Парадокс Банаха – Тарского

О книге о парадоксе см. «Парадокс Банаха – Тарского» (книга) .

«Можно ли разложить шар на конечное число наборов точек и снова собрать его в два шара, идентичных исходному?»

Парадокс Банаха -Тарского — это теорема теоретико -множественной геометрии , которая утверждает следующее: для данного твердого шара в трехмерном пространстве существует разложение шара на конечное число непересекающихся подмножеств , которые затем можно вернуть обратно. вместе другим способом, чтобы получить две идентичные копии исходного шара. Действительно, процесс сборки включает в себя только перемещение деталей и их вращение, без изменения их первоначальной формы. Однако сами куски не являются «твёрдыми телами» в традиционном понимании, а представляют собой бесконечную россыпь точек . Реконструкция может работать всего с пятью частями.

Альтернативная форма теоремы утверждает, что если взять любые два «разумных» твердых объекта (например, маленький и огромный шар), разрезанные части одного из них можно собрать в другой. Об этом часто неофициально говорят, как «горошину можно разрезать и собрать в Солнце» и называют « парадоксом горошины и Солнца ».

Теорему называют парадоксом, поскольку она противоречит базовой геометрической интуиции. «Удвоение шара» путем разделения его на части и перемещения их вращениями и перемещениями без какого-либо растяжения, сгибания или добавления новых точек кажется невозможным, поскольку все эти операции должны , интуитивно говоря, сохранять объем . Интуитивное представление о том, что такие операции сохраняют объемы, не является математически абсурдным и даже включено в формальное определение объемов. Однако здесь это неприменимо, поскольку в этом случае невозможно определить объемы рассматриваемых подмножеств. Их повторная сборка воспроизводит набор, имеющий том, который отличается от тома в начале.

В отличие от большинства теорем геометрии, математическое доказательство зависит от выбора аксиом теории множеств этого результата критическим образом . Это можно доказать с помощью аксиомы выбора , которая позволяет строить неизмеримые множества , т. е. совокупности точек, не имеющие объема в обычном смысле, и построение которых требует несчетного числа вариантов выбора.

В 2005 году было показано, что части разложения можно выбирать таким образом, чтобы их можно было непрерывно перемещать на место, не натыкаясь друг на друга.

Как независимо доказал Леруа и Симпсон, Парадокс Банаха-Тарского не нарушает объемы, если работать с локалями, а не с топологическими пространствами. В этой абстрактной ситуации подпространства могут быть без точки, но при этом непустыми. Части парадоксальной декомпозиции действительно пересекаются в смысле локалей настолько, что некоторым из этих пересечений следует придать положительную массу. Учитывая эту скрытую массу, теория локалей позволяет удовлетворительно измерить все подмножества (и даже все сублокали) евклидова пространства.

Публикация Банаха и Тарского

В статье, опубликованной в 1924 г. Стефан Банах и Альфред Тарский дали конструкцию такого парадоксального разложения , основанную на более ранних работах Джузеппе Витали относительно единичного интервала и парадоксальных разложениях сферы Феликсом Хаусдорфом , и обсудили ряд связанных вопросов, касающихся разложений подмножеств евклидовых чисел. пространства в различных измерениях. Они доказали следующее более общее утверждение, сильную форму парадокса Банаха – Тарского :

Учитывая любые два ограниченных подмножества A и B евклидова пространства по крайней мере в трех измерениях, оба из которых имеют непустую внутреннюю часть , существуют разбиения A и B на конечное число непересекающихся подмножеств: $A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}$, $B=B_{1}\cup \cdots \cup B_{k}$ (для некоторого целого числа k ), такого, что для каждого (целого i между 1 и k множества A _i и B _i конгруэнтны ) .

Теперь пусть A — исходный шар, а B — объединение двух переведенных копий исходного шара. Тогда предложение означает, что исходный шар A а затем повернуть и переместить таким образом, что в результате получится целое множество B , содержащее две копии A. можно разделить на определенное количество частей ,

Сильная форма парадокса Банаха-Тарского неверна в размерностях один и два, но Банах и Тарский показали, что аналогичное утверждение остается верным, если счетное количество разрешено подмножеств. Разница между размерностями 1 и 2, с одной стороны, и 3 и выше, с другой, обусловлена ​​более богатой структурой группы E ( n ) евклидовых движений в 3-х измерениях. При n = 1, 2 группа разрешима , но при n ≥ 3 она содержит свободную группу с двумя образующими. Джон фон Нейман изучил свойства группы эквивалентностей, делающие возможным парадоксальное разложение, и ввел понятие аменабельных групп . Он также нашел форму парадокса на плоскости, в которой используются аффинные преобразования, вместо обычных сравнений сохраняющие площадь.

