Третья проблема Гильберта

Третья из списка математических задач Гильберта , представленная в 1900 году, была решена первой. Проблема связана со следующим вопросом: для любых двух многогранников одинакового объема всегда ли можно разрезать первый на конечное число многогранных частей, из которых можно собрать второй? На основе более ранних работ Карла Фридриха Гаусса , ^[1] Дэвид Гилберт предположил, что это не всегда возможно. Это было подтверждено в течение года его учеником Максом Деном , который доказал, что ответ в целом «нет», приведя контрпример. ^[2]

Ответ на аналогичный вопрос о двумерных многоугольниках — «да» и был известен уже давно; это теорема Уоллеса-Бойяи-Гервина .

академией искусств и наук Неизвестно Гильберту и Дену, третья проблема Гильберта была также независимо предложена Владиславом Кретковским для математического конкурса 1882 года, проводимого Краковской , и была решена Людвиком Антони Биркенмайером методом, отличным от метода Дена. Биркенмайер не опубликовал результат, а оригинальная рукопись, содержащая его решение, была заново открыта годы спустя. ^[3]

История и мотивация

Формула объема пирамиды ,

{\frac {{\text{base area}}\times {\text{height}}}{3}},

был известен Евклиду , но все его доказательства включают в себя ту или иную форму ограничивающего процесса или исчисления , в частности, метод исчерпания или, в более современной форме, принцип Кавальери . Подобные формулы в геометрии плоскостей можно доказать более элементарными средствами. Гаусс сожалел об этом дефекте в двух своих письмах Христиану Людвигу Герлингу , который доказал, что два симметричных тетраэдра равноразложимы . ^[3]

Письма Гаусса послужили мотивацией для Гильберта: можно ли доказать равенство объёмов элементарными методами «вырезания и склеивания»? Потому что в противном случае невозможно и элементарное доказательство результата Евклида.

Ответ Дена

Доказательство Дена — это случай, когда абстрактная алгебра используется для доказательства результата о невозможности в геометрии . Другими примерами являются удвоение куба и трисекция угла .

Два многогранника называются равными ножницам, если первый можно разрезать на конечное число многогранных частей, из которых можно собрать второй. Любые два ножницеобразных многогранника имеют одинаковый объем. Гильберт спрашивает об обратном .

Для каждого многогранника $P$ Ден определяет значение, теперь известное как инвариант Дена. $\operatorname {D} (P)$ , со свойством, что,если $P$ разрезается на многогранные куски $P_{1},P_{2},\dots P_{n}$ , затем $\operatorname {D} (P)=\operatorname {D} (P_{1})+\operatorname {D} (P_{2})+\cdots +\operatorname {D} (P_{n}).$ В частности, если два многогранника равны ножницам, то они имеют один и тот же инвариант Дена. Затем он показывает, что каждый куб имеет нулевой инвариант Дена, в то время как каждый правильный тетраэдр имеет ненулевой инвариант Дена. Следовательно, эти две фигуры не могут быть равными ножницам.

Инвариант многогранника определяется на основе длин его ребер и углов между его гранями. Если многогранник разрезается на две части, некоторые ребра разрезаются на две части, и поэтому соответствующие вклады в инварианты Дена должны быть аддитивными по длинам ребер. Аналогично, если многогранник разрезать по ребру, соответствующий угол разрежется на две части. Разрезание многогранника обычно также приводит к появлению новых ребер и углов; их вклады должны компенсироваться. Углы, возникающие при прохождении разреза через грань, увеличивают $\pi$ , а углы, введенные вокруг внутреннего ребра многогранника, складываются в $2\pi$ . Следовательно, инвариант Дена определяется таким образом, что целые числа, кратные углам $\pi$ дать чистый вклад, равный нулю.

