Функция Дена

математическом предмете геометрической теории групп функция Дена , названная в честь Макса Дена , является оптимальной функцией, связанной с представлением конечной группы , которая ограничивает область отношения В в этой группе (то есть свободно сокращаемое слово в генераторах, представляющее единичный элемент группы) с точки зрения длины этого отношения (см. стр. 79–80 в ^[1]). Тип роста функции Дена является квазиизометрическим инвариантом группы конечно представимой . Функция Дена конечно представленной группы также тесно связана с недетерминированной алгоритмической сложностью проблемы слов в группах. В частности, конечно представимая группа имеет разрешимую проблему слов тогда и только тогда, когда функция Дена для конечного представления этой группы рекурсивна (см. теорему 2.1 в ^[1]). Понятие функции Дена мотивировано изопериметрическими проблемами геометрии, такими как классическое изопериметрическое неравенство для евклидовой плоскости и, в более общем смысле, понятие функции площади заполнения, которая оценивает площадь минимальной поверхности в римановом многообразии в терминах длины граничной кривой этой поверхности.

История

Идея изопериметрической функции для конечно представленной группы восходит к работам Макса Дена в 1910-х годах. Ден доказал, что проблема слов для стандартного представления фундаментальной группы замкнутой ориентированной поверхности рода не менее двух разрешима с помощью того, что сейчас называется алгоритмом Дена . Прямым следствием этого факта является то, что для этого представления функция Дена удовлетворяет условию Dehn( n ) ≤ n . Этот результат был распространен в 1960-х годах Мартином Гриндлингером на конечно определенные группы, удовлетворяющие условию малого сокращения C'(1/6) . ^[2] Формальное понятие изопериметрической функции и функции Дена в том виде, в каком оно используется сегодня, появилось в конце 1980-х – начале 1990-х годов вместе с введением и развитием теории словесно-гиперболических групп . В монографии 1987 года «Гиперболические группы» ^[3] Громов доказал, что конечно определенная группа является словесно-гиперболической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству, т. е. тогда и только тогда, когда функция Дена этой группы эквивалентна функции f ( n ) = n . Доказательство Громова во многом основывалось на аналогии с функциями площади заполнения компактных римановых многообразий , где площадь минимальной поверхности, ограничивающей нуль-гомотопную замкнутую кривую, ограничена в терминах длины этой кривой.

Изучение изопериметрических функций и функций Дена быстро выросло в отдельную крупную тему геометрической теории групп , тем более что типы роста этих функций являются естественными квазиизометрическими инвариантами конечно определенных групп. Один из важнейших результатов в этой области был получен Сапиром, Биргетом и Рипсом, показавшими ^[4] что наиболее «разумные» функции временной сложности машин Тьюринга могут быть реализованы с точностью до естественной эквивалентности как функции Дена конечно представленных групп.

Формальное определение

Позволять

G=\langle X|R\rangle \qquad (*)

— конечное групповое представление , где X — конечный алфавит и где R ⊆ F ( X ) — конечное множество циклически сокращенных слов.

Область отношения

Пусть w ∈ F ( X ) — отношение в G , то есть свободно редуцированное слово такое, что = 1 в G. w что это эквивалентно утверждению, что w принадлежит нормальному замыканию R Обратите внимание , в F ( X ), то есть существует представление w в виде

w=u_{1}r_{1}u_{1}^{-1}\cdots u_{m}r_{m}u_{m}^{-1}{\text{ in }}F(X),

(♠)

где m ≥ 0 и где r _i ∈ R ^{± 1} для я = 1, ..., м .

Для w ∈ F ( X ), удовлетворяющего w = 1 в G , площадь w относительно (∗), обозначаемая Area( w ), является наименьшим m ≥ 0 таким, что существует представление (♠) для w как произведение в F ( X ) m сопряженных элементов из R ^{± 1}.

Свободно редуцированное слово w ∈ F ( X ) удовлетворяет условию w = 1 в G тогда и только тогда, когда петля, помеченная w в комплексе представлений для G, соответствующая (∗), является нуль-гомотопной . Этот факт можно использовать, чтобы показать, что Area( w ) — это наименьшее количество 2-клеток в диаграмме Ван Кампена над (∗) с граничным циклом, помеченным w .

