Гиперконечное отношение эквивалентности

В дескриптивной теории множеств и смежных областях математики гиперконечное отношение эквивалентности на стандартном борелевском пространстве X представляет собой борелевское отношение эквивалентности E со счетными классами, которое в определенном смысле может быть аппроксимировано борелевскими отношениями эквивалентности , имеющими конечные классы.

Определения [ править ]

Определение 1. Пусть X — стандартное борелевское пространство, т.е. это измеримое пространство , которое возникает в результате оснащения польского пространства X его σ-алгеброй борелевских подмножеств (и забвения топологии ). Пусть E — эквивалентности на X. отношение Мы будем говорить, что E является борелевским, если на самого себя , E является борелевским подмножеством декартова произведения X снабженного произведением σ-алгебры. Будем говорить, что E конечно (соответственно счетно), если E имеет конечные (соответственно счетные ) классы.

Приведенные выше имена могут вводить в заблуждение, поскольку, если — несчетное стандартное борелевское пространство, отношение эквивалентности будет несчетным, если рассматривать его как набор упорядоченных пар из X. X

Определение 2. E — счетное борелевское отношение эквивалентности на стандартном борелевском пространстве X. Пусть Будем говорить, что E гиперконечно , если $E=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}$ , где $F_{n}$ является возрастающей последовательностью конечных борелевских отношений эквивалентности на X .

существует конечная последовательность отношений эквивалентности Интуитивно это означает, что на X , каждое из которых тоньше своих предшественников, аппроксимирующее E. сколь угодно хорошо

Обсуждение [ править ]

Основной областью исследований в дескриптивной теории множеств является классификация борелевских отношений эквивалентности , в частности тех, которые являются счетными. Среди них простейшими считаются конечные отношения эквивалентности (например, они допускают борелевские трансверсали ). Поэтому естественно задаться вопросом, могут ли некоторые отношения эквивалентности, которые не обязательно являются конечными, аппроксимироваться конечными отношениями эквивалентности. Это понятие одновременно достаточно богато, чтобы инкапсулировать многие естественные отношения эквивалентности, встречающиеся в математике, и в то же время достаточно ограничительно, чтобы позволить развивать глубокие теоремы.

Также стоит отметить, что любое счетное отношение эквивалентности E можно записать как возрастающее объединение конечных отношений эквивалентности. Это можно сделать, например, разделив каждый класс на классы размером два, а затем соединив в новом отношении эквивалентности два класса, которые находятся внутри одного и того же E -класса, чтобы сформировать разделение с классами размера четыре, и так вперед. Ключевое наблюдение заключается в том, что этот процесс вообще требует аксиомы выбора , и поэтому неясно, генерирует ли этот процесс борелевские аппроксимации. Действительно, существуют счетные борелевские отношения эквивалентности, которые не являются гиперконечными, и поэтому, в частности, описанный выше процесс не сможет генерировать борелевские отношения эквивалентности, аппроксимирующие большее отношение эквивалентности.

Примеры и не примеры [ править ]

