Теорема Якоби (геометрия)

Соседние цветные углы равны. Точка N является точкой Якоби для треугольника △ ABC и этих углов.

В плоской геометрии точка Якоби — это точка на евклидовой плоскости, определяемая треугольником △ ABC и тройкой углов α, β, γ . Этой информации достаточно, чтобы определить три точки X, Y, Z такие, что $${\begin{aligned}\angle ZAB&=\angle YAC&=\alpha ,\\\angle XBC&=\angle ZBA&=\beta ,\\\angle YCA&=\angle XCB&=\gamma .\end{aligned}}$$Тогда по теореме Карла Фридриха Андреаса Якоби прямые , BY, CZ совпадают AX , в точке N, называемой точкой Якоби.

Точка Якоби является обобщением точки Ферма , которая получается, если α = β = γ = 60° и △ ABC, не имеющая угла, большего или равного 120°.

Если три угла выше равны, то N лежит на прямоугольной гиперболе, заданной в площадных координатах выражением

$$yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0,$$

что является гиперболой Киперта . Каждый выбор трех равных углов определяет центр треугольника .

Точку Якоби можно дополнительно обобщить следующим образом: точки K , L , M , N , O и P построены Если на сторонах треугольника ABC так, что BK/KC = CL/LB = CM/MA = AN/NC = AO/OB = BP/PA , треугольники OPD , KLE и MNF построены так, что ∠ DOP = ∠ FNM , ∠ DPO = ∠ EKL , ∠ ELK = ∠ FMN и треугольники LMY , NOZ и PKX соответственно подобны треугольникам OPD , KLE и MNF , тогда DY , EZ и FX являются совпадающими .

Внешние ссылки

• Простое доказательство теоремы Якоби, написанное Костасом Виттасом.
• Обобщение Ферма-Торричелли в эскизах динамической геометрии. Первый интерактивный эскиз обобщает точку Ферма-Торричелли до точки Якоби, а второй дает дальнейшее обобщение точки Якоби.