Изопериметрическая функция

Изопериметрическая функция для конечного представления (∗) — это монотонная неубывающая функция

f:\mathbb {N} \to [0,\infty )

такой, что всякий раз, когда w ∈ F ( X ) является свободно приведенным словом, удовлетворяющим условию w = 1 в G , то

Площадь( ш ) ≤ f (| ш |),

где | ш | длина слова w .

Функция Дена

Тогда функция Дена конечного представления (∗) определяется как

{\rm {Dehn}}(n)=\max\{{\rm {Area}}(w):w=1{\text{ in }}G,|w|\leq n,w{\text{ freely reduced}}.\}

Эквивалентно, Dehn( n ) — наименьшая изопериметрическая функция для (∗), то есть Dehn( n ) — изопериметрическая функция для (∗), а для любой другой изопериметрической функции f ( n ) мы имеем

Ден( п ) ≤ ж ( п )

для любого n ≥ 0.

Типы роста функций

Поскольку точная функция Дена обычно зависит от представления, обычно изучают ее асимптотический тип роста при стремлении n к бесконечности, который зависит только от группы.

Для двух монотонно неубывающих функций

f,g:\mathbb {N} \to [0,\infty )

говорят, что f доминирует над если g, существует C ≥1 такой, что

f(n)\leq Cg(Cn+C)+Cn+C

для любого целого числа n ≥ 0. Скажем, что f ≈ g, если f доминирует g , а g доминирует f . Тогда ≈ является отношением эквивалентности , и функции Дена и изопериметрические функции обычно изучаются с точностью до этого отношения эквивалентности. Таким образом, для любых a,b > 1 мы имеем a ^н ≈ б ^н. Аналогично, если f ( n ) — многочлен степени d (где d ≥ 1 — действительное число) с неотрицательными коэффициентами, то f ( n ) ≈ n ^д. Кроме того, 1 ≈ n .

Если представление конечной группы допускает изопериметрическую функцию f ( n ), эквивалентную линейной (соответственно квадратичной, кубической, полиномиальной, экспоненциальной и т. д.) функции от n , то представление называется удовлетворяющим линейной (соответственно квадратичной, кубическое, полиномиальное, экспоненциальное и др.) изопериметрическое неравенство .

Основные свойства

Если G и H — квазиизометрические конечно представленные группы и некоторое конечное представление G имеет изопериметрическую функцию f ( n ), то для любого конечного представления H существует изопериметрическая функция, эквивалентная f ( n ). В частности, этот факт справедлив для G = H , где одна и та же группа задается двумя разными конечными представлениями.
Следовательно, для конечно представимой группы тип роста ее функции Дена в смысле данного определения не зависит от выбора конечного представления для этой группы. В более общем смысле, если две конечно определенные группы квазиизометричны, то их функции Дена эквивалентны.
Для конечно представимой группы G , заданной конечным представлением (∗), следующие условия эквивалентны:
- G имеет рекурсивную функцию Дена относительно (∗).
- Существует рекурсивная изопериметрическая функция f ( n ) для (∗).
- Группа G имеет разрешимую проблему слов .

В частности, отсюда следует, что разрешимость проблемы слов является инвариантом квазиизометрии для конечно определенных групп .

Зная площадь Area( w ) отношения w , можно оценить ее с точки зрения | w длины сопряженных элементов u _i |, не только число сопряженных определяющих соотношений в (♠), но и . Как следствие, известно ^[1]^[5] что если конечно представимая группа G, заданная конечным представлением (∗), имеет вычислимую функцию Дена Dehn( n ), то проблема слов для G разрешима с недетерминированной временной сложностью Dehn( n ) и детерминированной временной сложностью Exp(Dehn( н )). Однако в целом не существует разумного ограничения на функцию Дена конечно представленной группы с точки зрения детерминированной временной сложности проблемы слов, и разрыв между двумя функциями может быть довольно большим.

Примеры

Для любого конечного представления конечной группы G имеем Dehn( n ) ≈ n . ^[6]
Для замкнутой ориентированной поверхности рода 2 стандартное представление ее фундаментальной группы

G=\langle a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}|[a_{1},b_{1}][a_{2},b_{2}]=1\rangle

удовлетворяет условиям Dehn( n ) ≤ n и Dehn( n ) ≈ n .

Для любого целого числа k ≥ 2 свободная абелева группа $\mathbb {Z} ^{k}$ имеет Их( n ) ≈ n ². ^[6]
Группа Баумслаг -Солитар

B(1,2)=\langle a,b|b^{-1}ab=a^{2}\rangle

имеет Тогда( n ) ≈ ^н (видеть ^[7]).