Тарский доказал, что аменабельные группы — это именно те группы, для которых не существует парадоксальных разложений. Поскольку в парадоксе Банаха–Тарского нужны только свободные подгруппы, это привело к давней гипотезе фон Неймана , которая была опровергнута в 1980 году.

Формальное обращение

Парадокс Банаха-Тарского утверждает, что шар в обычном евклидовом пространстве можно удвоить, используя только операции разбиения на подмножества, замены набора на конгруэнтный набор и повторной сборки. Ее математическая структура существенно поясняется за счет подчеркивания роли группы евклидовых движений и введения понятий равноразложимых множеств и парадоксального множества . Предположим, что G — группа действующая на множестве X. , В наиболее важном частном случае X является n евклидовым пространством (для целого n ), а G состоит из всех изометрий X - мерным , т.е. преобразований X в себя, сохраняющих расстояния, обычно обозначаемых E ( n ) . Две геометрические фигуры, способные превращаться друг в друга, называются конгруэнтными , и эта терминология будет распространена на общее G -действие. Два подмножества A и B из X называются G -равноразложимыми или равноразложимыми относительно G , если A и B можно разбить на одно и то же конечное число G -конгруэнтных частей соответственно. Это определяет отношение эквивалентности между всеми подмножествами X . Формально, если существуют непустые множества $A_{1},\dots ,A_{k}$, $B_{1},\dots ,B_{k}$ такой, что

$A=\bigcup _{i=1}^{k}A_{i},\quad B=\bigcup _{i=1}^{k}B_{i},$

$\quad A_{i}\cap A_{j}=B_{i}\cap B_{j}=\emptyset \quad {\text{for all }}1\leq i<j\leq k,$

и существуют элементы $g_{i}\in G$ такой, что

$g_{i}(A_{i})=B_{i}{\text{ for all }}1\leq i\leq k,$

тогда можно сказать, что A и B G - равносоставлены с использованием k частей. Если в множестве E есть два непересекающихся подмножества A и B такие, что A и E , а также B и E -равносоставны , G то E называется парадоксальным .

Используя эту терминологию, парадокс Банаха – Тарского можно переформулировать следующим образом:

Трехмерный евклидов шар равносоставен с двумя копиями самого себя.

Фактически, в этом случае есть резкий результат, принадлежащий Рафаэлю М. Робинсону : удвоение шара можно выполнить с помощью пяти фигур, и меньше пяти штук будет недостаточно.

Сильная версия парадокса утверждает:

Любые два ограниченных подмножества трехмерного евклидова пространства с непустой внутренностью равносоставимы .

Хотя это утверждение, по-видимому, является более общим, оно выведено простым способом из удвоения шара с использованием обобщения теоремы Бернштейна-Шредера, предложенной Банахом, из которой следует, что если A равноразложимо с подмножеством B , а B равноразложимо с подмножеством B, а B равноразложимо с подмножество A , то A и B равноразложимы.

Парадокс Банаха-Тарского можно поместить в контекст, указав, что для двух множеств в сильной форме парадокса всегда существует биективная функция, которая может отображать точки одной формы в другую взаимно однозначным образом. . На языке Георга Кантора эти теории множеств два множества имеют одинаковую мощность . Таким образом, если расширить группу, чтобы допустить произвольные биекции X , то все множества с непустой внутренностью станут конгруэнтными. Аналогично, один шар можно превратить в шар большего или меньшего размера путем растяжения или, другими словами, путем применения подобия преобразований . Следовательно, если группа G достаточно велика, G можно найти -равноразложимые множества, «размер» которых варьируется. Более того, поскольку счетное множество можно превратить в две копии самого себя, можно было бы ожидать, что использование счетного числа частей каким-то образом поможет.

С другой стороны, в парадоксе Банаха-Тарского число частей конечно, а разрешенные эквивалентности представляют собой евклидовы сравнения, которые сохраняют объемы. Тем не менее, каким-то образом они в конечном итоге удваивают объем мяча. Хотя это, конечно, удивительно, некоторые из частей, используемых в парадоксальном разложении, представляют собой неизмеримые множества , поэтому понятие объема (точнее, меры Лебега ) для них не определено, и разделение не может быть выполнено практическим способом. Фактически, парадокс Банаха-Тарского показывает, что невозможно найти конечно-аддитивную меру (или банахову меру ), определенную на всех подмножествах евклидова пространства трех (и более) измерений, которая была бы инвариантна относительно евклидовых движений и принимает значение единица на единичном кубе. В своих более поздних работах Тарский показал, что, наоборот, отсутствие парадоксальных разложений этого типа влечет за собой существование конечно-аддитивной инвариантной меры.

