Инвариант Дена

Не путать с функцией Дена .

В геометрии — инвариант Дена это величина, используемая для определения того, можно ли один многогранник разрезать на части и снова собрать (« рассечь ») в другой, и может ли многогранник или его сечения замостить пространство . Он назван в честь Макса Дена , который использовал его для решения третьей проблемы Гильберта , доказав, что некоторые многогранники одинакового объема не могут быть разделены друг на друга.

Два многогранника распадаются на многогранные куски, которые можно собрать в любой из них тогда и только тогда, когда их объемы и инварианты Дена равны. Наличие нулевого инварианта Дена является необходимым (но не достаточным) условием для того, чтобы быть многогранником, заполняющим пространство, и многогранник можно разрезать и снова собрать в заполняющий пространство многогранник тогда и только тогда, когда его инвариант Дена равен нулю. без самопересечений Инвариант Дена гибкого многогранника инвариантен при его изгибании. Инварианты Дена также являются инвариантом для рассечения в более высоких измерениях и (с учетом объема) полным инвариантом в четырех измерениях.

Инвариант Дена равен нулю для куба , но не равен нулю для других платоновых тел , что означает, что другие твердые тела не могут замостить пространство и их нельзя разрезать на куб. Все архимедовы тела имеют инварианты Дена, которые представляют собой рациональные комбинации инвариантов платоновых тел. В частности, усеченный октаэдр также разбивает пространство на плитки и имеет нулевой инвариант Дена, как и куб.

Инварианты Дена многогранников не являются числами. Вместо этого они являются элементами бесконечномерного тензорного пространства . Это пространство, рассматриваемое как абелева группа , является частью точной последовательности, включающей гомологии групп . Подобные инварианты также могут быть определены для некоторых других головоломок разделения , включая задачу разделения прямолинейных многоугольников друг на друга посредством разрезов и перемещений, параллельных осям.

Предыстория и история

Разрезание квадрата и равностороннего треугольника друг на друга. Для куба и правильного тетраэдра такого разреза не существует .

В двух измерениях теорема Уоллеса-Бойяи-Гервина начала XIX века гласит, что любые два многоугольника одинаковой площади можно разрезать на многоугольные части и снова собрать друг в друга. В конце 19 века Давид Гильберт этим результатом заинтересовался . Он использовал его как способ аксиоматизировать площадь двумерных многоугольников в связи с аксиомами Гильберта для евклидовой геометрии . Это было частью программы, направленной на то, чтобы сделать основы геометрии более строгими, путем явной обработки таких понятий, как площадь, с которыми » Евклида «Начала обращались более интуитивно. Естественно, это подняло вопрос о том, можно ли распространить подобную аксиоматическую трактовку на твердотельную геометрию .

На Международном конгрессе математиков 1900 года Гильберт сформулировал проблемы Гильберта — набор задач, которые стали очень влиятельными в математике 20-го века.Одна из них, третья проблема Гильберта , касалась вопроса аксиоматизации твердого объема. Третья проблема Гильберта, в частности, спрашивала, всегда ли каждые два многогранника равных объемов можно разрезать на многогранные части и снова собрать друг в друга. Если бы это было так, то объем любого многогранника можно было бы аксиоматически определить как объем эквивалентного куба, в который его можно было бы собрать заново. Однако ответ оказался отрицательным: не все многогранники можно разрезать на кубы.

В отличие от некоторых других проблем Гильберта, ответ на третью проблему пришел очень быстро. Фактически, Рауль Брикар уже заявил об этом как о теореме в 1896 году, но доказательство оказалось неполным. Ученик Гильберта Макс Ден в своей докторской диссертации 1900 года изобрел инвариант Дена, чтобы решить эту проблему. Ден доказал, что для повторной сборки друг в друга два многогранника одинакового объема должны также иметь одинаковый инвариант Дена, но он нашел два тетраэдра одинакового объема, инварианты Дена которых различались. Это дало отрицательное решение проблемы. Хотя Ден сформулировал свой инвариант иначе,современный подход к инварианту Дена состоит в том, чтобы описать его как значение в тензорном произведении , следуя Джессену (1968) .