Трехмерная дискретная группа Гейзенберга

H_{3}=\langle a,b,t|[a,t]=[b,t]=1,[a,b]=t^{2}\rangle

удовлетворяет кубическому, но не квадратичному изопериметрическому неравенству. ^[8]

Многомерные группы Гейзенберга

H_{2k+1}=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k},t|[a_{i},b_{i}]=t,[a_{i},t]=[b_{i},t]=1,i=1,\dots ,k,[a_{i},b_{j}]=1,i\neq j\rangle

,

где k ≥ 2, удовлетворяют квадратичным изопериметрическим неравенствам. ^[9]

Если G — «группа Новикова-Буна», то есть конечно определенная группа с неразрешимой проблемой слов , то функция Дена группы G растет быстрее, чем любая рекурсивная функция .
Для группы Томпсона F функция Дена квадратична, т. е. эквивалентна n ² (видеть ^[10]).
Так называемая группа Баумслага-Герстена.

G=\langle a,t|(t^{-1}a^{-1}t)a(t^{-1}at)=a^{2}\rangle

имеет функцию Дена, растущую быстрее, чем любая фиксированная повторяющаяся башня экспонент. Конкретно для этой группы

Ден( n ) ≈ exp(exp(exp(...(exp(1))...)))

где число экспонент равно целой части log ₂ ( n ) (см. ^[1]^[11]).

Известные результаты

Конечно представимая группа является словесно-гиперболической группой тогда и только тогда, когда ее функция Дена эквивалентна n , то есть тогда и только тогда, когда каждое конечное представление этой группы удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству. ^[3]
Изопериметрический разрыв : если конечно представленная группа удовлетворяет субквадратичному изопериметрическому неравенству, то она является словесно-гиперболической. ^[3]^[12]^[13] Таким образом, не существует конечно определенных групп с функциями Дена, эквивалентными n ^д где d ∈ (1,2).
Автоматические группы и, в более общем плане, расчесываемые группы удовлетворяют квадратичным изопериметрическим неравенствам. ^[8]
Конечно порожденная нильпотентная группа имеет функцию Дена, эквивалентную n ^д где d ≥ 1 и все положительные целые числа d реализуются таким образом. Более того, каждая конечно порожденная нильпотентная группа G допускает полиномиальное изопериметрическое неравенство степени c + 1, где c — класс нильпотентности группы G . ^[14]
Множество действительных чисел d ≥ 1, таких, что существует конечно определенная группа с функцией Дена, эквивалентной n ^д, плотно в интервале $[2,\infty )$ . ^[15]
Если все асимптотические конусы конечно представленной группы односвязны , то группа удовлетворяет полиномиальному изопериметрическому неравенству. ^[16]
Если конечно определенная группа удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству, то все асимптотические конусы этой группы односвязны. ^[17]
Если ( M , g ) замкнутое риманово многообразие и G = π ₁ ( M ), то функция Дена G эквивалентна функции площади заполнения многообразия. ^[18]
Если G — группа, действующая правильно разрывно и кокомпактно посредством изометрий в пространстве CAT(0) , то G удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству. ^[19] В частности, это относится к случаю, когда G — фундаментальная группа замкнутого риманова многообразия неположительной секционной кривизны (не обязательно постоянной).
Функция Дена SL( m , Z ) не более чем экспоненциальна для любого m ≥ 3. ^[20] Для SL(3, Z ) эта оценка точная, и в этом случае известно, что функция Дена не допускает субэкспоненциальной верхней оценки. ^[8] Функции Дена для SL( m , Z ), где m > 4, квадратичны. ^[21] функция Дена SL(4, Z Тёрстон предположил, что ) является квадратичной. Эта и, в более общем плане, гипотеза Громова о том, что решетки в группах Ли более высокого ранга имеют квадратичную функцию Дена, была доказана Лейцингером и Янгом. ^[22]
Группы классов отображения поверхностей конечного типа являются автоматическими и удовлетворяют квадратичным изопериметрическим неравенствам. ^[23]
Функции Дена для групп Aut( F _k ) и Out( F _k ) являются экспоненциальными для любого k ≥ 3. Экспоненциальные изопериметрические неравенства для Aut( F _k ) и Out( F _k ) при k ≥ 3 были найдены Хэтчером и Фогтманном. . ^[24] Эти границы точны, и группы Aut( Fk ₎ и Out( Fk ₎ не удовлетворяют субэкспоненциальным изопериметрическим неравенствам, как показано для k = 3: Бридсоном и Фогтманом ^[25] и для k ≥ 4 Генделя и Мошера. ^[26]
Для каждого автоморфизма φ конечно порожденной свободной группы F _k группа тора отображения $F_{k}\rtimes _{\phi }\mathbb {Z}$ функции φ удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству. ^[27]
Наиболее «разумные» вычислимые функции ≥ n ⁴, могут быть реализованы с точностью до эквивалентности как функции Дена конечно определенных групп. В частности, если f ( n ) ≥ n ⁴ - супераддитивная функция, двоичное представление которой вычислимо во времени. $O\left({\sqrt[{4}]{f(n)}}\right)$ с помощью машины Тьюринга , то f ( n ) эквивалентна функции Дена конечно представленной группы.
Хотя невозможно разумно ограничить функцию Дена группы с точки зрения сложности ее словесной проблемы, Биргет, Ольшанский, Рипс и Сапир получили следующий результат: ^[28] обеспечивая далеко идущее обобщение теоремы вложения Хигмана : проблема слов для конечно порожденной группы разрешима за недетерминированное полиномиальное время тогда и только тогда, когда эта группа может быть вложена в конечно представленную группу с полиномиальной изопериметрической функцией. Более того, любую группу со словесной проблемой, разрешимой за время T( n ), можно вложить в группу с изопериметрической функцией, эквивалентной n ²Т( п ²) ⁴.

