Отношение эквивалентности

Эта статья о математической концепции. О патентной доктрине см. Доктрину эквивалентов .

«Эквивалентность» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Эквивалентность .

показывать Транзитивные   бинарные отношения
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is always true the row's term (at the very left), while ✗ indicates that the property is not guaranteed in general (it might, or might not, hold). For example, that every equivalence relation is symmetric, but not necessarily antisymmetric, is indicated by Y in the "Symmetric" column and ✗ in the "Antisymmetric" column, respectively. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc.$ A term's definition may require additional properties that are not listed in this table.

52 как отношения эквивалентности в наборе из 5 элементов, изображенном $5\times 5$ логические матрицы (цветные поля, в том числе светло-серые, обозначают единицы, белые поля — нули). Индексы строк и столбцов небелых ячеек являются связанными элементами, а разные цвета, кроме светло-серого, обозначают классы эквивалентности (каждая светло-серая ячейка представляет собой собственный класс эквивалентности).

В математике — отношение эквивалентности это бинарное отношение , которое является рефлексивным , симметричным и транзитивным . Отношение эквивалентности между отрезками линий в геометрии является распространенным примером отношения эквивалентности. Более простой пример — равенство. Любое число $a$ равен самому себе (рефлексивный). Если $a=b$, затем $b=a$ (симметричный). Если $a=b$ и $b=c$, затем $a=c$ (переходный).

Каждое отношение эквивалентности обеспечивает разбиение базового множества на непересекающиеся классы эквивалентности . Два элемента данного множества эквивалентны друг другу тогда и только тогда, когда они принадлежат одному и тому же классу эквивалентности.

Обозначения

В литературе используются различные обозначения для обозначения двух элементов $a$ и $b$ множества эквивалентны относительно отношения эквивалентности $R;$ наиболее распространены» $a\sim b$" и " a ≡ b ", которые используются, когда $R$ является неявным, а варианты " $a\sim _{R}b$", " a ≡ _R b ", или " ${a\mathop {R} b}$", чтобы указать $R$ явно. Неэквивалентность может быть записана как « a ≁ b » или « $a\not \equiv b$".

Определение

Бинарное отношение $\,\sim \,$ на съемочной площадке $X$ называется отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. То есть для всех $a,b,$ и $c$ в $X:$

• $a\sim a$ ( рефлексивность ).
• $a\sim b$ тогда и только тогда, когда $b\sim a$ ( симметрия ).
• Если $a\sim b$ и $b\sim c$ затем $a\sim c$ ( транзитивность ).

$X$ вместе с отношением $\,\sim \,$ называется сетоидом . Класс эквивалентности ​ $a$ под $\,\sim ,$ обозначенный $[a],$ определяется как $[a]=\{x\in X:x\sim a\}.$

Альтернативное определение с использованием реляционной алгебры

В реляционной алгебре , если $R\subseteq X\times Y$ и $S\subseteq Y\times Z$ являются отношениями, то составное отношение $SR\subseteq X\times Z$ определяется так, что $x\,SR\,z$ тогда и только тогда, когда существует $y\in Y$ такой, что $x\,R\,y$ и $y\,S\,z$. Это определение является обобщением определения функциональной композиции . Определяющие свойства отношения эквивалентности $R$ на съемочной площадке $X$ тогда можно переформулировать следующим образом:

• $\operatorname {id} \subseteq R$. ( рефлексивность ). (Здесь, $\operatorname {id}$ обозначает тождественную функцию на $X$.)
• $R=R^{-1}$ ( симметрия ).
• $RR\subseteq R$ ( транзитивность ).

Примеры

Простой пример

На съемочной площадке $X=\{a,b,c\}$, отношение $R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}$ является отношением эквивалентности. Следующие множества являются классами эквивалентности этого отношения: $$[a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}.$$

Множество всех классов эквивалентности для $R$ является $\{\{a\},\{b,c\}\}.$ Этот набор является частью набора $X$ относительно $R$.