Все вышеперечисленные требования могут быть удовлетворены путем определения $\operatorname {D} (P)$ как элемент тензорного произведения действительных чисел $\mathbb {R}$ (представляющие длины ребер) и фактор-пространство $\mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )$ (представляющие углы со всеми рациональными кратными $\pi$ заменено на ноль). Для некоторых целей это определение можно сделать, используя тензорное произведение модулей над $\mathbb {Z}$ (или, что то же самое, абелевых групп ), в то время как другие аспекты этой темы используют структуру векторного пространства инвариантов, полученную путем рассмотрения двух факторов $\mathbb {R}$ и $\mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )$ быть векторными пространствами над $\mathbb {Q}$ и взяв тензорное произведение векторных пространств по $\mathbb {Q}$ . Этот выбор структуры в определении не влияет на то, равны или неравны два инварианта Дена, определенные тем или иным способом.

Для любого края $e$ многогранника $P$ , позволять $\ell (e)$ будет его длина и пусть $\theta (e)$ обозначают двугранный угол двух граней $P$ которые встречаются в $e$ , измеряется в радианах и считается рациональным кратным по модулю $\pi$ . Тогда инвариант Дена определяется как $\operatorname {D} (P)=\sum _{e}\ell (e)\otimes \theta (e)$ где сумма берется по всем ребрам $e$ многогранника $P$ . Это оценка .

Дополнительная информация

В свете приведенной выше теоремы Дена можно было бы задаться вопросом: «какие многогранники равны ножницам»? Сидлер (1965) показал, что два многогранника равны ножницам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый объем и один и тот же инвариант Дена. ^[4] Позже Борге Йессен расширил результаты Сидлера до четырех измерений. ^[5] В 1990 году Дюпон и Сах предоставили более простое доказательство результата Сидлера, переосмыслив его как теорему о гомологии некоторых классических групп . ^[6]

Дебраннер показал в 1980 году, что инвариант Дена любого многогранника, которым все трехмерное пространство, можно периодически замостить равен нулю. ^[7]

Нерешенная задача по математике :

Должны ли в сферической или гиперболической геометрии многогранники с одинаковым объемом и инвариантом Дена быть равными ножницам?

(еще нерешенные задачи по математике)

Джессен поставил также вопрос о том, остается ли аналог результатов Джессена верным для сферической геометрии и гиперболической геометрии . В этих геометриях метод Дена продолжает работать и показывает, что когда два многогранника конгруэнтны по ножницам, их инварианты Дена равны. Однако остается открытым вопрос , всегда ли в этих геометриях пары многогранников одинакового объема и одного и того же инварианта Дена равны ножницам. ^[8]

Оригинальный вопрос

Исходный вопрос Гильберта был более сложным: если даны любые два тетраэдра Т ₁ и Т ₂ с одинаковой площадью основания и одинаковой высотой (и, следовательно, равным объемом), всегда ли можно найти конечное число тетраэдров, так что при склеивании этих тетраэдров каким-то образом к T ₁ и также приклеен к T ₂ , полученные многогранники будут равны ножницам?

Инвариант Дена можно использовать для получения отрицательного ответа и на этот более сильный вопрос.