Любое конечное борелевское отношение эквивалентности является гиперконечным. Действительно, это конечное приближение самого себя.
Отношение субэквивалентности гиперконечного отношения эквивалентности является гиперконечным.
Предположим, что — локально конечная группа, действующая измеримо по Борелю на стандартном борелевском пространстве X. G Затем фильтрация $F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq ...\subseteq G$ на конечные подгруппы естественным образом приводит к фильтрации орбитального отношения эквивалентности действия G на X в конечные борелевские отношения эквивалентности, тем самым доказывая его гиперконечность.
Если E — счетное отношение эквивалентности и $E'\subset E$ гиперконечен и имеет конечный индекс (это означает, что каждый E -класс содержит конечное число E'- классов), то E гиперконечен.
Любое счетное борелевское отношение эквивалентности, допускающее борелевскую трансверсаль, является гиперконечным; это можно показать простым применением теоремы Фельдмана-Мура .
Любое борелевское действие целых чисел в стандартном борелевском пространстве порождает гиперконечное орбитальное отношение эквивалентности (напомним, что борелевское действие счетной группы G в стандартном борелевском пространстве X является измеримым по Борелю действием $a:G\times X\rightarrow X$ , где G снабжена σ-алгеброй всех своих подмножеств). Более того, оказывается, что любое гиперконечное отношение эквивалентности равно орбитальному отношению эквивалентности, порожденному некоторым борелевским действием целых чисел: ^[1] что делает это эквивалентным определением гиперконечности, которое часто более доступно.
В более общем смысле, любое борелевское действие счетной абелевой группы в стандартном борелевском пространстве индуцирует отношение эквивалентности гиперконечной орбиты. ^[2]
Если F — счетное борелевское отношение эквивалентности в стандартном борелевском пространстве X , E — гиперконечное отношение эквивалентности в стандартном борелевском пространстве Y и $f:X\rightarrow Y$ является борелевской редукцией F к E , то F гиперконечен (напомним, что $f$ как указано выше, является борелевским сокращением, если оно удовлетворяет $\forall x,y\in X,f(x)Ef(y)\iff xEy$ ). Обратите внимание, что вышесказанное не будет верным, если мы удалим предположение о F счетности ; Отношение эквивалентности на вещественной прямой, идентифицирующей каждые две точки, является борелевским и может быть сведено к любому другому борелевскому отношению эквивалентности, в частности к любому гиперконечному борелевскому отношению эквивалентности, но оно имеет несчетный класс, поэтому не может быть гиперконечным.
Любое борелевское действие конечно порожденной группы с полиномиальным ростом в стандартном борелевском пространстве индуцирует отношение эквивалентности гиперконечной орбиты. ^[3]
Действие конечно порожденной гиперболической группы на ее границе Громова гиперконечно. ^[4]
Любое счетное борелевское отношение эквивалентности можно ограничить соединённым множеством, на котором оно гиперконечно. ^[5] Явно это означает, что можно удалить скудный набор классов эквивалентности и получить, что отношение эквивалентности гиперконечно на оставшемся пространстве.
Любая неаменабельная группа . допускает борелевское действие на стандартном борелевском пространстве, которое индуцирует отношение эквивалентности, не являющееся гиперконечным
Действие свободной группы $F_{2}$ на двух генераторах на пространстве $2^{F_{2}}$ по картам сдвига не является гиперконечным. Этот факт часто считают комбинаторным вариантом парадокса Банаха-Тарского .

Открытые проблемы [ править ]

Гипотеза Вайса [ править ]

Приведенные выше примеры, по-видимому, указывают на то, что борелевские действия «ручных» счетных групп индуцируют гиперконечные отношения эквивалентности. Вайс предположил, что любое борелевское действие счетной аменабельной группы в стандартном борелевском пространстве индуцирует отношение эквивалентности гиперконечной орбиты. Хотя это все еще открытая проблема, известны некоторые частичные результаты. ^[6]

Проблема профсоюзов [ править ]

Другая открытая проблема в этой области заключается в том, является ли счетное возрастающее объединение гиперконечных отношений эквивалентности гиперконечным. ^[7] Эту проблему часто называют проблемой профсоюзов.

Известно, что при определенных условиях счетное возрастающее объединение гиперконечных отношений эквивалентности является гиперконечным. Например, если объединение отношений эквивалентности обладает свойством, известным как «борелевская ограниченность» (что примерно означает, что любое борелевское присвоение функций $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ точки пространства могут быть «в конечном счете ограничены» таким борелевским присваиванием, постоянным на классах эквивалентности), то оно гиперконечно. Однако неизвестно, удовлетворяет ли каждое такое объединение этому свойству. ^[8]