Примеры

Упрощенный расчет

Определение инварианта Дена таким образом, чтобы его можно было применить ко всем многогранникам одновременно, включает в себя бесконечномерные векторные пространства (см. § Полное определение ниже). Однако, если ограничиться каким-либо конкретным примером, состоящим из конечного числа многогранников, таких как Платоновы тела , его можно определить более простым способом, включающим только конечное число измерений, следующим образом:

• Определите длины ребер и двугранные углы (угол между двумя гранями, встречающимися вдоль ребра) всех многогранников.
• Найдите подмножество углов, образующее рациональную основу . Это означает, что каждый двугранный угол можно представить как линейную комбинацию базисных элементов с рациональными числовыми коэффициентами. Кроме того, никакая рациональная линейная комбинация базисных элементов не может быть равна нулю . Включать $\pi$ (или рациональное кратное $\pi$) на этом основании.
• Для каждого ребра многогранника представим его двугранный угол как рациональную комбинацию углов от основания. Отбросьте коэффициент при рациональном кратном $\pi$ в этой комбинации. Интерпретируйте оставшиеся коэффициенты как координаты вектора , размеры которого представляют базисные углы, и масштабируйте этот вектор по длине ребра.
• Суммируйте векторы для всех ребер многогранника, чтобы получить его инвариант Дена.

Хотя этот метод предполагает произвольный выбор базисных элементов, этот выбор влияет только на коэффициенты, которыми представлены инварианты Дена. Как элементы абстрактного векторного пространства, на них не влияет выбор базиса. Векторное пространство, натянутое инвариантами Дена любого конечного набора многогранников, образует конечномерное подпространство бесконечномерного векторного пространства, в котором определены инварианты Дена всех многогранников. Вопрос о том, какие комбинации двугранных углов связаны рациональными линейными комбинациями, не всегда однозначен и может включать в себя нетривиальные методы теории чисел .

Платоновые тела

Для пяти Платоновых тел двугранные углы равны:

• $\theta _{\mathrm {tet} }=\arccos {\tfrac {1}{3}}\approx 70.5^{\circ }$ для тетраэдра.
• $\theta _{\mathrm {cube} }=\pi /2=90^{\circ }$, прямой угол для куба.
• $\theta _{\mathrm {oct} }=\arccos(-{\tfrac {1}{3}})\approx 109.5^{\circ }$ для октаэдра.
• $\theta _{\mathrm {dodec} }=2\arctan \varphi \approx 116.6^{\circ }$ для додекаэдра, где $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ это золотое сечение .
• $\theta _{\mathrm {icos} }=\arccos(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}})\approx 138.2^{\circ }$ для икосаэдра.

Двугранный угол куба является рациональным кратным $\pi$, а остальные нет. Двугранные углы правильного тетраэдра и правильного октаэдра являются дополнительными углами : они в сумме равны $\pi$. Исключение тетраэдра или октаэдра из этих пяти углов дает рациональную основу: между этими углами нет других рациональных отношений. Если, например, базис, который опускает $\theta _{\mathrm {oct} }$ используется, и $\theta _{\mathrm {cube} }$ используется в качестве базового элемента, но затем опускается (как рациональное кратное $\pi$) из расчета инварианта Дена, то остальные элементы углового базиса равны $\theta _{\mathrm {tet} }$, $\theta _{\mathrm {dodec} }$, и $\theta _{\mathrm {icos} }$. Полученные инварианты Дена будут иметь одно измерение для каждого базисного элемента. На этом основании для платоновых тел с длиной ребра $s$, инварианты Дена:

• $(6s,0,0)$ для тетраэдра. Он имеет шесть ребер длины $s$, с тетраэдрическими двугранными углами.
• $(0,0,0)$ для куба. Его края имеют двугранные углы, которые выражаются только через $\theta _{\mathrm {cube} }$, исключенный из инварианта Дена.
• $(-12s,0,0)$ для октаэдра. Двенадцать его ребер имеют двугранники. $\theta _{\mathrm {oct} }=2\theta _{\mathrm {cube} }-\theta _{\mathrm {tet} }$. В этой комбинации коэффициент $\theta _{\mathrm {cube} }$ отбрасывается, остается только коэффициент $-1$ для $\theta _{\mathrm {tet} }$.
• $(0,30s,0)$ для додекаэдра. Он имеет 30 ребер с додекаэдрическими двугранными углами.
• $(0,0,30s)$ для икосаэдра. Он имеет 30 ребер с икосаэдрическими двугранными углами.

Куб — единственный из них, у которого инвариант Дена равен нулю. Инварианты Дена каждого из четырех других платоновых тел неравны и отличны от нуля. Инвариант Дена октаэдра равен $-2$ умноженное на инвариант Дена тетраэдра с той же длиной ребра.