См. также

Ссылки

^ Карл Фридрих Гаусс : Сочинения , вып. 8, стр. 241 и 244.
^ Ден, Макс (1901). «Об объёме пространства» . Математические летописи . 55 (3): 465–478. дои : 10.1007/BF01448001 . S2CID 120068465 .
^ Jump up to: ^а ^б Чесельска, Данута; Чесельский, Кшиштоф (29 мая 2018 г.). «Равноразложимость многогранников: решение третьей проблемы Гильберта в Кракове до ICM 1900 года» . Математический интеллект . 40 (2): 55–63. дои : 10.1007/s00283-017-9748-4 . ISSN 0343-6993 .
^ Сидлер, Ж.-П. (1965). «Необходимые и достаточные условия эквивалентности многогранников в трехмерном евклидовом пространстве». Как. Математика. Хелв. 40 :43–80. дои : 10.1007/bf02564364 . S2CID 123317371 .
^ Йессен, Бёрге (1972). «Об алгебре многогранников». Новости Академии наук в Геттингене, Математик-физический класс, II отделение: Новости физики, астрономии, геофизики, техники : 47–53. МР 0353150 . Збл 0262.52004 .
^ Дюпон, Йохан; Сах, Чи-Хан (1990). «Гомологии евклидовых групп движений, сделанных дискретными, и евклидовы ножницы-конгруэнции» . Акта Математика. 164 (1–2): 1–27. дои : 10.1007/BF02392750 .
^ Дебруннер, Ганс Э. (1980). «О равенстве разложения тротуарных многогранников с кубами». Арх. Матем. 35 (6): 583–587. дои : 10.1007/BF01235384 . S2CID 121301319 .
^ Дюпон, Йохан Л. (2001), Сравнения ножниц, гомологии групп и характеристические классы , Нанкайские трактаты по математике, том. 1, World Scientific Publishing Co., Inc., Ривер Эдж, Нью-Джерси, с. 6, номер домена : 10.1142/9789812810335 , ISBN 978-981-02-4507-8 , MR 1832859 , заархивировано из оригинала 29 апреля 2016 г.

Дальнейшее чтение

Бенко, Д. (2007). «Новый подход к третьей проблеме Гильберта». Американский математический ежемесячник . 114 (8): 665–676. дои : 10.1080/00029890.2007.11920458 . S2CID 7213930 .
Шварц, Рич (2010). «Объяснение теоремы Дена – Сидлера» (PDF) .
Кодзи, Сига; Тошиказу Сунада (2005). Математический дар, III: Взаимодействие между топологией, функциями, геометрией и алгеброй . Американское математическое общество.

Внешние ссылки

Доказательство теоремы Дена во всем2
Вайсштейн, Эрик В. «Инвариант Дена» . Математический мир .
Инвариант Дена во всем2
Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Инвариант Дена» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Карл Фридрих Гаусс : Сочинения , вып. 8, стр. 241 и 244.

[2] Ден, Макс (1901). «Об объёме пространства» . Математические летописи . 55 (3): 465–478. дои : 10.1007/BF01448001 . S2CID 120068465 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Чесельска, Данута; Чесельский, Кшиштоф (29 мая 2018 г.). «Равноразложимость многогранников: решение третьей проблемы Гильберта в Кракове до ICM 1900 года» . Математический интеллект . 40 (2): 55–63. дои : 10.1007/s00283-017-9748-4 . ISSN 0343-6993 .

[4] Сидлер, Ж.-П. (1965). «Необходимые и достаточные условия эквивалентности многогранников в трехмерном евклидовом пространстве». Как. Математика. Хелв. 40 :43–80. дои : 10.1007/bf02564364 . S2CID 123317371 .

[5] Йессен, Бёрге (1972). «Об алгебре многогранников». Новости Академии наук в Геттингене, Математик-физический класс, II отделение: Новости физики, астрономии, геофизики, техники : 47–53. МР 0353150 . Збл 0262.52004 .

[6] Дюпон, Йохан; Сах, Чи-Хан (1990). «Гомологии евклидовых групп движений, сделанных дискретными, и евклидовы ножницы-конгруэнции» . Акта Математика. 164 (1–2): 1–27. дои : 10.1007/BF02392750 .

[7] Дебруннер, Ганс Э. (1980). «О равенстве разложения тротуарных многогранников с кубами». Арх. Матем. 35 (6): 583–587. дои : 10.1007/BF01235384 . S2CID 121301319 .

[8] Дюпон, Йохан Л. (2001), Сравнения ножниц, гомологии групп и характеристические классы , Нанкайские трактаты по математике, том. 1, World Scientific Publishing Co., Inc., Ривер Эдж, Нью-Джерси, с. 6, номер домена : 10.1142/9789812810335 , ISBN 978-981-02-4507-8 , MR 1832859 , заархивировано из оригинала 29 апреля 2016 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]