Четвертая, пятая и шестая производные положения.

Производные по времени от позиции

В физике четвертая , пятая и шестая производные положения определяются как производные вектора положения по времени , причем первая, вторая и третья производные представляют собой скорость , ускорение и рывок соответственно. Производные более высокого порядка встречаются реже, чем первые три; таким образом, их имена не стандартизированы, хотя концепция минимальной траектории привязки использовалась в робототехнике и реализована в MATLAB .

Четвертая производная называется snap , поэтому пятая и шестая производные выглядят «иногда несколько шутливо». под названием «треск и поп» , вдохновленный Rice Krispies талисманами Snap, Crackle и Pop . Четвертую производную еще называют прыжком .

Четвертая производная (щелчок/отскок)

Щелчок, или подпрыгнуть, четвертая производная вектора положения по времени или скорость изменения рывка — по времени. Эквивалентно, это вторая производная ускорения или третья производная скорости ,и определяется любым из следующих эквивалентных выражений: $${\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.$$В гражданском строительстве проектирование железнодорожных путей и дорог предполагает минимизацию защелкивания, особенно вокруг изгибов с разными радиусами кривизны . Когда привязка постоянна, рывок изменяется линейно, обеспечивая плавное увеличение радиального ускорения , а когда, что предпочтительно, привязка равна нулю, изменение радиального ускорения является линейным. Минимизация или устранение привязки обычно выполняется с использованием математической клотоидной функции. Минимизация оснастки повышает производительность станков и американских горок.

Следующие уравнения используются для постоянной привязки: $${\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned}}$$

где

• ${\vec {s}}$ это постоянная привязка,
• ${\vec {\jmath }}_{0}$ это первоначальный рывок,
• ${\vec {\jmath }}$ это последний придурок,
• ${\vec {a}}_{0}$ - начальное ускорение,
• ${\vec {a}}$ конечное ускорение,
• ${\vec {v}}_{0}$ - начальная скорость,
• ${\vec {v}}$ конечная скорость,
• ${\vec {r}}_{0}$ это исходное положение,
• ${\vec {r}}$ это конечная позиция,
• $t$ время между начальным и конечным состояниями.

Обозначения ${\vec {s}}$ (используется Виссером ) не следует путать с вектором смещения, обычно обозначаемым аналогичным образом.

Размеры привязки — это расстояние в четвертой степени времени (LT ⁻⁴ ). Соответствующая единица СИ — метр в секунду в четвертой степени, м/с. ⁴ , m⋅s ⁻⁴ .

Пятая производная

Пятую производную вектора положения по времени иногда называют потрескиванием. Это скорость изменения привязки по отношению ко времени. Треск определяется любым из следующих эквивалентных выражений: $${\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}$$

Следующие уравнения используются для постоянного потрескивания: $${\begin{aligned}{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t\\[1ex]{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}\\[1ex]{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}\\[1ex]{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}\\[1ex]{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}\end{aligned}}$$

где

• ${\vec {c}}$ : постоянный треск,
• ${\vec {s}}_{0}$ : начальная привязка,
• ${\vec {s}}$ : последний снимок,
• ${\vec {\jmath }}_{0}$ : начальный рывок,
• ${\vec {\jmath }}$ : последний рывок,
• ${\vec {a}}_{0}$ : начальное ускорение,
• ${\vec {a}}$ : окончательное ускорение,
• ${\vec {v}}_{0}$ : начальная скорость,
• ${\vec {v}}$ : конечная скорость,
• ${\vec {r}}_{0}$ : исходное положение,
• ${\vec {r}}$ : конечная позиция,
• $t$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры кракле LT. ⁻⁵ . Соответствующая единица измерения СИ — м/с. ⁵ .

Шестая производная

Шестую производную вектора положения по времени иногда называют поп. Это скорость изменения потрескивания во времени. Pop определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

$${\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}$$

Следующие уравнения используются для постоянного пульса: $${\begin{aligned}{\vec {c}}&={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t\\{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}\\{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\tfrac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}\end{aligned}}$$

где

• ${\vec {p}}$ : постоянный хлопок,
• ${\vec {c}}_{0}$ : начальный треск,
• ${\vec {c}}$ : финальный треск,
• ${\vec {s}}_{0}$ : начальная привязка,
• ${\vec {s}}$ : последний снимок,
• ${\vec {\jmath }}_{0}$ : начальный рывок,
• ${\vec {\jmath }}$ : последний рывок,
• ${\vec {a}}_{0}$ : начальное ускорение,
• ${\vec {a}}$ : окончательное ускорение,
• ${\vec {v}}_{0}$ : начальная скорость,
• ${\vec {v}}$ : конечная скорость,
• ${\vec {r}}_{0}$ : исходное положение,
• ${\vec {r}}$ : конечная позиция,
• $t$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры поп-музыки: LT. ⁻⁶ . Соответствующая единица измерения СИ — м/с. ⁶ .

Внешние ссылки

• Словарное определение прыжка в Викисловаре