом можно выразить «встречу» или пересечение двух прямых линий векторным произведением:

$\mathbf {x} \propto \mathbf {l} \times \mathbf {m}$

Связь с матрицами Плюкера становится очевидной, если записать векторное произведение как матрично-векторное произведение с кососимметричной матрицей:

$[\mathbf {l} ]_{\times }=\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\top }-\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\top }=\left({\begin{array}{ccc}0&l_{2}&-l_{1}\\-l_{2}&0&l_{0}\\l_{1}&-l_{0}&0\end{array}}\right)$

и аналогично $[\mathbf {x} ]_{\times }=\mathbf {l} \mathbf {m} ^{\top }-\mathbf {m} \mathbf {l} ^{\top }$

Геометрическая интерпретация

Позволять $\mathbf {d} =\left(-L_{03},\,-L_{13},\,-L_{23}\right)^{\top }$ и $\mathbf {m} =\left(L_{12},\,-L_{02},\,L_{01}\right)^{\top }$, то мы можем написать

$[\mathbf {L} ]_{\times }=\left({\begin{array}{cc}[\mathbf {m} ]_{\times }&\mathbf {d} \\-\mathbf {d} &0\end{array}}\right)$

и

$[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }=\left({\begin{array}{cc}[-\mathbf {d} ]_{\times }&\mathbf {m} \\-\mathbf {m} &0\end{array}}\right),$

где $\mathbf {d}$ это смещение и $\mathbf {m}$ — момент линии, сравните геометрическую интуицию координат Плюккера .

Ссылки

• Рихтер-Геберт, Юрген (2011). Перспективы проективной геометрии: экскурсия по реальной и сложной проективной геометрии . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-17286-1 .
• Хорхе Столфи (1991). Ориентированная проективная геометрия: основа для геометрических вычислений . Академическая пресса . ISBN  978-1483247045 .
  Из оригинала Стэнфордского университета, 1988 г., доктор философии. диссертация «Примитивы для вычислительной геометрии» , доступная как [1] .
• Блинн, Джеймс Ф. (август 1977 г.). «Однородная формулировка для линий в трехмерном пространстве». ACM SIGGRAPH Компьютерная графика . 11 (2): 237–241. дои : 10.1145/965141.563900 . ISSN   0097-8930 .