Расположение гиперплоскостей

В геометрии и комбинаторике расположение гиперплоскостей это расположение конечного A гиперплоскостей , в линейном — аффинном или проективном пространстве S. множества Вопросы о расположении гиперплоскостей A обычно касаются геометрических, топологических или других свойств дополнения M , ( A ) которое представляет собой набор, который остается, когда гиперплоскости удаляются из всего пространства. Можно задаться вопросом, как эти свойства связаны с расположением и полурешеткой его пересечения.Полурешетка пересечений ; A представляет , обозначаемая ) , L(A собой набор всех подпространств , полученных пересечением некоторых гиперплоскостей среди этих подпространств есть само S , все отдельные гиперплоскости, все пересечения пар гиперплоскостей и т. д. (исключая в аффинном случае пустое множество). Эти подпространства пересечения A A называются плоскостями также . Полурешетка пересечений L ( A ) частично упорядочена обратным включением .

Если все пространство S двумерно, гиперплоскости являются линиями ; такое расположение часто называют расположением линий . Исторически сложилось так, что первыми исследованными были реальные расположения линий. Если S трехмерен, у него есть расположение плоскостей .

Общая теория [ править ]

Полурешетка пересечения и матроид [ править ]

Полурешетка пересечений L ( A ) является полурешеткой встреч, а точнее, геометрической полурешеткой . Если расположение линейное или проективное, или если пересечение всех гиперплоскостей непусто, решетка пересечений является геометрической решеткой .(Вот почему полурешетка должна быть упорядочена путем обратного включения, а не путем включения, которое может показаться более естественным, но не приведет к созданию геометрической (полу)решетки.)

Когда L ( A ) является решеткой, матроид A ( , записанный M ( A ), имеет A в качестве основного множества и имеет функцию ранга r I S ) := codim( ) , где S — любое подмножество A и I является пересечением гиперплоскостей в S . В общем, когда L ( A ) является полурешеткой, существует аналогичная матроидная структура, называемая полуматроидом , которая является обобщением матроида (и имеет такое же отношение к полурешетке пересечений, как матроид к решетке в случай решетки), но не является матроидом, если L ( A ) не является решеткой.

Полиномы [ править ]

Для подмножества B из A определим f ( B ) := пересечение гиперплоскостей в B ; это S , если B пуст. Характеристический полином A , записанный p _A ( y ), может быть определен формулой

p_{A}(y):=\sum _{B}(-1)^{|B|}y^{\dim f(B)},

суммируется по всем подмножествам B из A, за исключением, в аффинном случае, подмножеств, пересечение которых пусто. (Размерность пустого множества определяется как −1.) Этот полином помогает решить некоторые основные вопросы; см. ниже.Другой полином, связанный с A, — это полином числа Уитни w _A ( x , y ), определяемый формулой

w_{A}(x,y):=\sum _{B}x^{n-\dim f(B)}\sum _{C}(-1)^{|C-B|}y^{\dim f(C)},

суммированные по B ⊆ C ⊆ A такие, что f ( B ) непусто.

Будучи геометрической решеткой или полурешеткой, L ( A ) имеет характеристический многочлен p _{L ( A )} ( y ), который имеет обширную теорию (см. матроид ). Таким образом, полезно знать, что p _A ( y ) = y ^я p _{L ( A )} ( y ), где i — наименьший размер любой квартиры, за исключением того, что в проективном случае он равен y ^{я + 1}играть _{) .} Полином числа Уитни для A аналогичен полиному для L ( A ). (Пустое множество исключается из полурешетки в аффинном случае специально для того, чтобы эти отношения были действительными.)

Алгебра Орлика–Соломона [ править ]

Полурешетка пересечений определяет другой комбинаторный инвариант расположения — алгебру Орлика–Соломона . Чтобы определить его, зафиксируйте коммутативное подкольцо K основного поля и сформируйте внешнюю алгебру E векторного пространства.

\bigoplus _{H\in A}Ke_{H}

порожденные гиперплоскостями.Цепная комплексная структура определяется на E обычным граничным оператором $\partial$ .Тогда алгебра Орлика–Соломона представляет собой фактор E по идеалу , порожденному элементами вида $e_{H_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{H_{p}}$ для чего $H_{1},\dots ,H_{p}$ имеют пустое пересечение, а границами элементов одного и того же вида, для которых $H_{1}\cap \cdots \cap H_{p}$ имеет коразмерность меньше p .

Реальные аранжировки [ править ]

В реальном аффинном пространстве дополнение несвязно: оно состоит из отдельных частей, называемых ячейками , областями или камерами , каждая из которых представляет собой либо ограниченную область, представляющую собой выпуклый многогранник , либо неограниченную область, представляющую собой выпуклую многогранную область, которая идет до бесконечности. Каждая плоскость A также разделена на части гиперплоскостями, не содержащими плоскость; называются гранями A эти части . Области — это лица, потому что все пространство — плоское. Грани коразмерности 1 можно фасетами A назвать . Полурешетка граней компоновки — это совокупность всех граней, упорядоченных по включению . Добавление дополнительного верхнего элемента к полурешетке грани дает решетку грани .

В двух измерениях (т. е. в вещественной аффинной плоскости ) каждая область представляет собой выпуклый многоугольник (если он ограничен) или выпуклую многоугольную область, уходящую в бесконечность.