Сердцем доказательства формы «удвоения шара» парадокса, представленного ниже, является тот замечательный факт, что с помощью евклидовой изометрии (и переименования элементов) можно разделить определенное множество (по сути, поверхность единичной сферы) на четыре части, затем поверните одну из них, чтобы она стала самой собой плюс две другие части. Это довольно легко следует из F ₂ -парадоксального разложения F ₂ , свободной группы с двумя образующими. Доказательство Банаха и Тарского основывалось на аналогичном факте, открытом Хаусдорфом несколькими годами ранее: поверхность единичной сферы в пространстве представляет собой непересекающееся объединение трех множеств B , C , D и счетного множества E таких, что, с одной стороны, B , C , D попарно конгруэнтны, а с другой стороны, B конгруэнтен объединению C и D . Это часто называют парадоксом Хаусдорфа .

Связь с более ранними работами и роль аксиомы выбора

Банах и Тарский открыто признают Джузеппе Витали построение в 1905 году множества, носящего его имя , парадокс Хаусдорфа (1914) и более раннюю (1923) статью Банаха как предшественников их работы. Конструкции Витали и Хаусдорфа зависят от Цермело аксиомы выбора (« AC »), которая также имеет решающее значение для статьи Банаха-Тарского как для доказательства их парадокса, так и для доказательства другого результата:

Два евклидовых многоугольника , один из которых строго содержит другой, не являются равносоставными .

Они отмечают:

Роль, которую эта аксиома играет в наших рассуждениях, нам представляется заслуживающей внимания.

(Роль, которую эта аксиома играет в наших рассуждениях, нам представляется заслуживающей внимания.)

Они отмечают, что хотя второй результат полностью согласуется с геометрической интуицией, его доказательство использует AC даже более существенным образом, чем доказательство парадокса. Таким образом, Банах и Тарский подразумевают, что AC не следует отвергать только потому, что он приводит к парадоксальному разложению, поскольку такой аргумент также подрывает доказательства геометрически интуитивных утверждений.

Однако в 1949 году А. П. Морс показал, что утверждение о евклидовых многоугольниках может быть доказано в ZF теории множеств и, следовательно, не требует аксиомы выбора. В 1964 году Пол Коэн доказал, что аксиома выбора не зависит от ZF , то есть выбор не может быть доказан с помощью ZF . Более слабой версией аксиомы выбора является аксиома зависимого выбора , DC , и было показано, что недостаточно для DC доказательства парадокса Банаха-Тарского, то есть,

Парадокс Банаха–Тарского не является теоремой ZF или ZF + DC , предполагая их непротиворечивость.

В больших объемах математики используется переменный ток . Как отмечает Стэн Вагон в конце своей монографии, парадокс Банаха-Тарского был более значимым из-за своей роли в чистой математике, чем из-за фундаментальных вопросов: он мотивировал новое плодотворное направление исследований — аменабельность групп, которая не имеет ничего общего с сделать с основными вопросами.

В 1991 году, используя недавние на тот момент результаты Мэтью Формана и Фридриха Верунга, Януш Павликовский доказал, что парадокс Банаха–Тарского следует из ZF плюс теоремы Хана–Банаха . Теорема Хана-Банаха не опирается на полную аксиому выбора, но может быть доказана с использованием более слабой версии AC, называемой леммой об ультрафильтре .

Набросок доказательства

Здесь набросано доказательство, похожее, но не идентичное доказательству, данному Банахом и Тарским. По сути, парадоксальное разложение шара достигается в четыре этапа:

1. Найдите парадоксальное разложение свободной группы по двум образующим .
2. Найдите группу вращений в трехмерном пространстве, изоморфную свободной группе в двух образующих.
3. Используйте парадоксальное разложение этой группы и выбранную аксиому, чтобы произвести парадоксальное разложение сферы полых единиц.
4. Распространите это разложение сферы на разложение твердого единичного шара.

Эти шаги обсуждаются более подробно ниже.

