Самолет Минковского

Эта статья о самолете Бенца. Не путать с пространством Минковского .

В математике плоскость Минковского (названная в честь Германа Минковского ) — это одна из плоскостей Бенца (остальные — плоскость Мёбиуса и плоскость Лагерра ).

Классический настоящий самолет Минковского.

Классический самолет Минковского: 2d/3d-модель

Применение псевдоевклидова расстояния $d(P_{1},P_{2})=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2})^{2}$ по двум пунктам $P_{i}=(x'_{i},y'_{i})$ (вместо евклидового расстояния) получаем геометрию гипербол , потому что псевдоевклидова окружность $\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}$ это гипербола со средней точкой ⁠ $M$⁠ .

Преобразованием координат ⁠ $x_{i}=x'_{i}+y'_{i}$⁠ , ⁠ $y_{i}=x'_{i}-y'_{i}$⁠ псевдоевклидово расстояние можно переписать как ⁠ $d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})$⁠ . Тогда гиперболы имеют асимптоты , параллельные нештрихованным координатным осям.

Следующее пополнение (см. плоскости Мёбиуса и Лагерра) гомогенизирует геометрию гипербол:

• набор точек : $${\mathcal {P}}:=\left(\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}\right)^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \left(\left\{\infty \right\}\times \mathbb {R} \right)\cup \left(\mathbb {R} \times \left\{\infty \right\}\right)\ \cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\ ,\ \infty \notin \mathbb {R} ,$$
• набор циклов $${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:={}&\left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax+b\right\}\cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\mid a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}\\&\quad \cup \left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\frac {a}{x-b}}+c,x\neq b\right\}\cup \left\{\left(b,\infty \right),\left(\infty ,c\right)\right\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}.\end{aligned}}$$

Структура заболеваемости $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ называется классической действительной плоскостью Минковского .

Набор точек состоит из ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$⁠ , два экземпляра $\mathbb {R}$ и точка ⁠ $(\infty ,\infty )$⁠ .

Любая линия $y=ax+b,a\neq 0$ завершается пунктом ⁠ $(\infty ,\infty )$⁠ , любая гипербола $y={\frac {a}{x-b}}+c,a\neq 0$ по двум пунктам $(b,\infty ),(\infty ,c)$ (см. рисунок).

Две точки $(x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})$ не может быть соединено циклом тогда и только тогда, когда $x_{1}=x_{2}$ или ⁠ $y_{1}=y_{2}$⁠ .

Мы определяем:Две точки $P_{1}$, $P_{2}$ параллельны (+)- ( ⁠ $P_{1}\parallel _{+}P_{2}$⁠ ), если $x_{1}=x_{2}$ и (−)-параллельно ( ⁠ $P_{1}\parallel _{-}P_{2}$⁠ ), если ⁠ $y_{1}=y_{2}$⁠ .
Оба эти отношения являются отношениями эквивалентности на множестве точек.

Две точки $P_{1},P_{2}$ называются параллельными ( ⁠ $P_{1}\parallel P_{2}$⁠ ), если $P_{1}\parallel _{+}P_{2}$ или ⁠ $P_{1}\parallel _{-}P_{2}$⁠ .

Из определения выше находим:

Лемма:

• Для любой пары непараллельных точек ⁠ $A$⁠ , $B$ есть ровно одна точка $C$ с ⁠ $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$⁠ .
• Для любой точки $P$ и любой цикл $z$ есть ровно две точки $A,B\in z$ с ⁠ $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$⁠ .
• За любые три точки ⁠ $A$⁠ , ⁠ $B$⁠ , ⁠ $C$⁠ , попарно непараллельный, существует ровно один цикл $z$ который содержит ⁠ $A,B,C$⁠ .
• Для любого цикла ⁠ $z$⁠ , любая точка $P\in z$ и любая точка $Q,P\not \parallel Q$ и $Q\notin z$ существует ровно один цикл $z'$ такой, что ⁠ $z\cap z'=\{P\}$⁠ , т.е. $z$ касается $z'$ в точке ⁠ $P$⁠ .

Подобно классическим плоскостям Мёбиуса и Лагерра, плоскости Минковского можно описать как геометрию плоских сечений подходящей квадрики. Но в этом случае квадрика живет в проективном трехмерном пространстве: классическая вещественная плоскость Минковского изоморфна геометрии плоских сечений однолистного гиперболоида (невырожденной квадрики индекса 2).

Аксиомы плоскости Минковского.