Связанные многогранники

Инвариант Дена любого параллелепипеда равен нулю, как и куба. Каждый набор из четырех параллельных ребер параллелепипеда имеет одинаковую длину и двугранные углы, сумма которых равна $2\pi$, поэтому их вклады в инвариант Дена равны нулю. Инварианты Дена других архимедовых тел также могут быть выражены как рациональные комбинации инвариантов платоновых тел. На той же основе, что и раньше, с тем же предположением, что эти формы имеют длину ребра. $s$, инварианты Дена:

• $(-6s,0,0)$ для усеченного тетраэдра .
• $(12s,0,0)$ для усеченного куба , ромбокубооктаэдра и кубооктаэдра .
• $(0,0,0)$ для усеченного октаэдра , который замостил пространство как усеченные кубические соты .
• $(0,0,-30s)$ для усеченного додекаэдра .
• $(0,-30s,0)$ для усеченного икосаэдра .
• $(0,-30s,-30s)$ для икосододекаэдра .
• $(0,30s,30s)$ для ромбокосододекаэдра .
• $(0,0,0)$ для усечённого икосододекаэдра . Это не разбивает пространство на плитки напрямую, но как зоноэдр его можно разбить на параллелепипеды, что и делает.

Приложения

Разложение куба на ортосхемы . В кубе каждое новое ребро, появившееся при этом разрезе, окружено двугранными углами, сумма которых равна $\pi$ (для диагоналей лица) или $2\pi$ (для диагонали тела), поэтому суммарный вклад в инвариант Дена от этих ребер равен нулю.

Нерешенная задача по математике :

Существует ли рассечение между каждой парой сферических или гиперболических многогранников с одинаковым объемом и инвариантами Дена, что и друг друга?

(еще нерешенные задачи по математике)

Как заметил Ден (1901) , инвариант Дена является инвариантом разделения многогранников в том смысле, что разрезание многогранника на более мелкие многогранные части и последующая сборка их в другой многогранник не меняет инвариант Дена результата. Если в этом процессе резания появляется новое ребро, то либо оно находится внутри многогранника и окружено двугранными углами, составляющими $2\pi$, или на грани многогранника, окруженной двугранниками, общая сумма которых $\pi$; в любом случае это рациональное кратное $\pi$ не дает вклада в инвариант Дена. Аналогичный анализ показывает, что инвариант Дена также не изменяется, когда существующее ребро многогранника является границей новой грани, созданной при разрезании многогранника. Новые двугранные углы на этом ребре образуют ту же сумму и тот же вклад в инвариант Дена, что и раньше. Другим инвариантом рассечения является объем многогранника: разрезание его на многогранные части и повторная сборка частей не могут изменить общий объем. Следовательно, если один многогранник P имеет разрез на другой многогранник Q , то и P, и Q должны иметь одинаковый инвариант Дена, а также одинаковый объем. Сидлер (1965) расширил этот результат, доказав, что объем и инвариант Дена являются единственными инвариантами для этой задачи. Если P и Q имеют одинаковый объем и один и тот же инвариант Дена, всегда можно разделить одно на другое.

Инвариант Дена также ограничивает способность многогранника замостить пространство . Каждая плитка, заполняющая пространство, имеет нулевой инвариант Дена, как и куб. Для многогранников, которые периодически размещают плитки, это следует за использованием периодичности мозаики для разрезания и перестановки плитки в параллелепипед с той же периодичностью, но этот результат справедлив также и для апериодических плиток, таких как бипризма Шмитта-Конвея-Данцера . Обратное утверждение неверно: существуют многогранники с нулевым инвариантом Дена, которые не разбивают пространство. Однако их всегда можно разделить на другую форму (куб), занимающую пространство плитки. . усеченный икосододекаэдр Примером может служить

Результат Дена продолжает оставаться справедливым для сферической и гиперболической геометрии . В обеих этих геометриях два многогранника, которые можно разрезать и собирать друг в друга, должны иметь один и тот же инвариант Дена. Однако, как заметил Джессен, распространение результата Сидлера на сферическую или гиперболическую геометрию остается открытым: неизвестно, всегда ли два сферических или гиперболических многогранника с одинаковым объемом и одинаковым инвариантом Дена можно разрезать и снова собрать друг в друга. Каждое гиперболическое многообразие конечного объема можно разрезать по геодезическим поверхностям на гиперболический многогранник ( фундаментальную область для фундаментальной группы многообразия), который замощает универсальное накрытие многообразия и, следовательно, обязательно имеет нулевой инвариант Дена.