Шаг 1

Граф Кэли функции F ₂ , показывающий разложение на множества S ( a ) и aS ( a ⁻¹ ). Обход горизонтального края графа в правом направлении представляет собой левое умножение элемента F ₂ на a ; прохождение вертикального края графа вверх представляет собой левое умножение элемента F ₂ на b . Элементы множества S ( a ) — зеленые точки; элементы множества aS ( a ⁻¹ ) — это синие точки или красные точки с синей рамкой. Красные точки с синей каймой — элементы S ( a ⁻¹ ), которое является подмножеством aS ( a ⁻¹ ).

Свободная группа с двумя генераторами a и b состоит из всех конечных строк, которые можно составить из четырех символов a , a. ⁻¹ , б и б ⁻¹ так что ни один a не появляется непосредственно рядом с a ⁻¹ и ни один b не появляется непосредственно рядом с a b ⁻¹ . Две такие строки можно объединить и преобразовать в строку этого типа путем многократной замены «запрещенных» подстрок пустой строкой. Например: абаб ⁻¹ а ⁻¹ объединен с абабом ⁻¹ абаб дает ​ ⁻¹ а ⁻¹ Абаб ⁻¹ a , который содержит подстроку a ⁻¹ a , и поэтому сводится к abab ⁻¹ глава ⁻¹ a , который содержит подстроку b ⁻¹ b , который сводится к abaab ⁻¹ а . С помощью этой операции можно проверить, что набор этих строк образует группу с идентификационным элементом — пустой строкой e . Эту группу можно назвать F ₂ .

Группа $F_{2}$ можно «парадоксально разложить» следующим образом: пусть S ( a ) — подмножество $F_{2}$ состоящий из всех строк, которые начинаются с a и определяют S ( a ⁻¹ ), S ( б ) и S ( б ⁻¹ ) сходным образом. Четко,

$F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})$

но и

$F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a),$

и

$F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b),$

где обозначение aS ( a ⁻¹ ) означает взять все строки из S ( a ⁻¹ ) и объедините их слева с помощью .

Это основа доказательства. Например, может быть строка $aa^{-1}b$ в наборе $aS(a^{-1})$ что из-за правила, что $a$ не должен появляться рядом с $a^{-1}$, сводится к строке $b$. Сходным образом, $aS(a^{-1})$ содержит все строки, начинающиеся с $a^{-1}$ (например, строка $aa^{-1}a^{-1}$ что сводится к $a^{-1}$). Таким образом, $aS(a^{-1})$ содержит все строки, начинающиеся с $b$, $b^{-1}$ и $a^{-1}$, а также пустая строка $e$.

Группа F ₂ была разделена на четыре части (плюс один элемент { e }), затем две из них «сдвинуты» путем умножения на a или b , а затем «собраны» как две части, чтобы сделать одну копию. $F_{2}$ и два других, чтобы сделать еще одну копию $F_{2}$. Именно это и предназначено сделать с мячом.

Шаг 2

Чтобы найти свободную группу вращений трехмерного пространства, т.е. которая ведет себя точно так же (или «изоморфна » ) свободной группе F ₂ , берутся две ортогональные оси (например, оси x и z ). Тогда A считается вращением ${\textstyle \theta =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)}$ вокруг оси x , а B представляет собой вращение $\theta$ относительно оси z (есть много других подходящих пар иррациональных кратных π, которые также можно использовать здесь).

Группа вращений, порожденная и B , будет называться H. A Позволять $\omega$ быть элементом H , который начинается с положительного вращения вокруг оси z , то есть элементом формы $\omega =\ldots b^{k_{3}}a^{k_{2}}b^{k_{1}}$ с $k_{1}>0,\ k_{2},k_{3},\ldots ,k_{n}\neq 0,\ n\geq 1$. По индукции можно показать, что $\omega$ отображает точку $(1,0,0)$ к ${\textstyle \left({\frac {k}{3^{N}}},{\frac {l{\sqrt {2}}}{3^{N}}},{\frac {m}{3^{N}}}\right)}$, для некоторых $k,l,m\in \mathbb {Z} ,N\in \mathbb {N}$. Анализируя $k,l$ и $m$ по модулю 3, можно показать, что $l\neq 0$. Повторение того же аргумента (в силу симметрии задачи) справедливо, когда $\omega$ начинается с отрицательного вращения вокруг оси Z или вращения вокруг X. оси Это показывает, что если $\omega$ задается нетривиальным словом из A и B , то $\omega \neq e$. Следовательно, группа H является свободной группой, изоморфной F ₂ .