Позволять $\left({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in \right)$ — структура инцидентности с множеством ${\mathcal {P}}$ очков, набор ${\mathcal {Z}}$ циклов и два отношения эквивалентности $\parallel _{+}$ ((+)-параллельно) и $\parallel _{-}$ ((−)-параллельно) на множестве ${\mathcal {P}}$. Для $P\in {\mathcal {P}}$ мы определяем: ${\overline {P}}_{+}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{+}P\right\}$ и ${\overline {P}}_{-}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{-}P\right\}$.Класс эквивалентности ${\overline {P}}_{+}$ или ${\overline {P}}_{-}$ называется (+)-генератором и (−)-генератором соответственно. (Для пространственной модели классической плоскости Минковского образующей является линия на гиперболоиде.)
Две точки $A,B$ называются параллельными ( $A\parallel B$) если $A\parallel _{+}B$ или $A\parallel _{-}B$.

Структура заболеваемости ${\mathfrak {M}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ называется плоскостью Минковского, если выполняются следующие аксиомы:

Минковский-аксиомы-c1-c2

Минковский-аксиомы-c3-c4

• C1 : Для любой пары непараллельных точек. $A,B$ есть ровно одна точка $C$ с $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$.
• C2 : Для любой точки $P$ и любой цикл $z$ есть ровно две точки $A,B\in z$ с $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$.
• C3 : По любым трем пунктам $A,B,C$, попарно непараллельный, существует ровно один цикл $z$ который содержит $A,B,C$.
• C4 : Для любого цикла $z$, любая точка $P\in z$ и любая точка $Q,P\not \parallel Q$ и $Q\notin z$ существует ровно один цикл $z'$ такой, что $z\cap z'=\{P\}$, то есть, $z$ касается $z'$ в точку $P$.
• C5 : Любой цикл содержит минимум 3 точки. Есть хотя бы один цикл $z$ и точка $P$ не в $z$.

Для исследований полезны следующие утверждения о параллельных классах (эквивалентных C1, C2 соответственно).

• C1′ : Для любых двух точек ⁠ $A$⁠ , $B$ у нас есть ⁠ $\left|{\overline {A}}_{+}\cap {\overline {B}}_{-}\right|=1$⁠ .
• C2' : Для любой точки $P$ и любой цикл $z$ у нас есть: ⁠ $\left|{\overline {P}}_{+}\cap z\right|=1=\left|{\overline {P}}_{-}\cap z\right|$⁠ .

Первые следствия аксиом таковы:

Лемма — Для плоскости Минковского. ${\mathfrak {M}}$ следующее верно

1. Любая точка содержится хотя бы в одном цикле.
2. Любой генератор содержит минимум 3 точки.
3. Две точки можно соединить циклом тогда и только тогда, когда они не параллельны.

Аналогично плоскостям Мёбиуса и Лагерра получаем связь с линейнымгеометрия через вычеты.

Для самолета Минковского ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ и $P\in {\mathcal {P}}$ мы определяем локальную структуру $${\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus {\overline {P}},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{E\setminus {\overline {P}}\mid E\in {\mathcal {E}}\setminus \{{\overline {P}}_{+},{\overline {P}}_{-}\}\},\in )$$и назовем его остатком в точке P.

Для классической плоскости Минковского ${\mathfrak {A}}_{(\infty ,\infty )}$ это настоящая аффинная плоскость ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$⁠ .

Непосредственным следствием аксиом C1–C4 и C1′, C2′ являются следующие две теоремы.

Теорема . Для плоскости Минковского. ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel ,\in )$ любой остаток является аффинной плоскостью.

Теорема — Пусть будет ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ структура инцидентности с двумя отношениями эквивалентности $\parallel _{+}$ и $\parallel _{-}$ на съемочной площадке ${\mathcal {P}}$ баллов (см. выше).

Затем, ${\mathfrak {M}}$ является плоскостью Минковского тогда и только тогда, когда для любой точки $P$ остаток ${\mathfrak {A}}_{P}$ является аффинной плоскостью.