Обобщения

Существует несколько сопутствующих понятий, тесно связанных с понятием изопериметрической функции. Таким образом, изодиаметрическая функция ^[29] ограничивает наименьший диаметр (относительно симплициальной метрики, где каждое ребро имеет длину один) диаграммы Ван Кампена для конкретного отношения w через длину w . Функция длины заполнения — наименьшая длина заполнения диаграммы Ван Кампена для конкретного отношения w, выраженная в терминах длины w . Здесь длина заполнения диаграммы — это минимальная по всем комбинаторным нуль-гомотопиям диаграммы максимальная длина промежуточных петель, ограничивающих промежуточные диаграммы вдоль таких нуль-гомотопий. ^[30] Функция длины заполнения тесно связана с недетерминированной пространственной сложностью проблемы слов для конечно представленных групп. Существует несколько общих неравенств, связывающих функцию Дена, оптимальную изодиаметрическую функцию и функцию оптимальной длины заполнения, но точная связь между ними еще не понятна.
Существуют также многомерные обобщения изопериметрических функций и функций Дена. ^[31] При k ≥ 1 k -мерная изопериметрическая функция группы ограничивает минимальный комбинаторный объем ( k + 1)-мерных шаровых заполнений k -сфер, отображаемых в k -связное пространство, на котором группа действует правильно и кокомпактно; оценка дается как функция комбинаторного объема k -сферы. Стандартное понятие изопериметрической функции соответствует случаю k = 1. По сравнению с классическим случаем об этих функциях заполнения более высокой размерности известно мало. Одним из главных результатов является то, что решетки в полупростых группах Ли более высокого ранга не искажаются в размерностях ниже ранга, т. е. они удовлетворяют тем же функциям заполнения, что и связанное с ними симметрическое пространство. ^[22]
В своей монографии «Асимптотические инварианты бесконечных групп» ^[32] Громов предложил вероятностную или усредненную версию функции Дена и предположил, что для многих групп усредненные функции Дена должны иметь строго более медленную асимптотику, чем стандартные функции Дена. Более точные трактовки понятия усредненной функции Дена или средней функции Дена были даны позже другими исследователями, которые также доказали, что действительно усредненные функции Дена в ряде случаев (например, в нильпотентных и абелевых группах) субасимптотичны по отношению к стандартным функциям Дена. ^[33]^[34]^[35]

Относительная версия понятия изопериметрической функции играет центральную роль в подходе Осина к относительно гиперболическим группам . ^[36]
Григорчук и Иванов исследовали несколько естественных обобщений функции Дена для представлений групп с конечным числом образующих, но с бесконечным числом определяющих соотношений. ^[37]