В более общем смысле, если некоторая комбинация многогранников совместно замощает пространство, то сумма их инвариантов Дена (взятых в одной и той же пропорции) должна быть равна нулю. Например, тетраэдрально-октаэдрические соты представляют собой замощение пространства тетраэдрами и октаэдрами (тетраэдров в два раза больше, чем октаэдров), что соответствует тому факту, что сумма инвариантов Дена октаэдра и двух тетраэдров (с одинаковыми длинами сторон) ) равен нулю.

Полное определение

Как тензорное произведение

Определение инварианта Дена требует понятия многогранника, для которого четко определены длины и двугранные углы ребер. Чаще всего это относится к многогранникам, границы которых представляют собой кусочно-линейные многообразия , вложенные в конечное число плоскостей евклидова пространства . Однако инвариант Дена также рассматривался для многогранников в сферической геометрии или в гиперболическом пространстве . и некоторые самопересекающиеся многогранники в евклидовом пространстве.

Значения инварианта Дена принадлежат абелевой группе определяется как тензорное произведение $$\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .$$Левый множитель этого тензорного произведения представляет собой набор действительных чисел (в данном случае представляющих длины ребер многогранников), а правый множитель представляет собой двугранные углы в радианах , заданные как числа по модулю, кратные рациональному 2 π . (В некоторых источниках углы берутся по модулю π вместо модуля 2 π , или разделите углы на π и используйте $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ вместо ​ $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$, но это не имеет никакого значения для результирующего тензорного произведения, поскольку любое рациональное кратное π в правильном множителе становится нулем в произведении.)

Инвариант Дена многогранника с длинами ребер $\ell _{i}$ и краевые двугранные углы $\theta _{i}$ это сумма $$\sum _{i}\ell _{i}\otimes \theta _{i}.$$

Его структура как тензора придает инварианту Дена дополнительные свойства, имеющие геометрический смысл. В частности, он имеет тензорный ранг , минимальное количество термов $\ell \otimes \theta$ в любом выражении как сумму таких слагаемых. Поскольку выражение инварианта Дена в виде суммы по ребрам многогранника имеет именно такой вид, ранг инварианта Дена дает нижнюю оценку минимально возможного числа ребер для любого многогранника, полученного в результате разрезания данного многогранника.

Использование базиса Гамеля

Альтернативное, но эквивалентное описание инварианта Дена включает выбор базиса Гамеля , бесконечного подмножества. $B$ действительных чисел так, что каждое действительное число может быть однозначно выражено как сумма конечного числа рациональных кратных элементов $B$. Таким образом, как аддитивная группа, $\mathbb {R}$ изоморфен ​ ​ $\mathbb {Q} ^{(B)}$, прямая сумма копий $\mathbb {Q}$ с одним слагаемым для каждого элемента $B$. Если $B$ выбирается так, чтобы π (или рациональное кратное π ) было одним из его элементов, и $B'$ — остальная часть базиса с исключенным этим элементом, то тензорное произведение $\mathbb {R} \otimes \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ можно описать как (бесконечномерное) действительное векторное пространство . $\mathbb {R} ^{(B')}$. Инвариант Дена можно выразить путем разложения каждого двугранного угла $\theta _{i}$ в конечную сумму базисных элементов $$\theta _{i}=\sum _{j=0}^{k_{i}}q_{i,j}b_{i,j}$$где $q_{i,j}$ является рациональным, $b_{i,j}$ — одно из действительных чисел в базисе Гамеля, и эти базисные элементы пронумерованы так, что $b_{i,0}$ является рациональным кратным π который принадлежит $B$ но не $B'$. При таком разложенииинвариант Дена $$\sum _{i}\sum _{j=1}^{k_{i}}\ell _{i}q_{i,j}e_{i,j},$$где каждый $e_{i,j}$ стандартный единичный вектор в $\mathbb {R} ^{(B')}$ соответствующий базовому элементу $b_{i,j}$. Сумма здесь начинается с $j=1$, чтобы опустить термин, соответствующий рациональным кратным π .

Эта альтернативная формулировка показывает, что значениям инварианта Дена можно придать дополнительную структуру реального векторного пространства . Хотя в целом построение базисов Гамеля включает в себя аксиому выбора , этого можно избежать (при рассмотрении любого конкретного конечного набора многогранников), ограничив внимание конечномерным векторным пространством, порожденным над $\mathbb {Q}$ по двугранным углам многогранников.

