Проблема со скрещенными лестницами

Проблема скрещенных лестниц — это головоломка неизвестного происхождения, которая появлялась в различных публикациях и регулярно вновь появляется на веб-страницах и в дискуссиях в сети Usenet .

Проблема

Перекрещенные лестницы длин a и b . h — половина значения среднего гармонического A и B ; эквивалентно, обратные величины A B и ( суммируются с обратной величиной h оптическое уравнение ). По данным a, b и h найдите w .

Две лестницы длиной a и b лежат напротив переулка, как показано на рисунке. Лестницы пересекаются на высоте h над полом переулка. Какова ширина переулка?

Мартин Гарднер представляет и обсуждает проблему в своей книге математических головоломок, опубликованной в 1979 году, и цитирует ссылки на нее еще в 1895 году. Проблема скрещенных лестниц может проявляться в различных формах, с вариациями в названии, с использованием различных длин и высот или с требованием необычных решений, например, в случаях, когда все значения являются целыми числами. Его очарование приписывают кажущейся простоте, которая может быстро превратиться в «алгебраическую путаницу» (характеристика, которую Гарднер приписал Д. Ф. Черчу ).

Решение

описания задачи следует, что w > 0, a > w Из и длин b > w , h > 0 и A > h , B > h , где A и B — высоты стен, где стороны b и соответственно худой (как на графике выше).

Оба метода решения, представленные ниже, основаны на том свойстве, что A , B и h удовлетворяют оптическому уравнению , т.е. ${\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}},$, что можно увидеть следующим образом:

Разделите базовую линию на две части в той точке, где она пересекается. $h$и вызываем левую и правую части $w_{1}$ и $w_{2}$ соответственно. Угол, где $a$ встречается $w$ является общим для двух подобных треугольников с основаниями $w$ и $w_{1}$ соответственно. Угол, где $b$ встречается $w$ является общим для двух подобных треугольников с основаниями $w$ и $w_{2}$ соответственно. Это говорит нам о том, что

${\frac {B}{w}}={\frac {h}{w_{1}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {A}{w}}={\frac {h}{w_{2}}},\quad {\text{where}}\quad w_{1}>0,w_{2}>0,$

которые мы затем можем переупорядочить (используя $w_{1}+w_{2}=w$) получить

${\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}={\frac {1}{h}}.$

Первый метод

Два утверждения теоремы Пифагора (см. рисунок выше)

$A^{2}+w^{2}=b^{2}$

и

$B^{2}+w^{2}=a^{2}$

можно вычесть одно из другого, чтобы исключить w , и результат можно объединить с ${\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}}$ с поочередным решением A или B с получением уравнений четвертой степени

$A^{4}-2hA^{3}+(h-A)^{2}(a^{2}-b^{2})=0,$

$B^{4}-2hB^{3}+(h-B)^{2}(b^{2}-a^{2})=0.$

Их можно решить алгебраически или численно для высоты стен A и B можно использовать теорему Пифагора для одного из треугольников , а для определения ширины w .

Второй метод

Задачу можно свести к уравнению четвертой степени x ³ ( x − c ) − 1 = 0 , что можно решить методами аппроксимации, как предложил Гарднер, или квартику можно решить в замкнутой форме методом Феррари . Как только x получен, можно легко вычислить ширину переулка. Ниже приведен вывод квартики вместе с желаемой шириной с точки зрения решения квартики. Обратите внимание, что запрошенное неизвестное w не появляется непосредственно в большинстве выводов.

От ${\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}},$ мы получаем

${\text{(Eq. 1)}}\quad AB=h(A+B).$

Используя теорему Пифагора , мы видим, что

$w^{2}+B^{2}=a^{2}$ и $w^{2}+A^{2}=b^{2}.$

Изолируя $w^{2}$ в обоих уравнениях мы видим, что

$a^{2}-B^{2}=b^{2}-A^{2},$

которые можно переставить и учесть

${\text{(Eq. 2)}}\quad a^{2}-b^{2}=(B+A)(B-A).$

Возведите (уравнение 2) в квадрат и объедините с (уравнение 1):

$(a^{2}-b^{2})^{2}=(B+A)^{2}(B-A)^{2},$

$(a^{2}-b^{2})^{2}=(B+A)^{2}(B^{2}-2AB+A^{2}).$

Переставить, чтобы получить

$(a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}(A^{2}+B^{2}-2AB).$

Затем

$(a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}(A^{2}+B^{2}+2AB-4AB),$

$(a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}{\big (}(A^{2}+2AB+B^{2})-4AB{\big )},$

$(a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}{\big (}(A+B)^{2}-4AB{\big )}.$

Теперь объедините с (уравнением 1):

$(a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}{\big (}(A+B)^{2}-4h(A+B){\big )},$

$(a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}(A+B){\big (}(A+B)-4h{\big )}.$

Окончательно,

${\text{(Eq. 3)}}\quad (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{3}(A+B-4h).$

Позволять

$x={\frac {A+B}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}},$

$c={\frac {4h}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}.$

Затем

$x^{3}(x-c)-1=0.$ (то же, что и в уравнении 3, но с обратными сторонами)

Приведенное выше уравнение четвертой степени можно решить относительно x любым доступным методом. Затем ширина переулка определяется с использованием значения, найденного для x :

$A+B=A+{\sqrt {A^{2}+(a^{2}-b^{2})}}$

можно использовать для поиска A , а w , наконец, можно найти с помощью

$w={\sqrt {b^{2}-A^{2}}}.$

Уравнение четвертой степени имеет четыре решения, и только одно решение этого уравнения соответствует представленной задаче. Другое решение — для случая, когда одна лестница (и стена) находится ниже уровня земли, а другая — над уровнем земли. В этом случае лестницы фактически не пересекаются, а их удлинения пересекаются на заданной высоте. Два других решения представляют собой пару сопряженных комплексных чисел. В уравнении явно не определены длины лестниц, а только разница их квадратов, поэтому можно принять длину как любое значение, при котором они пересекаются, а расстояние между стенами будет определяться как расстояние между местами, где лестницы пересекают стены.