Отношения эквивалентности

Все следующие отношения являются отношениями эквивалентности:

• «Равно» на множестве чисел. Например, ${\tfrac {1}{2}}$ равно ${\tfrac {4}{8}}.$
• «У него один день рождения, как» у всех людей на съемочной площадке.
• « Похож на» на множестве всех треугольников .
• « Соответствует » на множестве всех треугольников .
• Учитывая натуральное число $n$, "соответствует по модулю $n$"в целых числах .
• Дана функция $f:X\to Y$, "имеет такое же изображение под $f$ как» по элементам $f$ пользователя домен $X$. Например, $0$ и $\pi$ есть такое же изображение под $\sin$, а именно. $0$.
• «Имеет то же абсолютное значение, что и» на множестве действительных чисел
• «Имеет тот же косинус, что и» на наборе всех углов.

Отношения, не являющиеся эквивалентностями

• Отношение «≥» между действительными числами рефлексивно и транзитивно, но не симметрично. Например, 7 ≥ 5, но не 5 ≥ 7.
• Отношение «имеет общий делитель больше 1 с» между натуральными числами больше 1 является рефлексивным и симметричным, но не транзитивным. Например, натуральные числа 2 и 6 имеют общий делитель больше 1, а 6 и 3 имеют общий делитель больше 1, но у 2 и 3 нет общего делителя больше 1.
• Пустое отношение R (определенное так, что никогда не бывает истинным) на множестве X пусто aRb симметрично и транзитивно; однако он не рефлексивен (если только X сам не пуст).
• Отношение «приблизительно равно» между действительными числами, даже если оно определено более точно, не является отношением эквивалентности, поскольку, хотя оно и рефлексивно и симметрично, оно не является транзитивным, поскольку множество небольших изменений могут накапливаться и превращаться в большое изменение. Однако если приближение определяется асимптотически, например, говоря, что две функции f и g приблизительно равны вблизи некоторой точки, если предел f - g равен 0 в этой точке, то это определяет отношение эквивалентности.

Связи с другими отношениями

• Частичный порядок — это отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
• Равенство — это одновременно отношение эквивалентности и частичный порядок. Равенство также является единственным отношением во множестве, которое является рефлексивным, симметричным и антисимметричным. В алгебраических выражениях равные переменные могут заменяться друг другом — возможность, недоступная для переменных, связанных с эквивалентностью. Классы эквивалентности отношения эквивалентности могут заменять друг друга, но не отдельные лица внутри класса.
• Строгий частичный порядок иррефлексивен, транзитивен и асимметричен .
• Отношение частичной эквивалентности транзитивно и симметрично. Такое отношение рефлексивно тогда и только тогда, когда оно тотально , т. е. если для всех $a,$ существует какой-то $b{\text{ such that }}a\sim b.$ Следовательно, отношение эквивалентности можно альтернативно определить как симметричное, транзитивное и полное отношение.
• Троичное отношение эквивалентности является тройным аналогом обычного (бинарного) отношения эквивалентности.
• Рефлексивное и симметричное отношение является отношением зависимости (если конечное) и отношением толерантности , если оно бесконечное.
• Предзаказ . рефлексивен и транзитивен
• Отношение конгруэнтности — это отношение эквивалентности, область определения которого $X$ также является базовым набором для алгебраической структуры и учитывает дополнительную структуру. В общем случае отношения конгруэнтности играют роль ядер гомоморфизмов, и может быть образован фактор структуры по отношению конгруэнтности. Во многих важных случаях отношения конгруэнтности имеют альтернативное представление в виде подструктур структуры, в которой они определены (например, отношения конгруэнтности на группах соответствуют нормальным подгруппам ).
• Любое отношение эквивалентности является отрицанием отношения обособленности , хотя обратное утверждение справедливо только в классической математике (в отличие от конструктивной математики ), поскольку оно эквивалентно закону исключенного третьего .
• Каждое отношение, одновременно рефлексивное и левое (или правое) евклидово , также является отношением эквивалентности.