Гиперболические многогранники с бесконечной длиной ребер.

Для идеального многогранника в гиперболическом пространстве длины ребер бесконечны, что делает обычное определение инварианта Дена неприменимым. Тем не менее, инвариант Дена можно распространить на эти многогранники, используя орисферы для усечения их вершин и вычисляя инвариант Дена обычным способом для полученной усеченной формы, игнорируя дополнительные изогнутые края, созданные в результате этого процесса усечения. Результат не зависит от выбора орисфер для усечения, поскольку каждая из них отсекает только одну вершину данного многогранника.

Реализуемость

Хотя инвариант Дена принимает значения в $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ,$ не все элементы в этом пространстве могут быть реализованы как инварианты Дена многогранников.Инварианты Дена евклидовых многогранников образуют вещественное линейное подпространство $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$: можно сложить инварианты Дена многогранников, взяв непересекающееся объединение многогранников (или склеив их на грани), отрицать инварианты Дена, превратив отверстия в форме многогранника в большие кубы, и умножить инвариант Дена на любой положительный действительный скаляр путем масштабирования многогранника на то же число.Вопрос о том, какие элементы $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ,$ реализуемы, было выяснено в работе Дюпона и Саха, которые показали существование следующей точной последовательности абелевых групп (не векторных пространств), включающих гомологии групп : $$0\to H_{2}(\operatorname {SO} (3),\mathbb {R} ^{3})\to {\mathcal {P}}(E^{3})/{\mathcal {Z}}(E^{3})\to \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to H_{1}(\operatorname {SO} (3),\mathbb {R} ^{3})\to 0$$Здесь обозначение ${\mathcal {P}}(E^{3})$ представляет собой свободную абелеву группу над евклидовыми многогранниками по модулю определенных отношений, полученных из пар многогранников, которые можно разрезать друг на друга. ${\mathcal {Z}}(E^{3})$ — это подгруппа, созданная в этой группе треугольными призмами и используемая здесь для обозначения объема (поскольку каждое действительное число представляет собой объем ровно одного элемента этой группы). Карта из группы многогранников в $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ – инвариант Дена. $\operatorname {SO} (3)$ — евклидова группа вращения точки , и $H$ является групповой гомологией.Теорема Сидлера о том, что объем и инвариант Дена являются единственными инвариантами евклидова сечения, гомологически представляется утверждением, что группа $H_{2}(\operatorname {SO} (3),\mathbb {R} ^{3})$ В этой последовательности появляется тривиальная группа (представленная в другом месте последовательности обозначением 0).Если бы он был нетривиален, его образ в группе многогранников дал бы семейство многогранников, не рассекаемых до куба того же объема, но имеющих нулевой инвариант Дена. По теореме Сидлера таких многогранников не существует.

Группа $H_{1}(\operatorname {SO} (3),\mathbb {R} ^{3})$ появляющийся справа от точной последовательности, изоморфен группе $\Omega _{\mathbb {R} /\mathbb {Q} }^{1}$ дифференциалов Кэлера ,а отображение тензорных произведений длин и углов в дифференциалы Кэлера имеет вид $$\ell \otimes \theta \mapsto \ell {\frac {d\cos \theta }{\sin \theta }}=i\ell {\frac {de^{i\theta }}{e^{i\theta }}},$$где $d$ это универсальный вывод $\mathbb {R} \to \Omega _{\mathbb {R} /\mathbb {Q} }^{1}$ (или $\mathbb {C} \to \Omega _{\mathbb {C} /\mathbb {Q} }^{1}$).Эта группа $H_{1}(\operatorname {SO} (3),\mathbb {R} ^{3})=\Omega _{\mathbb {R} /\mathbb {Q} }^{1}$ является препятствием реализуемости: его ненулевые элементы происходят из элементов $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ которые не могут быть реализованы как инварианты Дена. Джессен, более конкретно, отмечает, что тензор первого ранга $\ell \otimes \theta$ может быть реализовано как инвариант Дена тогда и только тогда, когда $\sin \theta$ является алгебраическим числом . Матиас Гёрнер предположил, что, когда тензор этой формы реализуем как инвариант Дена, он может быть реализован с помощью многогранника, имеющего единственный двугранный угол длины $\ell$ и двугранный угол $\theta$, при этом все остальные углы прямые , но это известно только для ограниченного набора двугранных углов.

