Нормальное замыкание (теория групп)

Эта статья о нормальном закрытии подмножества группы. Чтобы узнать о нормальном замыкании расширения поля, см. Нормальное замыкание (теория поля) .

В теории нормальное замыкание подмножества групп $S$ группы ​ $G$ является наименьшей нормальной подгруппой $G$ содержащий $S.$

Свойства и описание

Формально, если $G$ это группа и $S$ является подмножеством $G,$ нормальное закрытие $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ из $S$ является пересечением всех нормальных подгрупп группы $G$ содержащий $S$:

$$\operatorname {ncl} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.$$

Обычное закрытие $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ является наименьшей нормальной подгруппой $G$ содержащий $S,$ в том смысле, что $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ является подмножеством каждой нормальной подгруппы $G$ который содержит $S.$

Подгруппа $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ генерируется ​ набором $S^{G}=\{s^{g}:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}$ всех сопряженных элементов $S$ в $G.$

Поэтому можно также написать

$$\operatorname {ncl} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\dots g_{n}^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i}\in G\}.$$

Любая нормальная подгруппа равна своему нормальному замыканию. Сопряженное замыкание пустого множества $\varnothing$ является тривиальной подгруппой .

В литературе для нормального замыкания используется множество других обозначений, в том числе $\langle S^{G}\rangle ,$ $\langle S\rangle ^{G},$ $\langle \langle S\rangle \rangle _{G},$ и $\langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.$

Двойственной концепции нормального замыкания является концепция нормального внутреннего или нормального ядра , определяемая как объединение всех нормальных подгрупп, содержащихся в $S.$

Групповые презентации

Для группы $G$ предоставлено презентацией $G=\langle S\mid R\rangle$ с генераторами $S$ и определение отношений $R,$ обозначение представления означает, что $G$ это факторгруппа $G=F(S)/\operatorname {ncl} _{F(S)}(R),$ где $F(S)$ это бесплатная группа на $S.$