Корректность по отношению эквивалентности

Если $\,\sim \,$ является отношением эквивалентности на $X,$ и $P(x)$ является свойством элементов $X,$ такое, что всякий раз, когда $x\sim y,$ $P(x)$ верно, если $P(y)$ верно, то свойство $P$ говорят, что он корректно определен или является классом, инвариантным относительно отношения $\,\sim .$

Частый частный случай имеет место, когда $f$ это функция от $X$ в другой набор $Y;$ если $x_{1}\sim x_{2}$ подразумевает $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ затем $f$ называется морфизмом для $\,\sim ,$ относительно инвариант класса $\,\sim ,$ или просто инвариант относительно $\,\sim .$ Это происходит, например, в теории характеров конечных групп. Последний случай с функцией $f$ может быть выражено коммутативным треугольником. См. также инвариант . Некоторые авторы используют «совместимый с $\,\sim$" или просто "уважает $\,\sim$" вместо "инвариант при $\,\sim$".

В более общем смысле, функция может отображать эквивалентные аргументы (в соответствии с отношением эквивалентности $\,\sim _{A}$) к эквивалентным значениям (при отношении эквивалентности $\,\sim _{B}$). Такая функция известна как морфизм из $\,\sim _{A}$ к $\,\sim _{B}.$

Связанные важные определения

Позволять $a,b\in X$, и $\sim$ быть отношением эквивалентности. Ниже приведены некоторые ключевые определения и терминология:

Класс эквивалентности

Основная статья: Класс эквивалентности

Подмножество $Y$ из $X$ такой, что $a\sim b$ держится для всех $a$ и $b$ в $Y$и никогда для $a$ в $Y$ и $b$ снаружи $Y$, называется эквивалентности классом $X$ к $\sim$. Позволять $[a]:=\{x\in X:a\sim x\}$ обозначают класс эквивалентности, которому $a$ принадлежит. Все элементы $X$ эквивалентными друг другу являются также элементы одного и того же класса эквивалентности.

Сколько комплектов

Основная статья: Набор коэффициентов

Множество всех классов эквивалентности $X$ к $\sim ,$ обозначенный $X/{\mathord {\sim }}:=\{[x]:x\in X\},$ представляет фактормножество собой $X$ к $\sim .$ Если $X$ является топологическим пространством , существует естественный способ преобразования $X/\sim$ в топологическое пространство; см . в разделе «Частное пространство» подробности .

Проекция

Основная статья: Проекция (реляционная алгебра)

Проекция ​ ​ $\,\sim \,$ это функция $\pi :X\to X/{\mathord {\sim }}$ определяется $\pi (x)=[x]$ который отображает элементы $X$ на соответствующие классы эквивалентности с помощью $\,\sim .$

Теорема о проекциях : Пусть функция $f:X\to B$ быть таким, что если $a\sim b$ затем $f(a)=f(b).$ Тогда существует уникальная функция $g:X/\sim \to B$ такой, что $f=g\pi .$ Если $f$ это сюръекция и $a\sim b{\text{ if and only if }}f(a)=f(b),$ затем $g$ является биекцией .

Ядро эквивалентности

Ядро эквивалентности функции $f$ — отношение эквивалентности ~, определяемое формулой $x\sim y{\text{ if and only if }}f(x)=f(y).$ Ядром эквивалентности инъекции является тождественное отношение .

Раздел

Основная статья: Раздел набора

Разделение , такое , X — это множество P непустых подмножеств X что каждый элемент X является элементом одного P. элемента Каждый элемент P является ячейкой разбиения. Более того, элементы P и попарно не пересекаются их объединение есть X .

Подсчет разделов

Пусть X — конечное множество из n элементов. Поскольку каждое отношение эквивалентности над X соответствует разбиению X и наоборот, количество отношений эквивалентности на X равно количеству различных разбиений X , что является n-м Белла числом B _n :

$$B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}\quad$$ ( формула Добинского ).