Когда расстояние между стенами приближается к нулю, высота пересечения приближается к $h={\frac {ab}{a+b}}.$ Это потому, что ${\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}}$ (доказано в начале) подразумевает $h={\tfrac {AB}{A+B}},$ и когда w стремится к нулю, b переходит в A , а a переходит в B согласно верхней диаграмме.

Поскольку решения уравнения включают квадратные корни, отрицательные корни в равной степени действительны. Их можно интерпретировать как лестницы и стены, находящиеся ниже уровня земли, и при этом в противоположном смысле их можно менять местами.

Сложные решения можно интерпретировать как стену A, наклоненную влево или вправо, и стену B, расположенную под землей, поэтому пересечение происходит между продолжениями лестниц, как показано для случая a , b , h = 3, 2, 1. Лестницы a и б и $a^{2}-b^{2}$ не такие, как указано. База w является функцией A , B и h , а комплексные значения A и B можно найти из альтернативной квартики

$x^{4}-2hx^{3}+Dx^{2}-2hDx+h^{2}D=0$

где D является $a^{2}-b^{2}$ на одну стену и $b^{2}-a^{2}$ для другого (±5 в примере). Обратите внимание, что мнимые решения горизонтальны, а действительные – вертикальны. Величина D находится в решении как действительная часть разности квадратов комплексных координат двух стен. Мнимая часть = 2 X _a Y _a = 2 X _b Y _b (стены a и b ). Короткая лестница в сложном решении в случае 3, 2, 1 кажется наклоненной на 45 градусов, но на самом деле немного меньше с тангенсом 0,993. Другие комбинации длины лестницы и высоты перемычки имеют сопоставимые сложные решения. В комбинации 105, 87, 35 тангенс короткой лестницы равен примерно 0,75.

Целочисленные решения

Существуют решения, в которых все параметры являются целыми числами. Например, ( а, б, А, В, ш ₁ , ш ₂ , ш , час ) = (119, 70, 42, 105, 16, 40, 56, 30). Такие решения включают тройки Пифагора для двух прямоугольных треугольников со сторонами ( A , w , b ) и ( B , w , a ) и целочисленные решения оптического уравнения ${\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}}.$

Применение для складывания бумаги

Сложение прямоугольного листа бумаги втрое с помощью задачи о скрещенных лестницах

Оптическое уравнение задачи о скрещенных лестницах можно применить к складыванию прямоугольной бумаги на три равные части:

⁠ 1 / 1/2 ⁠ + ⁠ 1 / 1 ⁠ = ⁠ 1 / h ⁠   ∴   2 + 1 = ⁠ 1 / час ⁠ ∴ час = ⁠ 1 / 2 + 1 ⁠ = ⁠ 1 / 3 ⁠

Одна сторона (левая на иллюстрации) частично сложена пополам и зажата, чтобы оставить след. Пересечение линии от этой отметки до противоположного угла (красного) с диагональю (синего) находится ровно на одну треть от нижнего края. Затем верхний край можно согнуть вниз до места пересечения.

Это также ровно одна треть по горизонтали от левого края; если сложить правый край до точки пересечения, можно сложить бумагу втрое по длине.

Точно так же, сложив левую сторону дважды, чтобы получить четверти, можно сложить лист на пять равных частей:

⁠ 1 / 1/4 ⁠ + ⁠ 1 / 1 ⁠ = ⁠ 1 / ч′ ⁠ ∴ 4 + 1 = ⁠ 1 / час' ⁠ ∴ час ' = ⁠ 1 / 4 + 1 ⁠ = ⁠ 1 / 5 ⁠

а сложив его трижды, чтобы получить восьмерки, можно сложить лист на девять равных частей и т. д.:

⁠ 1 / 1/8 ⁠ + ⁠ 1 / 1 ⁠ = ⁠ 1 / ч″ ⁠ ∴ 8 + 1 = ⁠ 1 / ч″ ⁠ ∴ ч″ = ⁠ 1 / 8 + 1 ⁠ = ⁠ 1 / 9 ⁠

Расширенная теорема о скрещенных лестницах

Теорема о скрещенных лестницах была распространена на скрещенные лестницы внутри треугольника. В 2002 году Гарольд Джозеф Стенгель (1947–2007), американский учитель математики в средней школе, доказал расширенную теорему.

Пусть AC — основание треугольника ABC. Пусть лестница (линия) AD имеет подножие в точке А и пересекает BC в точке D; аналогично, пусть лестница CE имеет основание в точке C и пересекает AB в точке E. Пусть AD пересекает CE в точке F. Продолжите параллельные прямые из точек E, B, F и D, пересекая AC в точках I, G, J и Х соответственно. Затем

⁠ 1 / EI ⁠ + ⁠ 1 / DH ⁠ = ⁠ 1 / FJ ⁠ + ⁠ 1 / BG ⁠

откуда следует, что

⁠ 1 / площадь (△ AEC) ⁠ + ⁠ 1 / площадь (△ АЦП) ⁠ = ⁠ 1 / площадь (△ АФК) ⁠ + ⁠ 1 / площадь (△ ABC) ⁠ .

См. также

• Правая трапеция , четырехугольник с вершинами вверху и внизу двух лестниц.

Внешние ссылки

• Теорема о скрещенных лестницах Джея Варендорфа, Демонстрационный проект Wolfram .
• Решение головоломки о пересекающихся лестницах (с помощью Python, GNU GSL, Octave, Maxima и Sage) .