См. также

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д С. М. Герстен. Изопериметрические и изодиаметрические функции конечных представлений. Геометрическая теория групп, Vol. 1 (Сассекс, 1991), стр. 79–96, London Math. Соц. Lecture Note Ser., 181, Cambridge University Press , Кембридж, 1993.
^ Мартин Гриндлингер, Алгоритм Дена для решения проблемы слов. Сообщения по чистой и прикладной математике, вып. 13 (1960), стр. 67–83.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Громов М., Гиперболические группы в кн.: «Очерки теории групп» (ред. Г.М. Герстена), ИИГН, изд. 8, 1987, стр. 75–263. ISBN 0-387-96618-8 . MR 0919829
^ М. Сапир, Ж.-К. Биргет, Э. Рипс. Изопериметрические и изодиаметрические функции групп . Анналы математики (2), том 156 (2002), вып. 2, стр. 345–466.
^ Хуан М. Алонсо, Изопериметрические неравенства и квазиизометрии. Доклады Академии наук, серия I, т. 311 (1990), вып. 12, с. 761–764.
^ Перейти обратно: ^а ^б Мартин Р. Бридсон. Геометрия словесной задачи. Приглашения к геометрии и топологии, стр. 29–91, Тексты для выпускников Оксфорда по математике, 7, Oxford University Press , Оксфорд, 2002. ISBN 0-19-850772-0 .
^ С. М. Герстен, Функции Дена и l ₁ -нормы конечных представлений . Алгоритмы и классификация в комбинаторной теории групп (Беркли, Калифорния, 1989), стр. 195–224,Математика. наук. Рез. Инст. Публикация, 23, Спрингер, Нью-Йорк, 1992. ISBN 0-387-97685-X .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с DBA Эпштейн , Дж. У. Кэннон , Д. Холт, С. Леви, М. Патерсон, У. Терстон. Обработка текста в группах . Издательство Jones and Bartlett, Бостон, Массачусетс, 1992. ISBN 0-86720-244-0 МР 1161694
^ Д. Олкок, Изопериметрическое неравенство для групп Гейзенберга. Геометрический и функциональный анализ , вып. 8 (1998), вып. 2, стр. 219–233.
^ В. С. Губа, Функция Дена группы Ричарда Томпсона F квадратична . Inventiones Mathematicae , том. 163 (2006), вып. 2, стр. 313–342.
^ А. Н. Платонов, Изопараметрическая функция группы Баумслага-Герстена . (на русском языке.) Вестник Москвы. унив. Сер. Я Мат. Мех. 2004, нет. 3, стр. 12–17; перевод в: Вестник Московского университета по математике, вып. 59 (2004), вып. 3, стр. 12–17 (2005).
^ А.Ю. Ольшанский. Гиперболичность групп с субквадратичным изопериметрическим неравенством. Международный журнал алгебры и вычислений, том. 1 (1991), вып. 3, стр. 281–289. МИСТЕР 1148230 дои : 10.1142/S0218196791000183
^ Б. Х. Боудич . Краткое доказательство того, что из субквадратного изопериметрического неравенства следует линейное. Мичиганский математический журнал, том. 42 (1995), вып. 1, стр. 103–107. МИСТЕР 1322192 дои : 10.1307/mmj/1029005156
^ С. М. Герстен, Д. Ф. Холт, Т. Р. Райли, Изопериметрические неравенства для нильпотентных групп. Геометрический и функциональный анализ , вып. 13 (2003), вып. 4, стр. 795–814. МИСТЕР 2006557 дои : 10.1007/s00039-003-0430-y
^ Н. Брэди и г-н Бридсон, В изопериметрическом спектре имеется только одна щель. Геометрический и функциональный анализ , вып. 10 (2000), вып. 5, стр. 1053–1070.
^ М. Громов, Асимптотические инварианты бесконечных групп , в: «Геометрическая теория групп», Vol. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Cambridge University Press, Кембридж, 1993, стр. 1–295.
^ П. Папасоглу. Об асимптотическом конусе групп, удовлетворяющих квадратичному изопериметрическому неравенству. Архивировано 23 мая 2011 г. в Wayback Machine журнале дифференциальной геометрии , том. 44 (1996), вып. 4, стр. 789–806.
