Расположение (пространственная перегородка)

В дискретной геометрии расположение — это разложение d-мерного линейного , аффинного или проективного пространства на связанные ячейки разных размерностей, вызванное конечным набором геометрических объектов, размерность которых обычно на единицу меньше размерности пространства. , и часто одного и того же типа, например гиперплоскости или сферы .

Определение

Для набора $A$ объектов в $\mathbb {R} ^{d}$ , ячейки в расположенииявляются компонентами связности множеств вида $(\cap X)\setminus \cup (A\setminus X)$ для подмножеств $X$ из $A$ . То есть для каждого $X$ ячейки — это связные компоненты точек, принадлежащих каждому объекту в $X$ и не принадлежат никакому другому объекту. Например, ячейки расположения прямых на евклидовой плоскости бывают трех типов:

Изолированные точки, для которых $X$ — это подмножество всех линий, проходящих через точку.
Отрезки линий или лучи, для которых $X$ представляет собой одноэлементный набор из одной строки. Сегмент или луч — это связный компонент точек, принадлежащих только этой линии, а не какой-либо другой линии. $A$
Выпуклые многоугольники (возможно, неограниченные), для которых $X$ — пустое множество, а его пересечение ( пустое пересечение ) — всё пространство. Эти многоугольники представляют собой связные компоненты подмножества плоскости, образованного удалением всех линий из $A$ .

Виды аранжировки

Особый интерес представляют расположение прямых и расположение гиперплоскостей .

В более общем плане геометры изучали расположение других типов кривых на плоскости и других, более сложных типов поверхностей. ^[1] расположения в комплексных векторных пространствах Также изучались ; поскольку комплексные прямые не делят комплексную плоскость на множество связных компонентов, комбинаторика вершин, ребер и ячеек не применима к этим типам пространства, но изучение их симметрии и топологических свойств по-прежнему представляет интерес. ^[2]

Приложения

Интерес к изучению механизмов был вызван достижениями в области вычислительной геометрии , где механизмы объединяли структуры для многих задач. Достижения в изучении более сложных объектов, таких как алгебраические поверхности , способствовали появлению «реальных» приложений, таких как планирование движения и компьютерное зрение . ^[3]

Ссылки

^ Агарвал, ПК ; Шарир, М. (2000), «Устройства и их применение», в Саке, Ж.-Р. ; Уррутиа, Дж. (ред.), Справочник по вычислительной геометрии , Elsevier, стр. 49–119, заархивировано из оригинала 10 июня 2007 г.
^ Орлик, П.; Терао, Х. (1992), Расположение гиперплоскостей , Основы математических наук, том. 300, Спрингер Верлаг .
^ Гальперин, Дэн (2004), «Аранжировки», Справочник по дискретной и вычислительной геометрии (2-е изд.), ISBN 978-1-58488-301-2 .

[as00-1] Агарвал, ПК ; Шарир, М. (2000), «Устройства и их применение», в Саке, Ж.-Р. ; Уррутиа, Дж. (ред.), Справочник по вычислительной геометрии , Elsevier, стр. 49–119, заархивировано из оригинала 10 июня 2007 г.

[2] Орлик, П.; Терао, Х. (1992), Расположение гиперплоскостей , Основы математических наук, том. 300, Спрингер Верлаг .

[3] Гальперин, Дэн (2004), «Аранжировки», Справочник по дискретной и вычислительной геометрии (2-е изд.), ISBN 978-1-58488-301-2 .

[1]

[2]

[3]