Два вращения ведут себя точно так же, как элементы a и b в группе F ₂ : теперь происходит парадоксальное разложение H .

Этот шаг невозможно выполнить в двух измерениях, поскольку он включает в себя вращения в трех измерениях. Если два вращения совершаются вокруг одной и той же оси, результирующая группа представляет собой группу абелевых кругов и не обладает свойством, требуемым на шаге 1.

Альтернативное арифметическое доказательство существования свободных групп в некоторых специальных ортогональных группах с использованием целых кватернионов приводит к парадоксальным разложениям группы вращения .

Шаг 3

Единичная сфера S ² разбивается на орбиты действием существует нашей группы H : две точки принадлежат одной и той же орбите тогда и только тогда, когда поворот в H , который перемещает первую точку во вторую. (Обратите внимание, что орбита точки — это плотное множество в S ² .) Аксиому выбора можно использовать для выбора ровно одной точки на каждой орбите; собрать эти точки в набор M . Действие H на данной орбите свободно и транзитивно , поэтому каждая орбита может быть отождествлена ​​с H . Другими словами, каждая точка в S ² можно достичь ровно одним способом, применив правильное вращение из H к правильному элементу из M . Поэтому парадоксальное разложение H S дает парадоксальное разложение ² на четыре части A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ следующим образом:

$A_{1}=S(a)M\cup M\cup B$

$A_{2}=S(a^{-1})M\setminus B$

$\displaystyle A_{3}=S(b)M$

$\displaystyle A_{4}=S(b^{-1})M$

где мы определяем

$S(a)M=\{s(x)|s\in S(a),x\in M\}$

и то же самое для других наборов, и где мы определяем

$B=a^{-1}M\cup a^{-2}M\cup \dots$

(Пять «парадоксальных» частей F ₂ не использовались напрямую, так как после удвоения они оставляли бы M в качестве лишней части из-за присутствия единственного элемента { e }.)

(Большая часть) сферы теперь разделена на четыре набора (каждый из которых плотен на сфере), и когда два из них вращаются, результат вдвое превышает тот, что был раньше:

$aA_{2}=A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}$

$bA_{4}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{4}$

Шаг 4

Наконец, соедините все точки на S ² с полуоткрытым отрезком к началу координат; парадоксальное разложение S ² тогда получается парадоксальное разложение твердого единичного шара минус точка в центре шара. (Эта центральная точка требует немного большего ухода; см. ниже.)

NB. В этом эскизе не учтены некоторые детали. Нужно быть осторожным с набором точек на сфере, которые лежат на оси некоторого вращения в H . Однако таких точек лишь счетное число, и, как и в случае с точкой в ​​центре шара, можно подправить доказательство, чтобы учесть их все. (См. ниже.)

Некоторые подробности, уточненные

На шаге 3 сфера была разбита на орбиты нашей группы H . Чтобы упростить доказательство, обсуждение точек, фиксируемых некоторым вращением, было опущено; поскольку парадоксальное разложение F ₂ основано на сдвиге определенных подмножеств, тот факт, что некоторые точки фиксированы, может вызвать некоторые проблемы. Поскольку любое вращение S ² (кроме нулевого вращения) имеет ровно две неподвижные точки , и поскольку H , изоморфное F ₂ , счетно , существует счетное число точек S ² которые фиксируются некоторым вращением в H . Обозначим этот набор неподвижных точек как D . Шаг 3 доказывает, что S ² − D допускает парадоксальную декомпозицию.

Остается предъявить Претензию : S. ² − D равноразложимо с S ² .

Доказательство. проходящая через начало координат и не пересекающая ни одну точку в D. Пусть λ — некоторая прямая , Это возможно, поскольку D счетно. Пусть J — набор углов α, такой, что для некоторого натурального числа n и некоторого P в D , r ( n α)P также находится в D , где r ( n α) — вращение вокруг λ угла n α. Тогда J счетно. Итак, существует угол θ, не J. принадлежащий Пусть ρ — вращение вокруг λ на θ. Тогда ρ действует на S ² без неподвижных точек в D , т. е. ρ ^н ( D ) не пересекается с D , и для натуральных m < n , ρ ^н ( D ) не пересекается с ρ ^м ( Д ). Пусть E — дизъюнктное объединение ρ ^н ( D ) по n = 0, 1, 2, ... . Тогда С ² = Е ∪ ( S ² - E ) ~ ρ( E ) ∪ ( S ² - E ) знак равно ( E - D ) ∪ ( S ² - Е ) знак равно С ² − D , где ~ означает «равноразложимо».

Для шага 4 уже было показано, что шар минус точка допускает парадоксальное разложение; осталось показать, что шар без точки равносоставен с шаром. Рассмотрим круг внутри шара, содержащий точку в центре шара. Используя аргумент, подобный тому, который использовался для доказательства утверждения, можно увидеть, что полный круг равносоставим с кругом за вычетом точки в центре шара. (По сути, счетный набор точек на окружности можно повернуть, чтобы получить еще одну точку.) Обратите внимание, что это включает в себя вращение вокруг точки, отличной от начала координат, поэтому парадокс Банаха – Тарского включает изометрии евклидова трехмерного пространства. а не просто SO(3) .

Используется тот факт, что если ~ В и В ~ С , то А ~ С. А Разложение A на C равное произведению чисел, необходимых для превращения A в B и для превращения B в C. можно выполнить, используя количество частей ,

Для доказательства, описанного выше, требуется 2 × 4 × 2 + 8 = 24 детали — коэффициент 2 для удаления фиксированных точек, коэффициент 4 для шага 1, коэффициент 2 для воссоздания фиксированных точек и коэффициент 8 для центральной точки второго шара. . Но на шаге 1 при перемещении { e } и всех строк вида a ^н в S ( а ⁻¹ ), проделайте это со всеми орбитами, кроме одной. Переместите { e } этой последней орбиты в центральную точку второго шара. Таким образом, общее количество снижается до 16 + 1 штука. Используя больше алгебры, можно также разложить фиксированные орбиты на 4 набора, как на шаге 1. Это дает 5 частей и является лучшим из возможных.

Получение бесконечного количества шаров из одного

Используя парадокс Банаха–Тарского, можно получить k копий шара в евклидовом n -пространстве из одного для любых целых чисел n ≥ 3 и k ≥ 1, т.е. шар можно разрезать на k частей так, что каждый из из них равносоставим шар того же размера, что и исходный. Используя тот факт, что свободная группа F ₂ ранга 2 допускает свободную подгруппу счетного ранга, аналогичное доказательство дает, что единичная сфера S ^{п -1} можно разбить на счетное бесконечное число кусков, каждый из которых равносложно (с двумя кусками) на S ^{п -1} с помощью вращений. Используя аналитические свойства группы вращений SO( n ) , которая является связной аналитической группой Ли , можно дополнительно доказать, что сфера S ^{п -1} можно разделить на столько частей, сколько существует действительных чисел (т. е. $2^{\aleph _{0}}$ куски), так что каждый кусок равносостоим с двумя кусками для S ^{п -1} с помощью вращений. Эти результаты затем распространяются на единичный шар, лишенный начала координат. Статья Валерия Чуркина 2010 года дает новое доказательство непрерывной версии парадокса Банаха – Тарского.

Парадокс фон Неймана в евклидовой плоскости

Основная статья: Парадокс фон Неймана

В евклидовой плоскости две фигуры, равноразложимые относительно группы евклидовых движений, обязательно имеют одну и ту же площадь, и поэтому парадоксальное разложение квадрата или диска типа Банаха–Тарского, использующее только евклидовы сравнения, невозможно. Концептуальное объяснение различия между плоскими и многомерными случаями было дано Джоном фон Нейманом : в отличие от группы SO(3) вращений в трёх измерениях группа E (2) евклидовых движений плоскости разрешима , что влечет существование конечно-аддитивной меры на E (2) и R ² который инвариантен относительно сдвигов и вращений и исключает парадоксальные разложения непренебрежимо малых множеств. Затем фон Нейман поставил следующий вопрос: можно ли построить такое парадоксальное разложение, если допустить большую группу эквивалентностей?

Ясно, что если допустить сходство , то любые два квадрата на плоскости станут эквивалентными даже без дальнейшего деления. Это заставляет ограничить внимание группой SA ₂ аффинных преобразований, сохраняющих площадь . Поскольку площадь сохраняется, любое парадоксальное разложение квадрата по этой группе было бы нелогичным по тем же причинам, что и разложение шара Банаха – Тарского. Действительно, группа SA ₂ содержит в качестве подгруппы специальную линейную группу SL (2, R ) , которая, в свою очередь, содержит свободную группу F ₂ в качестве подгруппы с двумя образующими. Это делает вероятным, что доказательство парадокса Банаха–Тарского можно имитировать на плоскости. Основная трудность здесь заключается в том, что единичный квадрат не инвариантен относительно действия линейной группы SL (2, R ), поэтому нельзя просто перенести парадоксальное разложение с группы на квадрат, как на третьем шаге приведенное выше доказательство парадокса Банаха – Тарского. Кроме того, трудности представляют неподвижные точки группы (например, начало координат фиксировано при всех линейных преобразованиях). Вот почему фон Нейман использовал большую группу SA ₂ , включая переводы, и построил парадоксальное разложение единичного квадрата по расширенной группе (в 1929 г.). Применяя метод Банаха–Тарского, парадокс квадрата можно усилить следующим образом:

Любые два ограниченных подмножества евклидовой плоскости с непустой внутренностью равносоставны относительно аффинных отображений, сохраняющих площадь.

Как отмечает фон Нейман:

«В результате уже не существует неотрицательной аддитивной меры на плоскости (где единичный квадрат имеет меру 1), которая была бы инвариантна ко всем отображениям А ₂ ».

«В соответствии с этим уже на плоскости не существует неотрицательной аддитивной меры (для которой единичный квадрат имеет меру 1), инвариантной относительно всех преобразований, принадлежащих А ₂ [группе сохраняющих площадь аффинные преобразования].»

Чтобы объяснить далее, вопрос о том, существует или нет конечно-аддитивная мера (которая сохраняется при определенных преобразованиях), зависит от того, какие преобразования разрешены. Банахова мера множеств на плоскости, сохраняющаяся при сдвигах и поворотах, не сохраняется при неизометрических преобразованиях, даже если они сохраняют площадь многоугольников. Точки плоскости (кроме начала координат) можно разделить на два плотных множества которые можно назвать A и B. , Если точки A данного многоугольника преобразуются одним преобразованием, сохраняющим площадь, а точки B - другим, оба набора могут стать подмножествами точек A в двух новых многоугольниках. Новые многоугольники имеют ту же площадь, что и старый многоугольник, но два преобразованных набора не могут иметь ту же меру, что и раньше (поскольку они содержат только часть точек A ), и поэтому не существует меры, которая «работает».

Класс групп, выделенный фон Нейманом в ходе изучения явления Банаха–Тарского, оказался очень важным для многих областей математики: это аменабельные группы , или группы с инвариантным средним, и включают в себя все конечные и все разрешимые группы. . Вообще говоря, парадоксальные разложения возникают, когда группа, используемая для эквивалентностей в определении равноразложимости, не аменабельна.