^ Дж. Бурильо и Дж. Табак . Эквивалентность геометрических и комбинаторных функций Дена. Нью-Йоркский математический журнал, том. 8 (2002), стр. 169–179.
^ М. Р. Бридсон и А. Хефлигер , Метрические пространства неположительной кривизны. Фундаментальные начала математических наук, вып. 319. Шпрингер-Верлаг, Берлин, 1999. ISBN 3-540-64324-9 ; Замечание 1.7, с. 444.
^ Э. Лейцингер. О полиэдральных ретрактах и компактификациях локально-симметричных пространств. Дифференциальная геометрия и ее приложения, том. 20 (2004), стр. 293–318.
^ Роберт Янг, Функция Дена SL( n ; Z ) . Анналы математики (2), вып. 177 (2013) № 3, стр. 969–1027.
^ Перейти обратно: ^а ^б Э. Лойзингер и Р. Янг. Функции заполнения арифметических групп. Анналы математики , вып. 193 (2021), стр. 733–792.
^ Ли Мошер, Сопоставление групп классов происходит автоматически. Анналы математики (2), вып. 142 (1995), вып. 2, стр. 303–384.
^ Аллен Хэтчер и Карен Фогтманн , Изопериметрические неравенства для групп автоморфизмов свободных групп. Тихоокеанский математический журнал , вып. 173 (1996), вып. 2, 425–441.
^ Мартин Р. Бридсон и Карен Фогтманн, О геометрии группы автоморфизмов свободной группы. Бюллетень Лондонского математического общества , вып. 27 (1995), вып. 6, стр. 544–552.
^ Майкл Гендель и Ли Мошер, Липшицево сокращение и искажение для подгрупп Out( F _n ). Геометрия и топология , том. 17 (2013), вып. 3, стр. 1535–1579. МИСТЕР 3073930 два : 10.2140/gt.2013.17.1535
^ Мартин Р. Бридсон и Дэниел Гроувс. Квадратное изопериметрическое неравенство для отображения торов автоморфизмов свободных групп . Мемуары Американского математического общества , том 203 (2010), вып. 955.
^ Ж.-К. Биргет, А.Ю. Ольшанский, Э. Рипс, М. Сапир. Изопериметрические функции групп и вычислительная сложность задачи о словах. Анналы математики (2), том 156 (2002), вып. 2, стр. 467–518.
^ С. М. Герстен, Теорема двойной экспоненты для изодиаметрических и изопериметрических функций . Международный журнал алгебры и вычислений, том. 1 (1991), вып. 3, стр. 321–327.
^ С. М. Герстен и Т. Райли, Длина заполнения в конечно представимых группах . Посвящается Джону Столлингсу по случаю его 65-летия. Geometriae Dedicata , vol. 92 (2002), стр. 41–58.
^ Дж. М. Алонсо, X. Ван и С. Дж. Прайд, Многомерные изопериметрические (или Деновые) функции групп . Журнал теории групп , том. 2 (1999), вып. 1, стр. 81–112.
^ М. Громов, Асимптотические инварианты бесконечных групп , в: «Геометрическая теория групп», Vol. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Cambridge University Press , Кембридж, 1993, стр. 1–295.
^ О. Богопольский и Э. Вентура. Средние функции Дена абелевых групп . Журнал теории групп , том. 11 (2008), вып. 4, стр. 569–586.
^ Роберт Янг. Усредненные функции Дена для нильпотентных групп. Топология , вып. 47 (2008), вып. 5, стр. 351–367.
^ Е.Г. Кукина и В.А. Романьков. Субквадратичный рост усредненной функции Дена для свободных абелевых групп. Сибирский математический журнал. 44 (2003), вып. 4, 1573–9260.
^ Денси Осин. Относительно гиперболические группы: внутренняя геометрия, алгебраические свойства и алгоритмические проблемы. Мемуары Американского математического общества, том. 179 (2006), вып. 843. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3821-1 .
^ Р. И. Григорчук и С. В. Иванов, О функциях Дена бесконечных представлений групп , Геометрический и функциональный анализ , вып. 18 (2009), вып. 6, стр. 1841–1874 гг.