Основная теорема об отношениях эквивалентности

Ключевой результат связывает отношения эквивалентности и разделения:

• Отношение эквивалентности ~ на множестве X разбиений X .
• И наоборот, любому разбиению X соответствует отношение эквивалентности ~ на X .

В обоих случаях ячейки разбиения X являются классами эквивалентности X по ~. Поскольку каждый элемент X принадлежит уникальной ячейке любого разбиения X и поскольку каждая ячейка разбиения идентична классу эквивалентности X по ~, каждый элемент X принадлежит уникальному классу эквивалентности X по ~. Таким образом, существует естественная биекция между множеством всех отношений эквивалентности на X и множеством всех разбиений X .

Сравнение отношений эквивалентности

См. также: Разделение набора § Уточнение разделов.

Если $\sim$ и $\approx$ два отношения эквивалентности на одном множестве $S$, и $a\sim b$ подразумевает $a\approx b$ для всех $a,b\in S,$ затем $\approx$ считается более грубым отношением, чем $\sim$, и $\sim$ является более тонким отношением, чем $\approx$. Эквивалентно,

• $\sim$ тоньше, чем $\approx$ если каждый класс эквивалентности $\sim$ является подмножеством класса эквивалентности $\approx$, и, следовательно, каждый класс эквивалентности $\approx$ является объединением классов эквивалентности $\sim$.
• $\sim$ тоньше, чем $\approx$ если раздел, созданный $\sim$ является уточнением раздела, созданного $\approx$.

Отношение эквивалентности равенства является самым тонким отношением эквивалентности на любом множестве, тогда как универсальное отношение, связывающее все пары элементов, является самым грубым.

Отношение " $\sim$ тоньше, чем $\approx$«На совокупности всех отношений эквивалентности на фиксированном множестве само по себе является отношением частичного порядка, что делает совокупность геометрической решеткой » .

Генерация отношений эквивалентности

• Учитывая любой набор $X,$ отношение эквивалентности над множеством $[X\to X]$ всех функций $X\to X$ можно получить следующим образом. Две функции считаются эквивалентными, если их соответствующие наборы фиксированных точек имеют одинаковую мощность , что соответствует циклам длины один в перестановке .
• Отношение эквивалентности $\,\sim \,$ на $X$ — ядро ​​эквивалентности его сюръективной проекции $\pi :X\to X/\sim .$ И наоборот, любая сюръекция между множествами определяет разбиение в своей области, наборе прообразов одиночных элементов в кодомене . Таким образом, отношение эквивалентности над $X,$ раздел $X,$ и проекция, область определения которой равна $X,$ — это три эквивалентных способа указать одно и то же.
• Пересечение любого набора отношений эквивалентности над X (бинарных отношений, рассматриваемых подмножество как $X\times X$) также является отношением эквивалентности. Это дает удобный способ создания отношения эквивалентности: для любого бинарного отношения R на X отношение эквивалентности, порожденное R, является пересечением всех отношений эквивалентности, содержащих R (также известное как наименьшее отношение эквивалентности, содержащее R ). Конкретно, R порождает отношение эквивалентности

$a\sim b$ если существует натуральное число $n$ и элементы $x_{0},\ldots ,x_{n}\in X$ такой, что $a=x_{0}$, $b=x_{n}$, и $x_{i-1}\mathrel {R} x_{i}$ или $x_{i}\mathrel {R} x_{i-1}$, для $i=1,\ldots ,n.$

Отношение эквивалентности, созданное таким образом, может быть тривиальным. Например, отношение эквивалентности, порожденное любым полным порядком на X, имеет ровно один класс эквивалентности — X. сам

• Отношения эквивалентности могут создавать новые пространства путем «склеивания вещей». Пусть X — единичный декартов квадрат. $[0,1]\times [0,1],$ и пусть ~ — отношение эквивалентности на X, определяемое формулой $(a,0)\sim (a,1)$ для всех $a\in [0,1]$ и $(0,b)\sim (1,b)$ для всех $b\in [0,1],$ Тогда факторпространство $X/\sim$ можно естественным образом отождествить ( гомеоморфизм ) с тором : возьмите квадратный лист бумаги, согните и склейте верхний и нижний край, чтобы получился цилиндр, затем согните получившийся цилиндр так, чтобы склеить два его открытых конца, в результате чего получится тор.

Алгебраическая структура

Большая часть математики основана на изучении эквивалентностей и отношений порядка . Теория решеток отражает математическую структуру отношений порядка. Хотя отношения эквивалентности так же широко распространены в математике, как и отношения порядка, алгебраическая структура эквивалентностей не так хорошо известна, как структура порядков. Первая структура опирается главным образом на теорию групп и, в меньшей степени, на теорию решеток, категорий и группоидов .

Теория групп

Точно так же, как отношения порядка основаны на упорядоченных множествах , множествах, замкнутых относительно попарной верхней и нижней границ , отношения эквивалентности основаны на разделенных множествах , которые представляют собой множества, замкнутые относительно биекций , сохраняющих структуру разбиения. Поскольку все такие биекции отображают класс эквивалентности на себя, такие биекции также известны как перестановки . Следовательно, группы перестановок (также известные как группы преобразований ) и связанное с ними понятие орбиты проливают свет на математическую структуру отношений эквивалентности.

Пусть '~' обозначает отношение эквивалентности над некоторым непустым множеством A , называемым вселенной или базовым множеством. Пусть G обозначает набор биективных функций над A , которые сохраняют структуру разбиения A , то есть для всех $x\in A$ и $g\in G,g(x)\in [x].$ Тогда справедливы следующие три связные теоремы:

• ~ разбивает A на классы эквивалентности. (Это Фундаментальная теорема отношений эквивалентности , упомянутая выше);
• Учитывая разбиение A , G представляет собой группу преобразований в составе, орбиты которой являются ячейками разбиения;
• Для данной группы преобразований G над A существует отношение эквивалентности ~ над A , классы эквивалентности которого являются орбитами G. группы

В общем, для данного отношения эквивалентности ~ над A существует группа преобразований G над A, орбиты которой являются классами эквивалентности A относительно ~.

Эта характеристика отношений эквивалентности группой преобразований фундаментально отличается от того, как решетки характеризуют отношения порядка. Аргументы операций теории решетки встречаются и соединяются это элементы некоторой вселенной A. — аргументы групповых операций композиции и обратных преобразований являются элементами множества биекций , A → A. При этом

Переходя к группам вообще, пусть H — подгруппа некоторой группы G . Пусть ~ — отношение эквивалентности на G такое, что $a\sim b{\text{ if and only if }}ab^{-1}\in H.$ Классы эквивалентности ~ — также называемые орбитами действия H на являются G — правыми смежными H классами в G . Меняя местами a и b, получаем левые смежные классы.

Соответствующее мышление можно найти у Розена (2008: глава 10).

Категории и группоиды

Пусть G — множество и пусть «~» обозначает отношение эквивалентности G. над Тогда мы можем сформировать группоид, представляющий это отношение эквивалентности, следующим образом. Объекты являются элементами G , и для любых двух элементов x и y из G существует уникальный морфизм от x до y тогда и только тогда, когда $x\sim y.$

Преимущества рассмотрения отношения эквивалентности как частного случая группоида включают:

• Хотя понятия «свободного отношения эквивалентности» не существует, существует понятие свободного группоида на ориентированном графе . Таким образом, имеет смысл говорить о «представлении отношения эквивалентности», т. е. о представлении соответствующего группоида;
• Связки групп, групповые действия , множества и отношения эквивалентности можно рассматривать как частные случаи понятия группоида, точка зрения, которая предполагает ряд аналогий;
• «факторирование» и, следовательно, соответствующие отношения эквивалентности, часто называемые сравнениями Во многих контекстах важно . Это приводит к понятию внутреннего группоида в категории .

