Факторное по отношению эквивалентности

Эта статья об обобщении теории категорий , используемой в теории схем . Общее значение см. в разделе Класс эквивалентности .

В математике , учитывая C , фактор объекта X по категорию отношению эквивалентности $f:R\to X\times X$ является коэквалайзером для пары карт

$R\ {\overset {f}{\to }}\ X\times X\ {\overset {\operatorname {pr} _{i}}{\to }}\ X,\ \ i=1,2,$

где R — объект в C , а « f — отношение эквивалентности» означает, что для любого объекта T в C образ (который является множеством ) $f:R(T)=\operatorname {Mor} (T,R)\to X(T)\times X(T)$ является отношением эквивалентности ; то есть рефлексивное , симметричное и транзитивное отношение .

Основной случай на практике — это когда является категорией всех схем над некоторой схемой S. C Но это понятие гибкое, и можно также принять C за категорию пучков .

Примеры

• Пусть X — множество, и рассмотрим на нем некоторое отношение эквивалентности. Пусть Q множество всех классов эквивалентности в X. — Тогда карта $q:X\to Q$ который отправляет элемент x в класс эквивалентности, к которому принадлежит x, является фактором.
• выше примере Q является подмножеством набора степеней H из X. В приведенном В алгебраической геометрии можно заменить H схемой Гильберта или несвязным объединением схем Гильберта. Фактически Гротендик построил относительную схему Пикара плоской проективной схемы X как фактор Q (схемы Z, параметризующей относительные эффективные дивизоры на X ), который является замкнутой схемой гильбертовой схемы H . Карта коэффициентов $q:Z\to Q$ тогда можно рассматривать как относительную версию карты Абеля .

См. также

• Категориальное частное , частный случай

Ссылки

• Ницуре, Н. Построение схем Гильберта и Кота. Фундаментальная алгебраическая геометрия: объяснение FGA Гротендика, Математические обзоры и монографии 123, Американское математическое общество, 2005, 105–137.