Дальнейшее чтение

Ноэль Брэйди, Тим Райли и Хэмиш Шорт. Геометрия проблемы слов для конечно порожденных групп. Курсы повышения квалификации по математике CRM Барселона, Биркхойзер, Базель, 2007. ISBN 3-7643-7949-9 .
Мартин Р. Бридсон. Геометрия словесной задачи. Приглашения к геометрии и топологии, стр. 29–91, Тексты для выпускников Оксфорда по математике, 7, Oxford University Press , Оксфорд, 2002. ISBN 0-19-850772-0 .

Внешние ссылки

Изопериметрическое неравенство для SL(n,Z). Семинар в сентябре 2008 года в Американском институте математики .
PDF статьи Бридсона «Геометрия проблемы слова».

[Gersten-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д С. М. Герстен. Изопериметрические и изодиаметрические функции конечных представлений. Геометрическая теория групп, Vol. 1 (Сассекс, 1991), стр. 79–96, London Math. Соц. Lecture Note Ser., 181, Cambridge University Press , Кембридж, 1993.

[2] Мартин Гриндлингер, Алгоритм Дена для решения проблемы слов. Сообщения по чистой и прикладной математике, вып. 13 (1960), стр. 67–83.

[Gromov-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Громов М., Гиперболические группы в кн.: «Очерки теории групп» (ред. Г.М. Герстена), ИИГН, изд. 8, 1987, стр. 75–263. ISBN 0-387-96618-8 . MR 0919829

[4] М. Сапир, Ж.-К. Биргет, Э. Рипс. Изопериметрические и изодиаметрические функции групп . Анналы математики (2), том 156 (2002), вып. 2, стр. 345–466.

[5] Хуан М. Алонсо, Изопериметрические неравенства и квазиизометрии. Доклады Академии наук, серия I, т. 311 (1990), вып. 12, с. 761–764.

[brid-6] Перейти обратно: ^а ^б Мартин Р. Бридсон. Геометрия словесной задачи. Приглашения к геометрии и топологии, стр. 29–91, Тексты для выпускников Оксфорда по математике, 7, Oxford University Press , Оксфорд, 2002. ISBN 0-19-850772-0 .

[7] С. М. Герстен, Функции Дена и l ₁ -нормы конечных представлений . Алгоритмы и классификация в комбинаторной теории групп (Беркли, Калифорния, 1989), стр. 195–224,Математика. наук. Рез. Инст. Публикация, 23, Спрингер, Нью-Йорк, 1992. ISBN 0-387-97685-X .

[WP-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с DBA Эпштейн , Дж. У. Кэннон , Д. Холт, С. Леви, М. Патерсон, У. Терстон. Обработка текста в группах . Издательство Jones and Bartlett, Бостон, Массачусетс, 1992. ISBN 0-86720-244-0 МР 1161694

[9] Д. Олкок, Изопериметрическое неравенство для групп Гейзенберга. Геометрический и функциональный анализ , вып. 8 (1998), вып. 2, стр. 219–233.

[10] В. С. Губа, Функция Дена группы Ричарда Томпсона F квадратична . Inventiones Mathematicae , том. 163 (2006), вып. 2, стр. 313–342.

[11] А. Н. Платонов, Изопараметрическая функция группы Баумслага-Герстена . (на русском языке.) Вестник Москвы. унив. Сер. Я Мат. Мех. 2004, нет. 3, стр. 12–17; перевод в: Вестник Московского университета по математике, вып. 59 (2004), вып. 3, стр. 12–17 (2005).

[12] А.Ю. Ольшанский. Гиперболичность групп с субквадратичным изопериметрическим неравенством. Международный журнал алгебры и вычислений, том. 1 (1991), вып. 3, стр. 281–289. МИСТЕР 1148230 дои : 10.1142/S0218196791000183

[13] Б. Х. Боудич . Краткое доказательство того, что из субквадратного изопериметрического неравенства следует линейное. Мичиганский математический журнал, том. 42 (1995), вып. 1, стр. 103–107. МИСТЕР 1322192 дои : 10.1307/mmj/1029005156

[14] С. М. Герстен, Д. Ф. Холт, Т. Р. Райли, Изопериметрические неравенства для нильпотентных групп. Геометрический и функциональный анализ , вып. 13 (2003), вып. 4, стр. 795–814. МИСТЕР 2006557 дои : 10.1007/s00039-003-0430-y

[15] Н. Брэди и г-н Бридсон, В изопериметрическом спектре имеется только одна щель. Геометрический и функциональный анализ , вып. 10 (2000), вып. 5, стр. 1053–1070.

[16] М. Громов, Асимптотические инварианты бесконечных групп , в: «Геометрическая теория групп», Vol. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Cambridge University Press, Кембридж, 1993, стр. 1–295.