Минимальная модель

Самолет Минковского: минимальная модель

Минимальная модель плоскости Минковского может быть установлена ​​на множестве ${\overline {K}}:=\{0,1,\infty \}$ из трёх элементов: $${\mathcal {P}}:={\overline {K}}^{2}$$$${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:\!&=\left\{\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\}\mid \{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}={\overline {K}}\right\}\\&=\{\{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,0),(1,\infty ),(\infty ,1)\},\\&\qquad \{(0,1),(1,0),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,1),(1,\infty ),(\infty ,0)\},\\&\qquad \{(0,\infty ),(1,1),(\infty ,0)\},\;\{(0,\infty ),(1,0),(\infty ,1)\}\}\end{aligned}}$$

Параллельные точки:

• $(x_{1},y_{1})\parallel _{+}(x_{2},y_{2})$ тогда и только тогда, когда $x_{1}=x_{2}$
• $(x_{1},y_{1})\parallel _{-}(x_{2},y_{2})$ тогда и только тогда, когда ⁠ $y_{1}=y_{2}$⁠ .

Следовательно $\left|{\mathcal {P}}\right|=9$ и ⁠ $\left|{\mathcal {Z}}\right|=6$⁠ .

Конечные плоскости Минковского

Для конечных плоскостей Минковского из C1′, C2′ получаем:

Лемма — Пусть будет ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ конечная плоскость Минковского, т.е. $\left|{\mathcal {P}}\right|<\infty$. Для любой пары циклов $z_{1},z_{2}$ и любая пара генераторов $e_{1},e_{2}$ у нас есть: $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|e_{1}\right|=\left|e_{2}\right|$.

Отсюда возникает определение :
Для конечной плоскости Минковского ${\mathfrak {M}}$ и цикл $z$ из ${\mathfrak {M}}$ мы называем целое число $n=\left|z\right|-1$ порядок ​ ​ ${\mathfrak {M}}$.

Простые комбинаторные соображения дают

Лемма . Для конечной плоскости Минковского ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ верно следующее:

1. Любой остаток (аффинная плоскость) имеет порядок ⁠ $n$⁠ .
2. ⁠ $\left|{\mathcal {P}}\right|=(n+1)^{2}$⁠ ,
3. ⁠ $\left|{\mathcal {Z}}\right|=(n+1)n(n-1)$⁠ .

Микельские самолеты Минковского

Мы получаем наиболее важные примеры плоскостей Минковского, обобщая классическую реальную модель: Просто замените $\mathbb {R}$ по произвольному полю $K$ тогда мы в любом случае получим плоскость Минковского ⁠ ${\mathfrak {M}}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$⁠ .

Аналогично плоскостям Мёбиуса и Лагерра, теорема Микеля является характеристическим свойством плоскости Минковского ⁠ ${\mathfrak {M}}(K)$⁠ .

Теорема Михаила

Теорема (Микеля): Для плоскости Минковского ${\mathfrak {M}}(K)$ верно следующее:

Если для любых 8 попарно непараллельных точек $P_{1},...,P_{8}$ которые можно поставить в соответствие вершинам куба так, что точки в пяти гранях соответствуют конциклическим четверкам, то шестая четверка точек тоже конциклична.

(Для лучшего обзора на рисунке вместо гипербол нарисованы кружки.)

Теорема (Чэня): только плоскость Минковского. ${\mathfrak {M}}(K)$ удовлетворяет теореме Микеля.

По последней теореме ${\mathfrak {M}}(K)$ называется микелиевой плоскостью Минковского .

Примечание. Минимальная модель плоскости Минковского — микелевская.

Он изоморфен плоскости Минковского. ${\mathfrak {M}}(K)$ с $K=\operatorname {GF} (2)$ (поле ⁠ $\{0,1\}$⁠ ).

Удивительный результат

Теорема (Хейзе): Любая плоскость Минковского четного порядка микелева.

Примечание. Подходящая стереографическая проекция показывает: ${\mathfrak {M}}(K)$ изоморфенк геометрии плоских сечений на однолистном гиперболоиде ( квадрике индекса 2) в проективном 3-мерном пространстве над полем $K$.

Примечание: существует множество самолетов Минковского, которые не являются микелийскими (см. ссылку ниже). Но «овоидальных» плоскостей Минковского в отличие от плоскостей Мёбиуса и Лагерра не существует. Потому что любое квадратичное множество индекса 2 в проективном 3-пространстве является квадрикой (см. квадратичное множество ).

См. также

• Конформная геометрия

Ссылки

• Вальтер Бенц (1973) Лекции по геометрии алгебр , Спрингер
• Фрэнсис Бюкенхаут (редактор) (1995) Справочник по геометрии падения , Elsevier ISBN   0-444-88355-X

Внешние ссылки

• Самолет Бенца в математической энциклопедии
• Конспект лекции «Геометрия плоского круга : введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского»