Теорема Уоллеса–Бойяи–Гервина

По теореме Уоллеса-Бойяи-Гервина квадрат можно разрезать на части и перестроить в треугольник равной площади.

В геометрии теорема Уоллеса -Бойяи-Гервина , Названная в честь Уильяма Уоллеса , Фаркаша Боляи и П. Гервина , это теорема, связанная разрезанием многоугольников с . Он отвечает на вопрос, когда один многоугольник можно образовать из другого, разрезав его на конечное число частей и перекомпоновав их посредством перемещений и вращений . Теорема Уоллеса-Бойяи-Гервина утверждает, что это можно сделать тогда и только тогда, когда два многоугольника имеют одинаковую площадь .

Уоллес доказал тот же результат еще в 1807 году.

Согласно другим источникам, Бояи и Гервин независимо доказали теорему в 1833 и 1835 годах соответственно.

Формулировка

Существует несколько способов формулировки этой теоремы. Наиболее распространенная версия использует концепцию «равноразложимости» многоугольников: два многоугольника являются равноразложимыми, если их можно разбить на конечное число треугольников , которые отличаются только некоторой изометрией (фактически только комбинацией перемещения и вращения). В этом случае теорема Уоллеса-Бойяи-Гервина утверждает, что два многоугольника равноразложимы тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую площадь.

Другая формулировка основана на конгруэнтности ножниц : два многоугольника считаются равными ножницам, если их можно разложить на конечное число многоугольников, попарно конгруэнтных . Ножницы-конгруэнтность — это отношение эквивалентности . В этом случае теорема Уоллеса-Бойяи-Гервина утверждает, что классы эквивалентности этого отношения содержат именно те многоугольники, которые имеют одинаковую площадь.

Эскиз доказательства

Теорему можно понять в несколько шагов. Во-первых, любой многоугольник можно разрезать на треугольники. Для этого есть несколько методов. Для выпуклых многоугольников можно отрезать каждую вершину по очереди, тогда как для вогнутых многоугольников это требует большей осторожности. Общий подход, который работает и для непростых многоугольников, заключается в том, чтобы выбрать линию, не параллельную ни одной из сторон многоугольника, и провести линию, параллельную этой, через каждую из вершин многоугольника. Это разделит многоугольник на треугольники и трапеции , которые, в свою очередь, можно преобразовать в треугольники.

Во-вторых, каждый из этих треугольников можно преобразовать в прямоугольный треугольник, а затем в прямоугольник с одной стороной длины 1. Альтернативно, треугольник можно преобразовать в один такой прямоугольник, превратив сначала его в параллелограмм , а затем превратив его в такой прямоугольник. Сделав это для каждого треугольника, многоугольник можно разложить на прямоугольник с единичной шириной и высотой, равными его площади.

Поскольку это можно сделать для любых двух многоугольников, «общее подразделение» прямоугольника между ними доказывает теорему. То есть разрезание общего прямоугольника (размера 1 по площади) по обоим многоугольникам будет промежуточным между обоими многоугольниками.

Примечания к доказательству

Прежде всего, для этого доказательства требуется промежуточный многоугольник. При формулировке теоремы с использованием ножничного сравнения использование этого промежуточного звена можно переформулировать, используя тот факт, что ножничные сравнения транзитивны. Поскольку и первый многоугольник, и второй многоугольник равны по ножницам промежуточному, они равны по ножницам друг другу.

Доказательство этой теоремы конструктивно и не требует аксиомы выбора , хотя некоторые другие задачи рассечения (например, задача Тарского о квадратуре круга ) в ней нуждаются. В этом случае разложение и сборка действительно могут осуществляться «физически»: детали теоретически можно вырезать ножницами из бумаги и собрать вручную.

Тем не менее, количество частей, необходимых для составления одного многоугольника из другого с использованием этой процедуры, обычно намного превышает минимально необходимое количество многоугольников.

Степень разлагаемости

Рассмотрим два равноразложимых многоугольника P и Q . Минимальное количество n частей, необходимое для составления одного многоугольника Q из другого многоугольника P, обозначается σ( P , Q ).

В зависимости от многоугольников можно оценить верхнюю и нижнюю границы σ( P , Q ). Например, Альфред Тарский доказал, что если равны соответственно d ( ) P P выпукло и диаметры P и Q и d ( Q ), то

$\sigma (P,Q)\geq {\frac {d(P)}{d(Q)}}.$

Если P _x — прямоугольник со сторонами a   ·   x и a   ·   (1/ x ) и Q – квадрат со стороной a , то P _x и Q равноразложимы для любого x > 0. Верхняя оценка для σ( P _x , Q ) определяется выражением

$\sigma (P_{x},Q)\leq 2+\left\lceil {\sqrt {x^{2}-1}}\right\rceil ,\quad {\text{for }}x\geq 1.$

Поскольку σ( P _x , Q ) = σ( P _{(1/ x )} , Q ), мы также имеем, что

$\sigma \left(P_{\frac {1}{x}},Q\right)\leq 2+\left\lceil {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right\rceil ,\quad {\text{for }}x\leq 1.$

Обобщения

Аналогичное утверждение о многогранниках в трех измерениях, известное как третья проблема Гильберта , неверно, как доказал Макс Ден в 1900 году. Проблема также рассматривалась в некоторых неевклидовых геометриях . В двумерной гиперболической и сферической геометрии теорема справедлива. Однако для этих трехмерных геометрий проблема все еще остается открытой.

Внешние ссылки

• Теорема Уоллеса–Бойяи–Гервина.
• Конгруэнтность ножниц - интерактивная демонстрация теоремы Уоллеса-Бойяи-Гервина.
• Видео, показывающее эскиз доказательства
• Пример теоремы Бойяи-Гервина Шандора Кабая, Сабо Ференца Холло и Лайоша Силасси , Демонстрационный проект Wolfram .
• Презентация о третьей проблеме Гильберта в колледже Стейтен-Айленда CUNY — Абхиджит Чампанеркар.
• Оптимальное разрезание единичного квадрата на прямоугольник.