Недавний прогресс

• 2000: Статья фон Неймана оставила открытой возможность парадоксального разложения внутренности единичного квадрата относительно линейной группы SL (2, R ) (Вагон, вопрос 7.4). В 2000 году Миклош Лашкович доказал, что такое разложение существует. Точнее, пусть A — семейство всех ограниченных подмножеств плоскости с непустой внутренностью и на положительном расстоянии от начала координат, а B — семейство всех плоских множеств со свойством, что объединение конечного числа переводится под некоторые элементы SL R (2, ) содержит проколотую окрестность начала координат. Тогда все множества семейства A SL(2, R )-равносоставны, как и множества из B . Отсюда следует, что оба семейства состоят из парадоксальных множеств.
• 2003: Давно было известно, что полная плоскость парадоксальна по отношению к SA ₂ и что минимальное количество частей будет равно четырем при условии, что существует локально коммутативная свободная подгруппа SA ₂ . В 2003 году Кензи Сато создал такую ​​подгруппу, подтвердив, что четырех штук достаточно.
• 2011: статья Лачковича оставил открытой возможность существования свободной группы F кусочно-линейных преобразований, действующей на проколотом диске D \{0,0} без неподвижных точек. Гжегож Томкович построил такую ​​группу: показывая, что система сравнений A ≈ B ≈ C ≈ B U C может быть реализована с помощью F и D \{0,0}.
• 2017: Давно известно, что в гиперболической плоскости H существует ² набор E , который является третьим, четвертым и... и $2^{\aleph _{0}}$-я часть H ² . Этому требованию удовлетворяли сохраняющие ориентацию изометрии H ² . Аналогичные результаты были получены Джоном Франком Адамсом. и Ян Мисельский который показал, что единичная сфера S ² содержит набор E, который представляет собой половину, треть, четвертую и... и $2^{\aleph _{0}}$-я часть S ² . Гжегож Томкович показал, что конструкцию Адамса и Мицельского можно обобщить, чтобы получить множество E из H ² с теми же свойствами, что и в S ² .
• 2017: Парадокс фон Неймана касается евклидовой плоскости, но есть и другие классические пространства, где возможны парадоксы. Например, можно спросить, существует ли парадокс Банаха–Тарского в гиперболической плоскости H. ² . Это показали Ян Мыцельский и Гжегож Томкович. Томкович доказал также, что большинство классических парадоксов являются простым следствием результатов теории графов и того факта, что рассматриваемые группы достаточно богаты.
• 2018: В 1984 году Ян Мисельски и Стэн Вагон. использует построенное парадоксальное разложение гиперболической плоскости H ² использующий множества Бореля. Парадокс зависит от существования собственно разрывной подгруппы группы изометрий H ² . Аналогичный парадокс получен Гжегожем Томковичем. который построил свободную собственно разрывную подгруппу G аффинной группы SA (3, Z ). Существование такой группы влечет за собой существование подмножества E группы Z ³ такая, что для любого конечного F группы Z ³ существует элемент g из G такой, что $g(E)=E\triangle F$, где $E\,\triangle \,F$ обозначает симметричную разность E и F .
• 2019: Парадокс Банаха – Тарского использует конечное количество частей при дублировании. В случае счетного числа частей любые два множества с непустой внутренностью равносоставимы с помощью трансляций. Но допуская только измеримые по Лебегу куски, получаем: если A и B являются подмножествами R ^н с непустой внутренностью, то они имеют равные меры Лебега тогда и только тогда, когда они счетно равноразложимы с помощью измеримых по Лебегу кусков. Ян Мицельский и Гжегож Томкович распространил этот результат на конечномерные группы Ли и вторые счетные локально компактные топологические группы, которые полностью несвязны или имеют счетное число компонент связности.
• 2024: Роберт Сэмюэл Саймон и Гжегож Томкович ввел правило раскраски точек в канторовом пространстве, которое связывает парадоксальные разложения с оптимизацией. Это позволяет найти применение парадоксальным декомпозициям в экономической науке.
• 2024: Гжегож Томкович доказал, что в случае несупраменабельных связных групп Ли G, действующих непрерывно и транзитивно на метрическом пространстве, ограниченные парадоксальные множества G являются общими.

См. также

• Парадокс Хаусдорфа
• Никодим набор
• Парадоксы теории множеств
• Задача Тарского о квадратуре круга - Задача разрезания и сборки диска в квадрат.
• Парадокс фон Неймана

Ссылки

• Банах, Стивен ; Тарский, Альфред (1924). «О разложении множеств точек на соответственно конгруэнтные части» (PDF) . Фундамента Математика . 6 : 244–277. дои : 10.4064/fm-6-1-244-277 .
• Чуркин, В.А. (2010). «Непрерывная версия парадокса Хаусдорфа – Банаха – Тарского». Алгебра и логика . 49 (1): 91–98. дои : 10.1007/s10469-010-9080-y . S2CID   122711859 .
• Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман (1940) Математика и воображение , стр. 205–7, Саймон и Шустер .
• Стромберг, Карл (март 1979 г.). «Парадокс Банаха-Тарского». Американский математический ежемесячник . 86 (3). Математическая ассоциация Америки: 151–161. дои : 10.2307/2321514 . JSTOR   2321514 .
• Су, Фрэнсис Э. «Парадокс Банаха-Тарского» (PDF) .
• фон Нейман, Джон (1929). «К общей теории массы» (PDF) . Фундамента Математика . 13 :73–116. дои : 10.4064/fm-13-1-73-116 .
• Вагон, Стэн (1994). Парадокс Банаха-Тарского . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-45704-1 .
• Вапнер, Леонард М. (2005). Горошина и солнце: математический парадокс . Уэлсли, Массачусетс: АК Питерс. ISBN  1-56881-213-2 .
• Томкович, Гжегож ; Вагон, Стэн (2016). Парадокс Банаха-Тарского, 2-е издание . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107042599 .

Внешние ссылки

• Парадокс Банаха-Тарского в ProofWiki
• Парадокс Банаха-Тарского , Стэн Вагон ( Колледж Макалестер ), Демонстрационный проект Вольфрама .
• Необычный веб-комикс! № 2339 Дэвида Моргана-Мара дает нетехническое объяснение парадокса. Он включает в себя пошаговую демонстрацию того, как создать две сферы из одной.
• Всаусе. «Парадокс Банаха-Тарского» - на YouTube дается обзор фундаментальных основ парадокса.
• Банах-Тарский и парадокс бесконечного клонирования