Решетки

Отношения эквивалентности на любом множестве X , упорядоченные по включению множества , образуют полную решетку , называемую Con X. по соглашению Каноническое отображение ker : X ^ X → Con X связывает моноид X ^ X всех функций на X и Con X. ​ ker сюръективен , но не инъективен . Менее формально, отношение эквивалентности ker на X переводит каждую функцию f : X → X в ее ядро ​​ker f . Аналогично, ker(ker) является отношением эквивалентности на X ^ X .

Отношения эквивалентности и математическая логика

Отношения эквивалентности являются готовым источником примеров или контрпримеров. Например, отношение эквивалентности ровно с двумя бесконечными классами эквивалентности является простым примером теории, которая является ω- категоричной , но не категоричной для любого большего кардинального числа .

Следствием теории моделей является то, что свойства, определяющие отношение, могут быть доказаны независимо друг от друга (и, следовательно, от необходимых частей определения) тогда и только тогда, когда для каждого свойства можно найти примеры отношений, не удовлетворяющих данному свойству, но удовлетворяющих данному свойству. все остальные свойства. Следовательно, три определяющих свойства отношений эквивалентности могут быть доказаны взаимно независимыми на следующих трех примерах:

• Рефлексивное и транзитивное Отношение ≤ на N. : Или любой предзаказ ;
• Симметричное и транзитивное : отношение R на N , определенное как aRb ↔ ab ≠ 0. Или любое частичное отношение эквивалентности ;
• Рефлексивное и симметричное : отношение R к Z , определяемое как aRb ↔ « a − b делится хотя бы на одно из 2 или 3». Или любое отношение зависимости .

Свойства, определяемые в логике первого порядка , которыми может обладать или не обладать отношение эквивалентности, включают:

• Число классов эквивалентности конечно или бесконечно;
• Число классов эквивалентности равно (конечному) натуральному числу n ;
• Все классы эквивалентности имеют бесконечную мощность ;
• Количество элементов в каждом классе эквивалентности — это натуральное число n .

См. также

• Отношение борелевской эквивалентности
• Кластерный граф - граф, составленный из непересекающегося объединения полных графов.
• Класс сопряженности - в теории групп класс эквивалентности по отношению сопряжения.
• Эквиполленция (геометрия) - свойство параллельных отрезков, имеющих одинаковую длину и одинаковое направление.
• Гиперконечное отношение эквивалентности
• Фактор по отношению эквивалентности - Обобщение классов эквивалентности в теорию схем
• Топологическая сопряженность - Понятие в топологии
• До – математическое утверждение уникальности, за исключением эквивалентной структуры (отношения эквивалентности).

Ссылки

• Браун, Рональд, 2006. Топология и группоиды. ООО "Буксердж". ISBN   1-4196-2722-8 .
• Кастеллани, Э., 2003, «Симметрия и эквивалентность» в книге Брэдинг, Кэтрин и Э. Кастеллани, ред., « Симметрии в физике: философские размышления ». Кембриджский университет. Пресса: 422–433.
• Роберт Дилворт и Кроули, Питер, 1973. Алгебраическая теория решеток . Прентис Холл. Глава. 12 обсуждает, как отношения эквивалентности возникают в теории решеток .
• Хиггинс, П.Дж., 1971. Категории и группоиды. Ван Ностранд. Доступно для скачивания с 2005 года в виде переиздания TAC.
• Джон Рэндольф Лукас , 1973. Трактат о времени и пространстве . Лондон: Метуэн. Раздел 31.
• Розен, Джозеф (2008) Правила симметрии: как наука и природа основаны на симметрии . Спрингер-Верлаг. В основном главы. 9,10.
• Раймонд Уайлдер (1965) Введение в основы математики , 2-е издание, главы 2–8: Аксиомы, определяющие эквивалентность, стр. 48–50, John Wiley & Sons .

Внешние ссылки

• «Отношение эквивалентности» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Богомольный А. « Отношения эквивалентности » разрубают узел . По состоянию на 1 сентября 2009 г.
• Отношение эквивалентности в PlanetMath
• Последовательность OEIS A231428 (двоичные матрицы, представляющие отношения эквивалентности)