Например, если расположение состоит из трех параллельных линий, полурешетка пересечения состоит из плоскости и трех линий, а не из пустого набора. Есть четыре региона, ни один из которых не ограничен.
Если мы добавим линию, пересекающую три параллели, то полурешетка пересечения будет состоять из плоскости, четырех прямых и трех точек пересечения. Есть восемь регионов, но ни один из них не ограничен.
Если добавить еще одну линию, параллельную последней, то получится 12 областей, из которых две — ограниченные параллелограммы .

Типичные проблемы, связанные с расположением n -мерного реального пространства, заключаются в том, чтобы выяснить, сколько существует областей, или сколько граней 4-го измерения, или сколько ограниченных областей. На эти вопросы можно ответить, исходя только из полурешетки пересечения. Например, две основные теоремы Заславского (1975) заключаются в том, что количество областей аффинного расположения равно (-1). ^нp _A (−1) и количество ограниченных областей равно (−1) ^нп _А (1). Аналогично, количество k -мерных граней или ограниченных граней можно считать коэффициентом при x ^{n − k} через (−1) ^н w _A (− x , −1) или (−1) ^нш _А (− х , 1).

Мейзер (1993) разработал быстрый алгоритм для определения грани набора гиперплоскостей, содержащих входную точку.

Другой вопрос о расположении в реальном пространстве — решить, сколько областей являются симплексами ( n -мерное обобщение треугольников и тетраэдров ). На этот вопрос нельзя ответить, основываясь исключительно на полурешетке пересечений. Проблема Макмаллена требует наименьшего расположения данного измерения в общем положении в реальном проективном пространстве , для которого не существует ячейки, которой касаются все гиперплоскости.

Реальная линейная структура, помимо лицевой полурешетки, имеет частично упорядоченный набор областей , свой для каждой области. Это частично упорядоченное множество формируется путем выбора произвольной базовой области B ₀ и связывания с каждой областью R множества S ( R ), состоящего из гиперплоскостей, которые отделяют R от B . Области частично упорядочены так, R2 _S , если _≥ ( R1 , R _R1 ) содержит S ( R2 , _R что ) . В частном случае, когда гиперплоскости возникают из системы корней , результирующее частичное множество представляет собой соответствующую группу Вейля со слабым порядком. В общем, частично упорядоченное множество регионов ранжируется по количеству разделяющих гиперплоскостей и его функция Мёбиуса вычисляется ( Эдельман, 1984 ).

Вадим Шехтман и Александр Варченко представили матрицу, индексируемую по регионам. Матричный элемент для региона $R_{i}$ и $R_{j}$ задается произведением неопределенных переменных $a_{H}$ для каждой гиперплоскости H, разделяющей эти две области. Если все эти переменные имеют значение q, то это называется q-матрицей (в евклидовой области $\mathbb {Q} [q]$ ) для расположения, и большая часть информации содержится в его нормальной форме Смита .

Сложные аранжировки [ править ]

В комплексном аффинном пространстве (которое трудно визуализировать, поскольку даже комплексная аффинная плоскость имеет четыре действительных измерения) дополнение соединено (все одно целое) с дырками, из которых были удалены гиперплоскости.

Типичная задача, связанная с расположением в сложном пространстве, — описание дыр.

Основная теорема о комплексных расположениях состоит в том, что когомологии дополнения M ( A ) полностью определяются полурешеткой пересечений. Точнее, кольцо когомологий M ( A ) (с целыми коэффициентами) изоморфно алгебре Орлика–Соломона на Z .

Изоморфизм может быть описан явно и дает представление когомологий в терминах образующих и отношений, где образующие представлены (в когомологиях де Рама ) в виде логарифмических дифференциальных форм.

{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d\alpha }{\alpha }}.

с $\alpha$ любая линейная форма, определяющая общую гиперплоскость расположения.

Технические подробности [ править ]

Иногда удобно позволить вырожденной гиперплоскости , которая представляет собой все пространство S , принадлежать некоторому расположению. Если A содержит вырожденную гиперплоскость, то она не имеет областей, поскольку дополнение пусто. Однако у него все еще есть плоские поверхности, полурешетка пересечений и грани. Предыдущее обсуждение предполагает, что вырожденная гиперплоскость отсутствует в расположении.

Иногда хочется допустить в компоновке повторяющиеся гиперплоскости. Мы не рассматривали эту возможность в предыдущем обсуждении, но это не имеет существенного значения.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

«Расположение гиперплоскостей» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Эдельман, Пол Х. (1984), «Частичный порядок в регионах $\mathbb {R} ^{n}$ рассеченный гиперплоскостями», Transactions of the American Mathematical Society , 283 (2): 617–631, CiteSeerX 10.1.1.308.820 , doi : 10.2307/1999150 , JSTOR 1999150 , MR 0737888 .
Мейзер, Стефан (1993), «Расположение точек в расположении гиперплоскостей», Information and Computation , 106 (2): 286–303, doi : 10.1006/inco.1993.1057 , MR 1241314 .
Орлик, Петр ; Терао, Хироаки (1992), Расположение гиперплоскостей , Фундаментальные принципы математических наук, том. 300, Берлин: Springer-Verlag, номер номера : 10.1007/978-3-662-02772-1 , ISBN. 978-3-642-08137-8 , МР 1217488 .
Стэнли, Ричард (2011). «3.11 Расположение гиперплоскостей». Перечислительная комбинаторика . Том. 1 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107602625 .
Заславский, Томас (1975), «Встреча с расположениями: формулы подсчета граней для разделения пространства гиперплоскостями», Мемуары Американского математического общества , 1 (154), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/memo /0154 , МР 0357135 .