Вложение Плюкера

В математике карта Плюкера включает в себя грассманиан. $\mathbf {Gr} (k,V)$, элементы которого являются k - мерными подпространствами V n -мерного векторного пространства , вещественного или комплексного, в проективном пространстве , тем самым реализуя его как проективное алгебраическое многообразие . Точнее, карта Плюкера включает $\mathbf {Gr} (k,V)$ в проективизацию $\mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)$ принадлежащий $k$-я внешняя мощность $V$. Образ алгебраический, состоящий из пересечения ряда квадрик, определяемых соотношениями § Плюккера (см. ниже).

Вложение Плюкера было впервые определено Юлиусом Плюкером в случае $k=2,n=4$ как способ описания линий в трехмерном пространстве (которые, как проективные линии в реальном проективном пространстве, соответствуют двумерным подпространствам четырехмерного векторного пространства). Образом этого вложения является квадрика Клейна в RP. ⁵ .

Герман Грассман обобщил вложение Плюкера на произвольные k и n . Однородные координаты изображения грассманиана $\mathbf {Gr} (k,V)$ под вложением Плюкера относительно базиса во внешнем пространстве ${\textstyle \bigwedge }^{k}V$ соответствующий естественному базису в $V=K^{n}$ (где $K$ — базовое поле ) называются координатами Плюккера .

Определение

Обозначая $V=K^{n}$ тот $n$-мерное векторное пространство над полем $K$и по $\mathbf {Gr} (k,V)$ Грассманиан $k$-мерные подпространства $V$вложение Плюккера — это отображение ι, определенное формулой

${\begin{aligned}\iota \colon \mathbf {Gr} (k,V)&{}\rightarrow \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V),\\\iota \colon {\mathcal {W}}:=\operatorname {span} (w_{1},\ldots ,w_{k})&{}\mapsto [w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],\end{aligned}}$

где $(w_{1},\dots ,w_{k})$ является основой элемента ${\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)$ и $[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}]$ — класс проективной эквивалентности элемента $w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}V$ принадлежащий $k$внешняя сила $V$.

Это вложение грассманиана в проективизацию. $\mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)$. Изображение можно полностью охарактеризовать как пересечение ряда квадрик, квадрик Плюккера (см. ниже), которые выражаются однородными квадратичными отношениями на координатах Плюккера (см. Ниже), вытекающими из линейной алгебры .

Кольцо скобок выглядит как кольцо полиномиальных функций на ${\textstyle \bigwedge }^{k}V$.

Плюккеровые отношения

Изображение под вложением Плюкера удовлетворяет простому набору однородных квадратичных отношений, обычно называемых отношениями Плюкера или отношениями Грассмана–Плюкера , определяющими пересечение ряда квадрик в $\mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)$. Это показывает, что грассманиан вкладывается как алгебраическое подмногообразие $\mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)$ и дает другой метод построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Грассмана–Плюкера, пусть ${\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)$ быть $k$-мерное подпространство, охватываемое базисом, представленным векторами-столбцами $W_{1},\dots ,W_{k}$. Позволять $W$ быть $n\times k$ матрица однородных координат, столбцы которой $W_{1},\dots ,W_{k}$. Тогда класс эквивалентности $[W]$ всех таких однородных координатных матриц $Wg\sim W$ связаны друг с другом правильным умножением на обратимое $k\times k$ матрица $g\in \mathbf {GL} (k,K)$ может быть отождествлен с элементом ${\mathcal {W}}$. Для любой упорядоченной последовательности $1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$ из $k$ целые числа, пусть $W_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ быть определяющим фактором $k\times k$ матрица, строки которой являются строками $(i_{1},\dots i_{k})$ из $W$. Тогда, вплоть до проективизации, $\{W_{i_{1},\dots ,i_{k}}\}$ – координаты Плюккера элемента ${\mathcal {W}}\sim [W]\in \mathbf {Gr} (k,V)$ однородные координаты которых $W$. Это линейные координаты изображения $\iota ({\mathcal {W}})$ из ${\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)$ по карте Плюкера относительно стандартного базиса во внешнем пространстве ${\textstyle \bigwedge }^{k}V$. Изменение базиса, определяющего однородную координатную матрицу $M$ просто меняет координаты Плюкера на ненулевой масштабный коэффициент, равный определителю изменения базисной матрицы $g$, и, следовательно, просто представитель класса проективной эквивалентности в ${\textstyle \bigwedge }^{k}V$.

Для любых двух упорядоченных последовательностей:

$i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k-1},\quad j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k+1}$

положительных целых чисел $1\leq i_{l},j_{m}\leq n$, справедливы следующие однородные уравнения, которые определяют образ ${\mathcal {W}}$ по карте Плюкера:

$\sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{l}W_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}W_{j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l},\dots j_{k+1}}=0,$ ( 1 )

где $j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l}\dots j_{k+1}$ обозначает последовательность $j_{1},\dots ,\dots j_{k+1}$ с термином $j_{l}$ опущен. Их обычно называют отношениями Плюкера .

Когда dim( V ) = 4 и k = 2 , мы получаем $\mathbf {Gr} (2,V)$, простейший грассманиан, который не является проективным пространством, и все вышесказанное сводится к одному уравнению. Обозначая координаты ${\textstyle \bigwedge }^{2}V$ к

$W_{ij}=-W_{ji},\quad 1\leq i,j\leq 4,$

образ $\mathbf {Gr} (2,V)$ при отображении Плюкера определяется единственным уравнением

$W_{12}W_{34}-W_{13}W_{24}+W_{14}W_{23}=0.$

В общем, для определения образа вложения Плюккера необходимо гораздо больше уравнений, как в ( 1 ), но они, вообще говоря, не являются алгебраически независимыми . Максимальное число алгебраически независимых отношений (на открытых множествах Зарисского) определяется разницей размеров между $\mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)$ и $\mathbf {Gr} (k,V)$, что ${\tbinom {n}{k}}-k(n-k)-1.$

Дальнейшее чтение

• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Том 227. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-23707-0 . Збл   1090.13001 .