[17] П. Папасоглу. Об асимптотическом конусе групп, удовлетворяющих квадратичному изопериметрическому неравенству. Архивировано 23 мая 2011 г. в Wayback Machine журнале дифференциальной геометрии , том. 44 (1996), вып. 4, стр. 789–806.

[18] Дж. Бурильо и Дж. Табак . Эквивалентность геометрических и комбинаторных функций Дена. Нью-Йоркский математический журнал, том. 8 (2002), стр. 169–179.

[19] М. Р. Бридсон и А. Хефлигер , Метрические пространства неположительной кривизны. Фундаментальные начала математических наук, вып. 319. Шпрингер-Верлаг, Берлин, 1999. ISBN 3-540-64324-9 ; Замечание 1.7, с. 444.

[20] Э. Лейцингер. О полиэдральных ретрактах и компактификациях локально-симметричных пространств. Дифференциальная геометрия и ее приложения, том. 20 (2004), стр. 293–318.

[21] Роберт Янг, Функция Дена SL( n ; Z ) . Анналы математики (2), вып. 177 (2013) № 3, стр. 969–1027.

[doi.org-22] Перейти обратно: ^а ^б Э. Лойзингер и Р. Янг. Функции заполнения арифметических групп. Анналы математики , вып. 193 (2021), стр. 733–792.

[23] Ли Мошер, Сопоставление групп классов происходит автоматически. Анналы математики (2), вып. 142 (1995), вып. 2, стр. 303–384.

[24] Аллен Хэтчер и Карен Фогтманн , Изопериметрические неравенства для групп автоморфизмов свободных групп. Тихоокеанский математический журнал , вып. 173 (1996), вып. 2, 425–441.

[25] Мартин Р. Бридсон и Карен Фогтманн, О геометрии группы автоморфизмов свободной группы. Бюллетень Лондонского математического общества , вып. 27 (1995), вып. 6, стр. 544–552.

[26] Майкл Гендель и Ли Мошер, Липшицево сокращение и искажение для подгрупп Out( F _n ). Геометрия и топология , том. 17 (2013), вып. 3, стр. 1535–1579. МИСТЕР 3073930 два : 10.2140/gt.2013.17.1535

[27] Мартин Р. Бридсон и Дэниел Гроувс. Квадратное изопериметрическое неравенство для отображения торов автоморфизмов свободных групп . Мемуары Американского математического общества , том 203 (2010), вып. 955.

[28] Ж.-К. Биргет, А.Ю. Ольшанский, Э. Рипс, М. Сапир. Изопериметрические функции групп и вычислительная сложность задачи о словах. Анналы математики (2), том 156 (2002), вып. 2, стр. 467–518.

[29] С. М. Герстен, Теорема двойной экспоненты для изодиаметрических и изопериметрических функций . Международный журнал алгебры и вычислений, том. 1 (1991), вып. 3, стр. 321–327.

[30] С. М. Герстен и Т. Райли, Длина заполнения в конечно представимых группах . Посвящается Джону Столлингсу по случаю его 65-летия. Geometriae Dedicata , vol. 92 (2002), стр. 41–58.

[31] Дж. М. Алонсо, X. Ван и С. Дж. Прайд, Многомерные изопериметрические (или Деновые) функции групп . Журнал теории групп , том. 2 (1999), вып. 1, стр. 81–112.

[32] М. Громов, Асимптотические инварианты бесконечных групп , в: «Геометрическая теория групп», Vol. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Cambridge University Press , Кембридж, 1993, стр. 1–295.

[33] О. Богопольский и Э. Вентура. Средние функции Дена абелевых групп . Журнал теории групп , том. 11 (2008), вып. 4, стр. 569–586.

[34] Роберт Янг. Усредненные функции Дена для нильпотентных групп. Топология , вып. 47 (2008), вып. 5, стр. 351–367.

[35] Е.Г. Кукина и В.А. Романьков. Субквадратичный рост усредненной функции Дена для свободных абелевых групп. Сибирский математический журнал. 44 (2003), вып. 4, 1573–9260.

[36] Денси Осин. Относительно гиперболические группы: внутренняя геометрия, алгебраические свойства и алгоритмические проблемы. Мемуары Американского математического общества, том. 179 (2006), вып. 843. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3821-1 .

[37] Р. И. Григорчук и С. В. Иванов, О функциях Дена бесконечных представлений групп , Геометрический и функциональный анализ , вып. 18 (2009), вып. 6, стр. 1841–1874 гг.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]