теории Результаты меры

В предположении, что базовое пространство X оснащено борелевской вероятностной мерой µ и что можно удалить множества нулевой меры , теория становится гораздо лучше понятной. Например, если отношение эквивалентности порождается борелевским действием счетной аменабельной группы, результирующее отношение эквивалентности орбиты будет « μ -гиперконечным», что означает, что оно гиперконечно на подмножестве пространства полной меры. ^[1] (стоит отметить, что действие не обязательно должно быть сохраняющим меру или даже сохраняющим квазимеру ). Поскольку каждое счетное борелевское отношение эквивалентности E на стандартном неатомном борелевском вероятностном пространстве (X, $\mu$ ), допускающее борелевскую трансверсаль, является конечным отношением эквивалентности на подмножестве полной меры (по сути, это утверждение Фельдмана-Мура вместе с аргументом Витали в его классическом доказательстве несуществования нетривиальной инвариантной меры на $\sigma$ -алгебра всех подмножеств вещественной прямой), вышеизложенное показывает нам, что в отличие от отношений эквивалентности, допускающих трансверсали, многие примеры групповых действий, которые естественным образом возникают в эргодической теории, приводят к гиперконечным орбитальным отношениям эквивалентности (в частности, всякий раз, когда базовое пространство стандартное борелевское пространство, группа счетна и аменабельна).

Аналогично, счетное возрастающее объединение гиперконечных отношений эквивалентности на таком пространстве является µ также -гиперконечным.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Конли, Клинтон; Джексон, Стив; Маркс, Эндрю; Сьюард, Брэндон; Такер-Дроб, Робин (2020), Борелевская асимптотическая размерность и гиперконечные отношения эквивалентности , arXiv : 2009.06721
Конн, Ален; Фельдман, Джоэл; Вайс, Бенджамин (1995), «Аменабельное отношение эквивалентности генерируется одним преобразованием», Ergodic Theory and Dynamical Systems , 1 (4): 431–450, doi : 10.1017/S014338570000136X , S2CID 119385336
Коски, Сэмюэл; Шнайдер, Скотт (2017), «Кардинальные характеристики и счетные борелевские отношения эквивалентности» , Mathematical Logic Quarterly , 63 (3–4): 211–227, arXiv : 1103.2312 , doi : 10.1002/malq.201400111 , S2CID 41429052
Догерти, Рэндалл; Джексон, Стив; Кекрис, Александр С. (1994), «Структура гиперконечных борелевских отношений эквивалентности», Труды Американского математического общества , 341 : 193–225, doi : 10.1090/S0002-9947-1994-1149121-0 , S2CID 29620563
Гао, Су; Джексон, Стив (2007), «Счетные абелевы группы и гиперконечные отношения эквивалентности», Inventiones Mathematicae , 201 (1), doi : 10.1007/s00222-015-0603-y , S2CID 24460955
Джексон, Стив; Кекрис, Александр С.; Луво, Ален (2002), «Счетные борелевские отношения эквивалентности», Журнал математической логики , 2 (1): 1–144, doi : 10.1142/S0219061302000138
Кекрис, Александр С.; Миллер, Бенджамин Д. (2004), Темы орбитальной эквивалентности , Конспекты лекций по математике, том. 1852, Спрингер, номер документа : 10.1007/b99421 , ISBN. 978-3-540-22603-1
Маркиз Тимоти; Сабок, Марцин (2020), «Гиперконечность граничных действий гиперболических групп», Mathematische Annalen , 377 (4): 1129–1153, arXiv : 1907.09928 , doi : 10.1007/s00208-020-02001-9 , S2CID 198179841

[connes1995-1] Перейти обратно: ^а ^б Конн, Фельдман и Вайс, 1995 г.

[2] Гао и Джексон 2007

[3] Джексон, Кекрис и Луво, 2002 г.

[4] Маркиз и Сабок 2020

[5] Кекрис и Миллер, 2004 г.

[6] Конли и др. 2020 год

[7] Догерти, Джексон и Кекрис, 1994 г.

[8] Коски и Шнайдер 2017

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]