В гиперболическом или сферическом пространстве реализуемые инварианты Дена не обязательно образуют векторное пространство, поскольку скалярное умножение больше невозможно. Однако они по-прежнему образуют подгруппу тензорного произведения, элементами которого являются. Аналогично Дюпон и Сах доказывают существование точных последовательностей $$0\to H_{3}(\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} ),\mathbb {Z} )^{-}\to {\mathcal {P}}({\mathcal {H}}^{3})\to \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to H_{2}(\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} ),\mathbb {Z} )^{-}\to 0$$и $$0\to H_{3}(\operatorname {SU} (2),\mathbb {Z} )\to {\mathcal {P}}(S^{3})/\mathbb {Z} \to \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to H_{2}(\operatorname {SU} (2),\mathbb {Z} )\to 0.$$Здесь $\operatorname {SL}$ обозначает специальную линейную группу и $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ – группа преобразований Мёбиуса ; верхний индекс знак минус указывает (−1)-собственное пространство для инволюции, вызванной комплексным сопряжением. $\operatorname {SU}$ обозначает специальную унитарную группу .Подгруппа $\mathbb {Z}$ в ${\mathcal {P}}(S^{3})/\mathbb {Z}$ — группа, порожденная всей сферой. Опять же, самая правая ненулевая группа в этих последовательностях является препятствием для реализации значения в $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ как инвариант Дена.

Этот алгебраический взгляд на инвариант Дена может быть расширен на более высокие измерения, где он имеет мотивную интерпретацию, включающую алгебраическую K-теорию . В четырех измерениях группа многогранников по модулю рассечений изоморфна трехмерной группе. Каждый четырехмерный многогранник можно разрезать на призму над трехмерным многогранником, а два четырехмерных многогранника можно разрезать друг на друга, если их объемы и инварианты Дена равны. В размерностях выше четырех остается открытым, полностью ли существование рассечений описывается объемами и инвариантами Дена, или необходима другая информация, чтобы определить, существует ли рассечение.

Связанные результаты

Трехчастное рассечение греческого креста на прямоугольник с использованием только разрезов и переводов, параллельных осям. Инвариант типа Дена показывает, что ни одну из этих фигур нельзя разрезать на квадрат с помощью такого ограниченного рассечения.

Подход, очень похожий на инвариант Дена, можно использовать, чтобы определить, два прямолинейных многоугольника можно ли разделить друг на друга только с помощью разрезов и перемещений, параллельных осям (а не разрезов под произвольными углами и поворотами). Инвариант для этого вида разделения использует тензорное произведение $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$где левый и правый члены произведения представляют высоту и ширину прямоугольников. Инвариант для любого заданного многоугольника вычисляется путем разрезания многоугольника на прямоугольники, взятия тензорного произведения высоты и ширины каждого прямоугольника и сложения результатов. Рассечение возможно тогда и только тогда, когда два многоугольника имеют одинаковый инвариант, а это означает, что они также имеют равные площади. Этот инвариант можно использовать для доказательства другого результата Дена 1903 года: два прямоугольника одинаковой площади можно разделить друг на друга тогда и только тогда, когда их соотношения сторон являются рациональными кратными друг другу. Отсюда следует, что полимино образовалось из объединения $n$ квадраты можно разрезать таким образом до квадрата только тогда, когда $n$ это квадратное число. Для этой версии инварианта Дена ранг тензора равен минимальному количеству прямоугольников, на которые можно разрезать многоугольник.

Гибкие многогранники — это класс многогранников, которые могут совершать непрерывное движение, сохраняющее форму своих граней. По теореме Коши о жесткости они должны быть невыпуклыми, и известно ( «теорема мехов» ), что объем многогранника должен оставаться постоянным на протяжении всего этого движения. Более сильная версия этой теоремы утверждает, что инвариант Дена такого многогранника также должен оставаться инвариантным при любом непрерывном движении. Этот результат получил название « теоремы сильного сильфона ». Это доказано для всех несамопересекающихся гибких многогранников. Однако для более сложных гибких многогранников с самопересечениями инвариант Дена может непрерывно меняться по мере изгибания многогранника.

Полную среднюю кривизну гладкой поверхности можно обобщить на многогранные поверхности, используя определение, аналогичное инварианту Дена, как сумму по краям длин ребер, умноженных на внешние двугранные углы. Также было доказано, что он остается постоянным для любого изгибающегося многогранника.

Внешние ссылки

• Видео об инвариантах Дена на Numberphile